Asta rigida vincolata sugli assi coordinati
Ciao a tutti,
mi sono appena iscritto al sito di Matematicamente e questo è il mio primo post, per cui chiedo anticipatamente scusa per eventuali errori(messaggi ins ezioni non corrette, formule non in formato diverso Tex etc), farò del mio meglio per evitarli.
Prima di inserire il mio problema mi presento rapidamente: frequento la laurea triennale in matematica (da un po' più di tre anni....) e sono studente lavoratore. A proposito di questo: non intendo lavoretti per mantenermi all'università, ma lavoro a tempo pieno in fabbrica (cassa integrazione e chiusure permettendo); questo ovviamente non mi permette di frequentare e molti esami hanno come testo le dispense dei professori, spesso di supporto alla spiegazione in aula quindi alcune domande potranno sembrarvi banali, ma mi serviranno per "collegare" gli argomenti o la teoria alle applicazioni.
La mia bestia nera sono gli esercizi...veniamo al dunque.
Avrei bisogno di supporto per il seguente esercizio (prometto che dal prossimo userò le formule nel formato corretto, ma ho poco tempo , devo andare a produrre per alzare il PIL
):
Corso di fisica matematica I (ex meccanica razionale), problema di cinematica del corpo rigido:
un'asta rigida lunga 2L ha gli estremi A;B vincolati a scorrere senza attrito sugli assi coordinati x,y di versori i e j, rispettivamente.
La velocità dell'estremo A sull'asse x è Va=vi (i=versore, v=modulo) di verso concorde a quello dell'asse.
Calcolare velocità angolare dell'asta.
PS= i dati del problema potrebbero non essere sufficienti, in tal caso fatemelo notare (la parte di esercitazioni è a dir poco incompleta, per cui traggo spunti un po' ovunque per avere esercizi da risolvere
).
Lo schema di risoluzione che intenderei seguire è il seguente:
Essendo un atto di moto rigido piano o è puramente rotatorio o è puramente traslatorio. Potendo individuare il centro di istantanea rotazione C con le normali alle velocità di A e B in dato istante t (avrà coordinate pari alle posizioni di A e B su x e y rispettivamente) deduco che l'atto di moto rigido piano è puramente rotatorio.
La velocità di un punto G del corpo rigido potrà, quindi, essere espressa come Vg=WxCG (velocità angolare cartesiano CG). La velocità angolare W avrà versore k normale al piano del moto e uscente da esso (k=ixj). W=wk (w=modulo di W, k=versdell'asse definito da ixj)
Definendo come u=versCG avrò che Vg=WxCG=w|CG| k x u = w|CG| t (t=vers (k x u)).
|CG| = a COS(Phi), a= ascissa di C, coincidente ad ascissa dell'estremo A.
***** Qui sono fermo: l'idea sarebbe quella di avere la velocità di G (Vg) riferita al centro O ed avente stesso vers(k x u) in modo da uguagliare i moduli ed ottenere la sospirata velocità angolare (che mi aspetto non dipendere dal punto del corpo rigido o dalle coordinate del centro di istantanea rotazione C).
mi sono appena iscritto al sito di Matematicamente e questo è il mio primo post, per cui chiedo anticipatamente scusa per eventuali errori(messaggi ins ezioni non corrette, formule non in formato diverso Tex etc), farò del mio meglio per evitarli.
Prima di inserire il mio problema mi presento rapidamente: frequento la laurea triennale in matematica (da un po' più di tre anni....) e sono studente lavoratore. A proposito di questo: non intendo lavoretti per mantenermi all'università, ma lavoro a tempo pieno in fabbrica (cassa integrazione e chiusure permettendo); questo ovviamente non mi permette di frequentare e molti esami hanno come testo le dispense dei professori, spesso di supporto alla spiegazione in aula quindi alcune domande potranno sembrarvi banali, ma mi serviranno per "collegare" gli argomenti o la teoria alle applicazioni.
La mia bestia nera sono gli esercizi...veniamo al dunque.
