Asta omogenea tenuta da due funi in equilibrio
Un'asta omogenea AB di lunghezza $L=2$ e massa trascurabile è tenuta in posizione orizzontale da due funi fissate nei punti A e B. La fune in B forma un angolo $alpha=30°$ con la verticale. Sull'asta sono posti due corpi, uno di massa $m_1=25kg$ a distanza $a =40cm$ dall'estremo A e l'altro di massa $m_2=32kg$ a distanza $b=1,4m$ da A. Calcolare, in condizioni di equilibrio, le tensioni delle funi e l'angolo $theta$ che la fune forma in A con la verticale.
Allora ho provato a risolverlo con le due condizioni per verificare l'equilibrio statico: $R=0$ e $M=0$
lungo l'asse x $T_Asentheta=T_Bsenalpha$ (la figura è un trapezio generico, non un trapezio isoscele)
lungo l'asse y= $T_Acostheta+T_Bcosalpha-m_1g-m_2g=0$
Equilibrio dei momenti, assumento A come polo (ma con i momenti devo considerare sia l'asse x che y(scusate ma sto momento non mi è tanto chiaro))
$T_BcosalphaL-m_1ga-m_2gb=0$
Rispondetemi alle domande, perchè devo togliermi questi dubbi
Vorrei capire se queste sono le giuste equazioni per il problema, almeno c'ho provato.
Allora ho provato a risolverlo con le due condizioni per verificare l'equilibrio statico: $R=0$ e $M=0$
lungo l'asse x $T_Asentheta=T_Bsenalpha$ (la figura è un trapezio generico, non un trapezio isoscele)
lungo l'asse y= $T_Acostheta+T_Bcosalpha-m_1g-m_2g=0$
Equilibrio dei momenti, assumento A come polo (ma con i momenti devo considerare sia l'asse x che y(scusate ma sto momento non mi è tanto chiaro))
$T_BcosalphaL-m_1ga-m_2gb=0$
Rispondetemi alle domande, perchè devo togliermi questi dubbi
Vorrei capire se queste sono le giuste equazioni per il problema, almeno c'ho provato.
Risposte
Allora guarda per quel poco che ne so mi sembra più o meno tutto giusto tranne l'ultima equazione che non è molto chiara anche se ho capito che stai moltiplicando le due forze per il braccio. Ma più che una cosa sicura vedi quello che ti ho detto come un incoraggiamento 
"75america":
lungo l'asse x $T_Asentheta=T_Bsenalpha$ (ma poi come fanno ad essere uguali le due componenti se gli angoli sono diversi??,questo non l'ho proprio capito)
E chi te l'ha detto che sono uguali? Se fossero uguali avresti un'incognita in meno ...
Le prime due equazioni sembrano corrette ma in quella riguardante i momenti hai dimenticato di moltiplicare i pesi dei due corpi per i rispettivi bracci. Da questa trovi $T_b$ e poi ....
P.S.: non hai ancora finito un altro post con un esercizio simile ...
axpgn scusa ma i bracci già li avevo intesi ma messi come pedice, ricontrolla l'equazione, $a$ e $b$ sono le rispettive distanze dal punto $A$ preso come polo, quindi i bracci.
poi volevo capire perchè per l'equazione dei momenti non si deve considerare l'asse delle x, eppure le tensioni delle funi formando gli angoli, hanno ognugna due componenti, giusto?
poi volevo capire perchè per l'equazione dei momenti non si deve considerare l'asse delle x, eppure le tensioni delle funi formando gli angoli, hanno ognugna due componenti, giusto?
"axpgn":[/quote]
[quote="75america"]lungo l'asse x $T_Asentheta=T_Bsenalpha$ (ma poi come fanno ad essere uguali le due componenti se gli angoli sono diversi??,questo non l'ho proprio capito)
scusami axpgn ma le due componenti lungo l'asse x per questa equazione cardinale della statica la loro risultante deve essere nulla, significa che in termini di lunghezza non devono essere diverse, eppure lo sono, allora come cavolo si fa a segnare che la differenza di ste due componenti $T_Asentha-T_Bsenalpha=0$?
io invece penso che $T_Acostheta$ e $T_Bcostheta$ (cioè le com. verticali) siano uguali in quanto altezza del trapezio generico che è sempre la stessa, forse ,anzi sicuramente sto impazzendo
Allora, facciamo così ... inizia col risolvere l'equazione dei momenti, dove hai una SOLA incognita. Sei d'accordo?
(sinceramente $a$ e $b$ non li avevo visti ... sicuro che c'erano prima ? ... cmq risolvi questa intanto ...)
