Asta rigida vincolata in rotazione
Un'asta rigida di lunghezza a e massa trascurabile ha un estremo incernierato in un punto ad altezza a dal piano orizzontale attorno al quale può ruotare mantenendosi in un piano verticale. All'altra estremità e al centro sono fissati due punti materiali di massa m. Sul piano orizzontale, esattamente sotto il punto attorno al quale l'asta ruota, è posto un punto materiale di massa M. L'asta viene rilasciata da ferma e in posizione orizzontale; ruotando sotto l'azione della gravità colpisce la massa M e rimbalza all'indietro. Trascurando tutti gli attriti e considerando l'urto perfettamente elastico, si determini il rapporto M/m sapendo che dopo l'urto l'estremo libero dell'asta risale fino alla quota a/4.
Per risolvere questo problema credo sia sufficiente stabilire qualche relazione tramite la conservazione dell'energia cinetica e del momento angolare.
Sapendo che la velocità del punto al centro è metà di quella del punto all'estremo, posso dire
$E = 2mga = 1/2m(v_0)^2 + 1/8m(v_0)^2$ dove g è l'accelerazione di gravità.
Tuttavia nella soluzione ufficiale ritrovo la seguente relazione
$E = 2mga = 1/2mga + 1/2m(v_0)^2 + 1/8m(v_0)^2$
Come mai c'è anche la quantità $1/2mga$? Quello dovrebbe essere il lavoro dell'asta dopo l'urto, e credo sia sbagliato sommarlo all'energia cinetica dell'asta prima dell'urto. Oppure sono io ad aver capito male qualcosa? Un grazie in anticipo a chi mi risponderà
Risolto ciò so come proseguire il problema
Risposte
Introdurre i momento di inerzia in questo problema facilita notevolmente i conti (specialmente nella parte finale): avendo a che fare con una distribuzione discreta di massa non è necessario nemmeno ricorrere ad un integrale per calcolarlo. Applicando la formula
$I=\sum r^2 m $
si ottiene facilmente $I=\frac{5}{4}ma^2 $.
Nella soluzione del problema è necessario fare semplici considerazioni riguardo la conservazione dell'energia e del momento angolare, così come hai detto. Pertanto nella configurazione iniziale il sistema possiede una energia potenziale pari a $U_i=2mga$ e un'energia cinetica nulla. Una volta che l'asta si trova verticalmente (immediatamente prima dell'urto), la sua energia avrà una componente cinetica ed una potenziale. In particolare, la componente cinetica è data da $T=\frac{1}{2} I \omega_(i)^(2) $ mentre quella potenziale è $ U_f=\frac{1}{2} mga $. Questo termine legato al potenziale è giustificato dal fatto che la massa che si trova a metà della sbarretta, anche nel momento in cui quest'ultima si trova in posizione verticale, è comunque vincolata a rimanere ad un altezza pari ad $frac{a}{2}$ per cui il suo potenziale (nel sistema di riferimento solidale al terreno) non è nullo.
Dunque la corretta espressione della conservazione dell'energia è data da :
$2mga=\frac{1}{2} mga+\frac{1}{2} I \omega_(i)^(2) $
$I=\sum r^2 m $
si ottiene facilmente $I=\frac{5}{4}ma^2 $.
Nella soluzione del problema è necessario fare semplici considerazioni riguardo la conservazione dell'energia e del momento angolare, così come hai detto. Pertanto nella configurazione iniziale il sistema possiede una energia potenziale pari a $U_i=2mga$ e un'energia cinetica nulla. Una volta che l'asta si trova verticalmente (immediatamente prima dell'urto), la sua energia avrà una componente cinetica ed una potenziale. In particolare, la componente cinetica è data da $T=\frac{1}{2} I \omega_(i)^(2) $ mentre quella potenziale è $ U_f=\frac{1}{2} mga $. Questo termine legato al potenziale è giustificato dal fatto che la massa che si trova a metà della sbarretta, anche nel momento in cui quest'ultima si trova in posizione verticale, è comunque vincolata a rimanere ad un altezza pari ad $frac{a}{2}$ per cui il suo potenziale (nel sistema di riferimento solidale al terreno) non è nullo.
Dunque la corretta espressione della conservazione dell'energia è data da :
$2mga=\frac{1}{2} mga+\frac{1}{2} I \omega_(i)^(2) $
una delle 2 masse è posta al centro,quindi la sua quota varia di $a/2$
il lavoro fatto dalla forza peso è $mga+1/2mga$
il lavoro fatto dalla forza peso è $mga+1/2mga$
Grazie mille ad entrambi per l'aiuto
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