Avrei bisogno di supporto per il seguente esercizio (prometto che dal prossimo userò le formule nel formato corretto, ma ho poco tempo , devo andare a produrre per alzare il PIL
):Corso di fisica matematica I (ex meccanica razionale), problema di cinematica del corpo rigido:
un'asta rigida lunga 2L ha gli estremi A;B vincolati a scorrere senza attrito sugli assi coordinati x,y di versori i e j, rispettivamente.
La velocità dell'estremo A sull'asse x è Va=vi (i=versore, v=modulo) di verso concorde a quello dell'asse.
Calcolare velocità angolare dell'asta.
PS= i dati del problema potrebbero non essere sufficienti, in tal caso fatemelo notare (la parte di esercitazioni è a dir poco incompleta, per cui traggo spunti un po' ovunque per avere esercizi da risolvere
).Lo schema di risoluzione che intenderei seguire è il seguente:
Essendo un atto di moto rigido piano o è puramente rotatorio o è puramente traslatorio. Potendo individuare il centro di istantanea rotazione C con le normali alle velocità di A e B in dato istante t (avrà coordinate pari alle posizioni di A e B su x e y rispettivamente) deduco che l'atto di moto rigido piano è puramente rotatorio.
La velocità di un punto G del corpo rigido potrà, quindi, essere espressa come Vg=WxCG (velocità angolare cartesiano CG). La velocità angolare W avrà versore k normale al piano del moto e uscente da esso (k=ixj). W=wk (w=modulo di W, k=versdell'asse definito da ixj)
Definendo come u=versCG avrò che Vg=WxCG=w|CG| k x u = w|CG| t (t=vers (k x u)).
|CG| = a COS(Phi), a= ascissa di C, coincidente ad ascissa dell'estremo A.
***** Qui sono fermo: l'idea sarebbe quella di avere la velocità di G (Vg) riferita al centro O ed avente stesso vers(k x u) in modo da uguagliare i moduli ed ottenere la sospirata velocità angolare (che mi aspetto non dipendere dal punto del corpo rigido o dalle coordinate del centro di istantanea rotazione C).
Risposte
Forse non ci avrò capito un acca del tuo ragionamento però dico la mia (se è una stupidaggine fammelo notare):
siccome il centro istantaneo di rotazione è il punto $C(x_A,y_B)$, e sapendo che il punto A si muove con velocità $v_A$ io dividerei banalmente questa velocità per la distanza da C, che è $y_B$ per ottenere la velocità angolare: $\omega=v_A/y_B$.
Naturalmente questa velocità angolare non è semplicemente proporzionale a $v_A$ perché dipende anche dalla coordinata y di C. Dunque se la $v_A$ è costante la velocità angolare è minima per asta verticale e tende a infinito per asta che tende all'orizzontale.
O almeno così mi sembra...
siccome il centro istantaneo di rotazione è il punto $C(x_A,y_B)$, e sapendo che il punto A si muove con velocità $v_A$ io dividerei banalmente questa velocità per la distanza da C, che è $y_B$ per ottenere la velocità angolare: $\omega=v_A/y_B$.
Naturalmente questa velocità angolare non è semplicemente proporzionale a $v_A$ perché dipende anche dalla coordinata y di C. Dunque se la $v_A$ è costante la velocità angolare è minima per asta verticale e tende a infinito per asta che tende all'orizzontale.
O almeno così mi sembra...
In effetti sono stato un po' criptico.
Comunque quello che hai detto tu è corretto, o almeno è in accordo con la mia parte. Basta scegliere di calcolare la velocità del punto estremo A (invece di quello che prima ho indicato con G).
In effetti non mi resta che verificare che $ omega $ non dipende dal punto del corpo rigido considerato.....
Grazie 1000!!!
Comunque quello che hai detto tu è corretto, o almeno è in accordo con la mia parte. Basta scegliere di calcolare la velocità del punto estremo A (invece di quello che prima ho indicato con G).
In effetti non mi resta che verificare che $ omega $ non dipende dal punto del corpo rigido considerato.....
Grazie 1000!!!
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