Lascia perdere per adesso i ragionamenti sui "trapezi" ... (sta scritto da qualche parte che la lunghezza delle funi è identica? perché i lati obliqui del trapezio devono essere uguali?)
(sinceramente $a$ e $b$ non li avevo visti ... sicuro che c'erano prima ? ... cmq risolvi questa intanto ...)
Lascia perdere per adesso i ragionamenti sui "trapezi" ... (sta scritto da qualche parte che la lunghezza delle funi è identica? perché i lati obliqui del trapezio devono essere uguali?)
axpgn allora sul foglio di carta nell'equazione dei momenti c'erano scritti i bracci quindi $a$ e $b$, credimi
-poi il ragionamento sui trapezi(se non lo risolvo m'ingrippo), scusami ma se l'asta deve stare in orizzontale le due funi(ovvero i lati obliqui dei trapezi non devono essere uguali, siamo d'accordo), però l'altezza h del trapezio che nel nostro caso è: $T_Acostheta=T_Bcostheta$ rimane costante (non ho detto i lati obliqui).
-secondo me l'equazione $T_Asentheta=T_Bsenalpha$ è sbagliata perchè le proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore devono essere diverse.
Scusa tutto sto ragionamento con i trapezi, ma io voglio capire, non imparare a memoria
-poi il ragionamento sui trapezi(se non lo risolvo m'ingrippo), scusami ma se l'asta deve stare in orizzontale le due funi(ovvero i lati obliqui dei trapezi non devono essere uguali, siamo d'accordo), però l'altezza h del trapezio che nel nostro caso è: $T_Acostheta=T_Bcostheta$ rimane costante (non ho detto i lati obliqui).
-secondo me l'equazione $T_Asentheta=T_Bsenalpha$ è sbagliata perchè le proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore devono essere diverse.
Scusa tutto sto ragionamento con i trapezi, ma io voglio capire, non imparare a memoria
axpgn allora ho risolto partendo dalla terza equazione, però rispondimi ai ragionamenti sui trapezi, per favore
$T_BcosalphaL-m_1ga-m_2gb=0$
$T_Bcos30 *2-25*9.8*0,4-32*9,8*1,4$
$T_B=(439,04+98)/(1,732)=310,06N$
Però se considerassi $T_Acostheta=T_Bcosalpha$(cioè l'altezza h del trapezio) potrei sostituire nella seconda equazione:
(risultante delle forze nulla sull'asse y)
$T_Acostheta+T_Bcosalpha-m_1g-m_2g=0$ diventa:
$2T_Bcosalpha-m_1g-m_2g=0$
$2T_Bcos30-25*9,8-32*9,8=0$
$T_B=(245+313,6)/(1,732)=558,6/1,732=322,5N$
e come vedi il risultato è diverso...che errori sto facendo?
$T_BcosalphaL-m_1ga-m_2gb=0$
$T_Bcos30 *2-25*9.8*0,4-32*9,8*1,4$
$T_B=(439,04+98)/(1,732)=310,06N$
Però se considerassi $T_Acostheta=T_Bcosalpha$(cioè l'altezza h del trapezio) potrei sostituire nella seconda equazione:
(risultante delle forze nulla sull'asse y)
$T_Acostheta+T_Bcosalpha-m_1g-m_2g=0$ diventa:
$2T_Bcosalpha-m_1g-m_2g=0$
$2T_Bcos30-25*9,8-32*9,8=0$
$T_B=(245+313,6)/(1,732)=558,6/1,732=322,5N$
e come vedi il risultato è diverso...che errori sto facendo?
"75america":
$T_BcosalphaL-m_1ga-m_2gb=0$
$T_Bcos30 *2-25*9.8*0,4-32*9,8*1,4$
$T_B=(439,04+98)/(1,732)=310,06N$
... e questo è corretto.
"75america":
Però se considerassi $T_Acostheta=T_Bcosalpha$(cioè l'altezza h del trapezio) ...
E chi te l'ha detto che quella è l'altezza del trapezio? NON confondere le tensioni T con la lunghezza delle funi!!!
La relazione che hai in orizzontale è questa $T_a*sin(theta)=T_b*sin(alpha)$, e parti da qui per sostituire nell'altra, ecc.
axpgn non arrabbiarti, però le funi sono i lati obliqui del trapezio, giusto?
allora le componenti $T_Acostheta$ e $T_Bcosalpha$ che sono nella figura del trapezio, scusami ma devo capì
allora le componenti $T_Acostheta$ e $T_Bcosalpha$ che sono nella figura del trapezio, scusami ma devo capì
Le tensioni hanno la stessa direzione delle funi, ma NON sono le funi. Quelle che vedi nel disegno sono SOLO le funi; se vuoi rappresentare le tensioni, disegnerai delle frecce che partono dagli estremi, che avranno la stessa direzione delle funi MA lunghezza che decidi tu in base alla scale che vorrai dargli: il trapezio che vedi è formato da lunghezze.
