Asta rigida in rototraslazione
Un'asta rigida omogenea AB di sezione trascurabile, di massa $2M$ e lunghezza $L$ giace senza vincoli su di un piano liscio ed è inizialmente ferma. A un certo istante un punto materiale di massa $M$ che si muove con velocità $v_{0}$, sul piano perpendicolarmente all'asta, urta l'asta nel suo estremo A in modo completamente anelastico. Calcolare: 1) la posizione del centro di massa dopo l'urto 2) il momento d'inerzia $I_{f}$ rispetto a un asse perpendicolare al piano e passante per il centro di massa del sistema dopo l'urto 3) la velocità angolare $w$ del sistema dopo l'urto 4) la perdita di energia $\delta E$ del sistema.
Sono riuscito a svolgere le prime 3 richieste, di cui vi riporto i risultati
1) Distanza $L/3$ dall'estremo A
2) $I_{f} = ML^2/3$
3) $w = v_{0}/L$
Per l'ultima testi ho qualche difficoltà. In sostanza io so che prima dell'urto l'energia cinetica del sistema è quella del solo punto materiale, mentre dopo l'urto è data dalla formula
$E = 1/2Mv_{c}^2 + 1/2I_{f}w^2$
Quello che non so è $v_{c}$, ovvero la velocità del centro di massa. Per calcolarla ho pensato di considerare il centro di massa come un generico punto della circonferenza avente centro in B e di sfruttare la formula $v = wR$
Perciò $v_{c} = 2/3v_{0}$ Ma da ciò non ricavo il valore della perdita di energia riportato nel libro.
Se invece considero il raggio pensando che il centro sia in A, cosa che non mi sembra sensata, ottengo il valore corretto.
Qualcuno sa offrirmi una delucidazione?
Risposte
Devi conservare la quantità di moto e il momento angolare. Quando andrai a calcolare la variazione di energia cinetica, dovrai ottenere una grandezza sempre negativa, indipendentemente dai parametri del problema. Se così non sarà, avrai sbagliato qualcosa. Ovviamente, condizione necessaria ma non sufficiente per poter dire di aver risolto il problema correttamente.
Grazie per la risposta, ma continuo a non capire perché ciò che ho fatto io è errato.
Se calcolo l'energia cinetica prima dell'urto e dopo l'urto sono egualmente in grado di rispondere al quesito no? E allora non capisco perché il mio procedimento porti ad un valore sbagliato, cosa c'è di illogico in quello che dico nel post principale?
Se calcolo l'energia cinetica prima dell'urto e dopo l'urto sono egualmente in grado di rispondere al quesito no? E allora non capisco perché il mio procedimento porti ad un valore sbagliato, cosa c'è di illogico in quello che dico nel post principale?
La velocità del centro di massa dopo l'urto è banalmente $v_0/3$: basta conservare la quantità di moto. Trovo davvero singolare che tu possa solo pensare che sia $2/3v_0$. Se proprio vuoi rischiare di romperti l'osso del collo calcolandola solo con strumenti cinematici, allora dovresti determinare la posizione del centro di istantanea rotazione. Ma sarebbe come mettere il carro davanti ai buoi.
P.S.
E' vero, intuitivamente si può pensare che il centro di istantanea rotazione sia proprio l'estremo A. E infatti, sotto questa ipotesi, si ottiene la velocità corretta del centro di massa.
P.S.
E' vero, intuitivamente si può pensare che il centro di istantanea rotazione sia proprio l'estremo A. E infatti, sotto questa ipotesi, si ottiene la velocità corretta del centro di massa.
"gordnbrn":
La velocità del centro di massa dopo l'urto è banalmente $v_0/3$: basta conservare la quantità di moto. Trovo davvero singolare che tu possa solo pensare che sia $2/3v_0$. Se proprio vuoi rischiare di romperti l'osso del collo calcolandola solo con strumenti cinematici, allora dovresti determinare la posizione del centro di istantanea rotazione. Ma sarebbe come mettere il carro davanti ai buoi.
P.S.
E' vero, intuitivamente si può pensare che il centro di istantanea rotazione sia proprio l'estremo A. E infatti, sotto questa ipotesi, si ottiene la velocità corretta del centro di massa.
Effettivamente è vero, ti ringrazio
Ora mi è anche chiaro perché B non potesse essere usato come centro mentre A si, grazie ancora.
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