Asta rigida in rotazione!!!
Buongiorno a tutti 
volevo esporre un mio dubbio su un esercizio di fisica 1.
riassumendo il testo: un'asta rigida di lunghezza l e massa m è libera di ruotare attorno ad un perno (altezza h dal suolo) per un suo estremo. inizialmente l'asta è in quiete in posizione orizzontale. l'asta viene lasciata cadere e raggiunge una posizione verticale. appena assume questa posizione (perpendicolare al terreno), l'asta si stacca dal perno. determinare la distanza dal perno centrale del punto in cui atterra il centro di massa. quanti giri compie l'asta prima di cadere??
... lasciando stare il primo punto.. il libro da la seguente spiegazione:" subito prima dell'inizio del suo volo l'asta stava ruotando con velocità angolare w intorno all'estremo agganciato al suo punto fisso. Durante il volo l'asta continua a ruotare con la stessa velocità angolare, ma intorno al suo centro di massa." non riesco a capire il senso della spiegazione!!! per quale principio fisico dovrebbe ruotare attorno al suo cm con la stessa velocità angolare che ha la sbarra prima di staccarsi??!! si tratta forse della conservazione del momento angolare???
volevo esporre un mio dubbio su un esercizio di fisica 1.
riassumendo il testo: un'asta rigida di lunghezza l e massa m è libera di ruotare attorno ad un perno (altezza h dal suolo) per un suo estremo. inizialmente l'asta è in quiete in posizione orizzontale. l'asta viene lasciata cadere e raggiunge una posizione verticale. appena assume questa posizione (perpendicolare al terreno), l'asta si stacca dal perno. determinare la distanza dal perno centrale del punto in cui atterra il centro di massa. quanti giri compie l'asta prima di cadere??
... lasciando stare il primo punto.. il libro da la seguente spiegazione:" subito prima dell'inizio del suo volo l'asta stava ruotando con velocità angolare w intorno all'estremo agganciato al suo punto fisso. Durante il volo l'asta continua a ruotare con la stessa velocità angolare, ma intorno al suo centro di massa." non riesco a capire il senso della spiegazione!!! per quale principio fisico dovrebbe ruotare attorno al suo cm con la stessa velocità angolare che ha la sbarra prima di staccarsi??!! si tratta forse della conservazione del momento angolare???
Risposte
Prima di staccarsi, l'asta ha raggiunto una certa velocità angolare. Quando si stacca, l'unica forza agente rimane la forza peso, ma questa è applicata nel centro di massa , e quindi il momento della forza peso rispetto al C.M. assunto come polo è nullo. Non essendoci momento di forze esterne sull'asta (rispetto al C.M.) , non c'è variazione del momento angolare ( sempre rispetto al C.M. ) , che rimane quello che aveva l'asta quando si è staccata.
Nota che per un corpo libero la velocità angolare non definisce la posizione dell'asse di rotazione.
Le equazioni cardinali della dinamica , per il moto rototraslatorio piano di questa asta , sono :
$mvecg = d/(dt) (mvecv)$ , per il moto del CM (la solita parabola ....)
$0 = (dvecL)/(dt) $
con ovvie condizioni iniziali , che ti scrivi da solo .
Nota che per un corpo libero la velocità angolare non definisce la posizione dell'asse di rotazione.
Le equazioni cardinali della dinamica , per il moto rototraslatorio piano di questa asta , sono :
$mvecg = d/(dt) (mvecv)$ , per il moto del CM (la solita parabola ....)
$0 = (dvecL)/(dt) $
con ovvie condizioni iniziali , che ti scrivi da solo .
Grazie mille Al Nilam !!! sicuramente si conserva il momento angolare rispetto al CM. Il problema ora si traduce nello scrivere il momento angolare della sbarretta quando questa è agganciata in posizione verticale e quando questa è libera di muoversi senza vincoli. Da profano, oltre alla definizione di momento angolare di un punto materiale, conosco la formula per scrivere il momento angolare di un corpo rispetto ad un asse per il suo CM conoscendo la velocità angolare del corpo rispetto a tale asse (L=Iw). in questo problema invece si conosce solo la velocità angolare RISPETTO AL PERNO AL QUALE LA SBARRA E' VINCOLATA, NON RISPETTO AL CM. come si può scrivere il momento angolare prima e dopo rispetto al CM??
Quando la sbarra è vincolata , conviene scrivere il momento angolare rispetto all'asse di rotazione, non ha senso scriverlo rispetto al CM dell'asta . Quindi occorre calcolare il momento di inerzia dell'asta rispetto all'asse , e scrivere :
$L (t) = I \omega(t)$
ho scritto $\omega(t) $ perché in questo caso la velocità angolare è variabile da zero al valore max, che si ha quando l'asta è verticale. Si può ricavare applicando il principio di conservazione dell'energia. L'espressione analitica della velocità angolare non è semplice da ricavare , pur essendo il moto molto semplice. Hai presente il pendolo composto, che si studia supponendo piccole oscillazioni ?
Una volta nota la velocità angolare nel punto di distacco, basta calcolare il momento di inerzia rispetto a un asse baricentrico perpendicolare all'asta, e moltiplicarlo per questa velocità angolare , per ottenere $L$ .
$L (t) = I \omega(t)$
ho scritto $\omega(t) $ perché in questo caso la velocità angolare è variabile da zero al valore max, che si ha quando l'asta è verticale. Si può ricavare applicando il principio di conservazione dell'energia. L'espressione analitica della velocità angolare non è semplice da ricavare , pur essendo il moto molto semplice. Hai presente il pendolo composto, che si studia supponendo piccole oscillazioni ?
Una volta nota la velocità angolare nel punto di distacco, basta calcolare il momento di inerzia rispetto a un asse baricentrico perpendicolare all'asta, e moltiplicarlo per questa velocità angolare , per ottenere $L$ .
si ma il momento angolare non si conserva solo se calcolato rispetto al CM prima che la sbarra si stacca e dopo?? come puoi calcolarlo rispetto al perno e poi eguagliarlo al momento angolare calcolato dopo rispetto al CM ?!?
Quando l'asta si stacca dal perno. viene a mancare una delle due forze che ne determinavano il moto, la reazione vincolare, oppure, viene ad aggiungersi, istantaneamente, una nuova forza agente sul perno che annulla la reazione vincolare medesima. Se il distacco è idealmente istantaneo, visto che la reazione vincolare è senz'altro finita, il venire meno della reazione vincolare non ha alcun effetto sul moto. Ergo, prima e dopo il distacco, si conserva la quantità di moto, il momento angolare e l'energia cinetica. In particolare, la conservazione del momento angolare può essere imposta prendendo come polo il perno, così come un qualsiasi altro punto fisso, oppure il centro di massa. Insomma, la scelta del polo non ha alcuna rilevanza. Tra l'altro, che la velocità angolare non cambi può essere ricavato anche imponendo la conservazione della quantità di moto o dell'energia cinetica. Infine, ti ricordo che la velocità angolare, essendo introdotta per quantificare la velocità di variazione dei versori rigidamente collegati a un corpo rispetto a quelli fissi, non ha alcuna relazione con un punto in particolare.
Grazie mille Sergeant Elias!! ora è tutto un po' più chiaro.. con la conservazione dell'energia ho verificato che la velocità angolare prima e dopo è la stessa.
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