Ti faccio un esempio (spero che ti chiarisca le idee).
La nostra asta è rigida e le funi inestensibili quindi la forma del trapezio è fissata; se io metto un altro peso sull'asta, mettiamo un bel quintale vicino all'estremo $A$, le tensioni $T_a$ e $T_b$ sicuramente varieranno ma le lunghezze delle funi NO, quindi il tuo disegno resterà lo stesso. Puoi mettere e togliere tutti i pesi che vuoi e dove vuoi, ma il trapezio rimarrà sempre lo stesso (fino a quando non esageri e casca tutto ...
)
Più chiaro così?
Ti faccio un esempio (spero che ti chiarisca le idee).
La nostra asta è rigida e le funi inestensibili quindi la forma del trapezio è fissata; se io metto un altro peso sull'asta, mettiamo un bel quintale vicino all'estremo $A$, le tensioni $T_a$ e $T_b$ sicuramente varieranno ma le lunghezze delle funi NO, quindi il tuo disegno resterà lo stesso. Puoi mettere e togliere tutti i pesi che vuoi e dove vuoi, ma il trapezio rimarrà sempre lo stesso (fino a quando non esageri e casca tutto ...
)Più chiaro così?
Ho capito che le tensioni non sono le funi, quindi le componenti sull'asse y, in termini numerici sono differenti, quindi $T_Acostheta$ è diverso da $T_Bcosalpha$, anche se sul disegno sembrano uguali, perchè non fanno riferimento all'altezza, ma fanno riferimento alla tensione, in quanto seppur la tensione aumentasse a dismisura, essendo inestensibile, la figura rimane lo stessa, giusto?
stavolta credo di aver capito, e se ho capito io...
stavolta credo di aver capito, e se ho capito io...
Sì, più o meno è così ... 
La figura è sempre la stessa perché fa riferimento alle lunghezze, mentre le tensioni NON le vedi (o meglio, non vedi il MODULO delle tensioni); potresti disegnarle, certo, ma solo dopo averle calcolate ... ... quindi NON dire che "... anche se sul disegno sembrano uguali (le tensioni) ..." ... è questo che ti frega
La figura è sempre la stessa perché fa riferimento alle lunghezze, mentre le tensioni NON le vedi (o meglio, non vedi il MODULO delle tensioni); potresti disegnarle, certo, ma solo dopo averle calcolate ...
... quindi NON dire che "... anche se sul disegno sembrano uguali (le tensioni) ..." ... è questo che ti frega
axpgn ho fatto i calcoli spero di non aver fatto orrori:
Dalla terza equazione mi avevi dato per corretto $T_B=310,06N$
Sostituisco $T_B$ nella prima:
$T_Asentheta=T_Bsenalpha$
$T_Asentheta=310,06*sen30°=155,03N$
$T_A=(155,03)/(sentheta)$
Sostituisco nella seconda: $T_Acostheta+T_Bcosalpha-m_1g-m_2g=0$
$155,03* (costheta)/(sentheta) + 310.06cos30°-245-313.6=0$
$155.03 (cotg)\theta+268.51-245-313.6=0$
$(cotg)\theta=290.1/155.03=1.87==>theta=28°$
È corretto?
Dalla terza equazione mi avevi dato per corretto $T_B=310,06N$
Sostituisco $T_B$ nella prima:
$T_Asentheta=T_Bsenalpha$
$T_Asentheta=310,06*sen30°=155,03N$
$T_A=(155,03)/(sentheta)$
Sostituisco nella seconda: $T_Acostheta+T_Bcosalpha-m_1g-m_2g=0$
$155,03* (costheta)/(sentheta) + 310.06cos30°-245-313.6=0$
$155.03 (cotg)\theta+268.51-245-313.6=0$
$(cotg)\theta=290.1/155.03=1.87==>theta=28°$
È corretto?
"75america":
$155,03* (costheta)/(sentheta) + 310.06cos30°-245-313.6=0$
$155.03 tg\theta+268.51-245-313.6=0$
$tg\theta=290.1/155.03=1.87==>theta=61.8°$
È corretto?
Ti faccio notare che $cos(theta)/sin(theta)$ è la COTANGENTE di $theta$ non la tangente ... (comunque non è necessario rifare i conti
)
calcoli rivisti, $theta=28°$, ti trovi=?
Beh, è il complementare della cotangente ($90-61,8$) ...
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