Asta rotante viene colpita da un punto materiale
Qualcuno può aiutarmi a rispondere a questi quesiti?
Un’asta di massa m1 = 1 Kg e lunghezza l = 1 m è vincolata ad un suo estremo O attorno al quale può ruotare senza attrito su un piano orizzontale liscio. Un punto materiale di massa m2 = 0.7 Kg e velocità v = 5 m/s perpendicolare all’asta, colpisce l’asta a distanza r = 80 cm da O e vi resta attaccato.
a) Calcolare la velocità angolare ω0 del sistema “asta + punto materiale” dopo l’urto.
Adesso, si supponga la presenza di attrito tra il perno in O e l’asta che produce un momento frenante pari a (modulo) M = 4 Nm.
b) Trovare il tempo che impiega il sistema a fermarsi;
c) Trovare l’angolo percorso dal sistema prima di fermarsi. Dire se il sistema riesce a fare almeno un giro completo.
Ho provato a ripondere al quesito (a) facendo questo ragionamento: L'urto è completamente anaelastico, quindi si conserva la quantità di moto e il momento angolare. Applicando la consevazione della quantita di moto trovo la velocità del CM:
$ (m2v)/(m1+m2)=2,09 $
Il dubbio che ho adesso è come trovare la posizione del centro di massa e come applicare la conservazione del momento angolare per trovare la velocità angolare. Poi non capisco come calcolare il tempo impiegatto a fermarsi in presenza di attrito
Un’asta di massa m1 = 1 Kg e lunghezza l = 1 m è vincolata ad un suo estremo O attorno al quale può ruotare senza attrito su un piano orizzontale liscio. Un punto materiale di massa m2 = 0.7 Kg e velocità v = 5 m/s perpendicolare all’asta, colpisce l’asta a distanza r = 80 cm da O e vi resta attaccato.
a) Calcolare la velocità angolare ω0 del sistema “asta + punto materiale” dopo l’urto.
Adesso, si supponga la presenza di attrito tra il perno in O e l’asta che produce un momento frenante pari a (modulo) M = 4 Nm.
b) Trovare il tempo che impiega il sistema a fermarsi;
c) Trovare l’angolo percorso dal sistema prima di fermarsi. Dire se il sistema riesce a fare almeno un giro completo.
Ho provato a ripondere al quesito (a) facendo questo ragionamento: L'urto è completamente anaelastico, quindi si conserva la quantità di moto e il momento angolare. Applicando la consevazione della quantita di moto trovo la velocità del CM:
$ (m2v)/(m1+m2)=2,09 $
Il dubbio che ho adesso è come trovare la posizione del centro di massa e come applicare la conservazione del momento angolare per trovare la velocità angolare. Poi non capisco come calcolare il tempo impiegatto a fermarsi in presenza di attrito
Risposte
Occhio che la quantità di moto del sistema non si conserva visto che durante l'urto agisce una forza impulsiva esterna data dal vincolo dell'asta.
Corretto invece che si conserva il momento della quantità di moto rispetto al punto di rotazione attorno cui ruota l'asta, visto che rispetto a tale punto la forza impulsiva di cui sopra ha momento nullo.
Alla luce di questo prova a scrivere semplicemente che il momento angolare prima dell'urto è uguale a quello dopo l'urto. Non è strettamente necessario calcolare il centro di massa del sistema.
Corretto invece che si conserva il momento della quantità di moto rispetto al punto di rotazione attorno cui ruota l'asta, visto che rispetto a tale punto la forza impulsiva di cui sopra ha momento nullo.
Alla luce di questo prova a scrivere semplicemente che il momento angolare prima dell'urto è uguale a quello dopo l'urto. Non è strettamente necessario calcolare il centro di massa del sistema.
Ok, quindi applicando la conservazione del momento angolare posso proseguire così:
Il momento angolare prima dell'urto sarà:
- Nullo per l'asta, perchè è inizialmente ferma e di conseguenza non ha quantità di moto.
- Per il punto materiale invece sarà:
$ L=rxx p=rxx mv=rxx m (omega r) $
Però ho un dubbio. Il vettore posizione r è il vettore che collega il vincolo O al punto materiale, ma dal problema ho solamente la distanza del punto materiale al momento dell'impatto che vale 0.80 m. Forse devo considerare un momento angolare iniziale subito prima dell'impatto inserendo proprio 0.80 m come vettore posizione?
Invece per il momento angolare dopo l'impatto, dovrebbe risultare:
$ L=rcmxx M(rcmomega ) $
Dove rcm è la posizione del centro di massa, e M la massa totale del sistema dopo l'urto, giusto?
CORREZIONE:
Un'altra ipotesi che ho fatto, dopo aver visto un vecchio esercizio simile, è questa:
Calcolo il momento angolare polare (rispetto a O) prima dell'urto, inserendo r come nell'ipotesi prima:
$ Li=rm2v $
Calcolo il momento angolare assiale (rispetto ad un asse passante per O) dopo l'urto:
$ Lf=Iomega $
Dove I è il momento d'inerzia totale del sistema dopo l'urto.
In questo la distinzione tra momento polare e assiale è fatta in base all'ipotesi che inizialmente l'asta è ferma e il punto in movimento, quindi non ci sono rotazioni (momento polare). Successivamente c'è una rotazione del sistema intorno ad un polo, quindi consideriamo un momento assiale attorno ad un asse passante per O.
Magari sbaglio il ragionamento...
Su questo concetto sono un pò confuso
Il momento angolare prima dell'urto sarà:
- Nullo per l'asta, perchè è inizialmente ferma e di conseguenza non ha quantità di moto.
- Per il punto materiale invece sarà:
$ L=rxx p=rxx mv=rxx m (omega r) $
Però ho un dubbio. Il vettore posizione r è il vettore che collega il vincolo O al punto materiale, ma dal problema ho solamente la distanza del punto materiale al momento dell'impatto che vale 0.80 m. Forse devo considerare un momento angolare iniziale subito prima dell'impatto inserendo proprio 0.80 m come vettore posizione?
Invece per il momento angolare dopo l'impatto, dovrebbe risultare:
$ L=rcmxx M(rcmomega ) $
Dove rcm è la posizione del centro di massa, e M la massa totale del sistema dopo l'urto, giusto?
CORREZIONE:
Un'altra ipotesi che ho fatto, dopo aver visto un vecchio esercizio simile, è questa:
Calcolo il momento angolare polare (rispetto a O) prima dell'urto, inserendo r come nell'ipotesi prima:
$ Li=rm2v $
Calcolo il momento angolare assiale (rispetto ad un asse passante per O) dopo l'urto:
$ Lf=Iomega $
Dove I è il momento d'inerzia totale del sistema dopo l'urto.
In questo la distinzione tra momento polare e assiale è fatta in base all'ipotesi che inizialmente l'asta è ferma e il punto in movimento, quindi non ci sono rotazioni (momento polare). Successivamente c'è una rotazione del sistema intorno ad un polo, quindi consideriamo un momento assiale attorno ad un asse passante per O.
Magari sbaglio il ragionamento...
Su questo concetto sono un pò confuso
Sì il momento angolare prima dell'impatto è:
$m_2*v*r$
e certo $r$ è pari 0.8 m, non ho capito il dubbio che hai su questo.
Dopo l'impatto il momento angolare sarà pari al momento angolare dell'asta
$I * omega$ (con $I$ momento di inerzia dell'asta rispetto ad un estremo, pari a $(m_1L^2)/3$)
più il momento angolare del punto che resta attaccato all'asta
$m_2r^2 omega$
Eguagliando hai $omega$ come unica incognita.
$m_2*v*r$
e certo $r$ è pari 0.8 m, non ho capito il dubbio che hai su questo.
Dopo l'impatto il momento angolare sarà pari al momento angolare dell'asta
$I * omega$ (con $I$ momento di inerzia dell'asta rispetto ad un estremo, pari a $(m_1L^2)/3$)
più il momento angolare del punto che resta attaccato all'asta
$m_2r^2 omega$
Eguagliando hai $omega$ come unica incognita.
Va bene, grazie. Quindi ottengo una velocità angolare di: $ omega =(3rv)/(l^2 +r^2) $
Poi per rispondere al secondo punto ho fatto questo ragionamento:
Applicando la seconda equazione cardinale: $ sum(M)=Ialpha $
$ alpha =M/I=M/(mr^2+1/3ml^2) $
Dopo aver trovato l'accellerazione angolare:
$ omega =omega'+alpha t $
Dove la velocità angolare iniziale w' è la velocità angolare trovata prima, e la velocità angolare w=0:
Sostituendo ho trovato un tempo di arresto di t=3,02s
Per trovare l'angolo percorso prima di fermarsi, ho sostituio il tempo t alla legge oraria:
$ vartheta (t)=vartheta i+omega' t+1/2alpha t^2 $
Con angolo iniziale pari a zero, ho trovato un angolo percorso di $ vartheta =0.1 rad $ circa, quindi non compie un giro intero prima di fermarsi
Dovrebbe risolversi cosi, oppure ho sbagliato qualcosa?
Poi per rispondere al secondo punto ho fatto questo ragionamento:
Applicando la seconda equazione cardinale: $ sum(M)=Ialpha $
$ alpha =M/I=M/(mr^2+1/3ml^2) $
Dopo aver trovato l'accellerazione angolare:
$ omega =omega'+alpha t $
Dove la velocità angolare iniziale w' è la velocità angolare trovata prima, e la velocità angolare w=0:
Sostituendo ho trovato un tempo di arresto di t=3,02s
Per trovare l'angolo percorso prima di fermarsi, ho sostituio il tempo t alla legge oraria:
$ vartheta (t)=vartheta i+omega' t+1/2alpha t^2 $
Con angolo iniziale pari a zero, ho trovato un angolo percorso di $ vartheta =0.1 rad $ circa, quindi non compie un giro intero prima di fermarsi
Dovrebbe risolversi cosi, oppure ho sbagliato qualcosa?
Il ragionamento è corretto, i calcoli un poco meno, nel senso, non ho capito come in questa soluzione
possano essere sparite le masse.
"Carmelo99":
Quindi ottengo una velocità angolare di: $ omega =(3rv)/(l^2 +r^2) $
possano essere sparite le masse.
Ho sbaglito un calcolo iniziale eliminando le masse, considerando la massa del punto uguale alla massa dell'asta.
Corregendo la velocità angolare e rifacendo i calcoli, ho trovato un tempo di arresto di 2,4 secondi e unangolo percorso di 6,98 radianti circa, quindi in questo caso l'asta compie un giro prima di fermarsi
Corregendo la velocità angolare e rifacendo i calcoli, ho trovato un tempo di arresto di 2,4 secondi e unangolo percorso di 6,98 radianti circa, quindi in questo caso l'asta compie un giro prima di fermarsi
Se lo dici tu... 
Sono pigro a fare i conti quindi se non riporti le formule non posso confortarti, se cerchi una conferma.
Comunque conta relativamente, l'importante è che ti siano chiari ora i concetti fisici.
Sono pigro a fare i conti quindi se non riporti le formule non posso confortarti, se cerchi una conferma.
Comunque conta relativamente, l'importante è che ti siano chiari ora i concetti fisici.
Si, ho capito il concetto fisico, che è la cosa più importante. Grazie mille per l'aiuto 
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