Asta incernierata ad un estremo

[Mynameis1]

Buongiorno , avrei bisogno di alcuni chiarimenti riguardo questo esercizio : " un'asta rigida e omogenea di massa $ m $ e lunghezza $ l $ è appesa verticalmente per un'estremità ad una cerniera C ; l'asta può ruotare in senso antiorario senza attrito attorno all'asse orizzontale passante per C ed è inizialmente in quiete . Viene applicata all'estremità libera dell'asta una forza costante in modulo $ F $ pari al peso dell'asta e costantemente orizzontale ( diretta verso destra ) . Calcolare quando l'asta è orizzontale : (a) la sua velocità angolare ; (b) la reazione della cerniera . " Noto subito che la forza $ F $ compie un lavoro resistente/dissipativo poiché si oppone a quello che è il naturale movimento dell'asta , quello di tornare giù sotto l'azione del peso . Questo lavoro , che con un collega abbiamo calcolato dalla definizione generale di lavoro ( essendo tra l'altro , correggetemi se sbaglio , un lavoro dissipativo ) $ int_(pi/2)^(pi) F*ds= mgint_(pi/2)^(pi) ldalpha cosalpha=-mgl $ dove abbiamo scritto $ ldalpha $ per riportare l'arco di circonferenza entro il quale si compie questo lavoro dissipativo . Da qui la variazione di energia meccanica è uguale al al lavoro non conservativo per cui $ 1/2I_comega^2+mgl/2=Fl $ ( qui ho il primo dubbio : come mai scriviamo $ mgl/2 $ e non $ mgl $ come energia potenziale finale ) . Per l'inerzia ho applicato il teorema H.S. rispetto a C . Risolvendo trovo $ omega=sqrt((3g)/l) $ che è anche la soluzione proposta dal foglio . Per la seconda richiesta ho ancora un poco di dubbi . Non conoscendo di fatto nulla sulla reazione io ho così considerato le componenti $ R_x $ e $ R_y $ proiettate su un sistema di assi cartesiani con origine in C e con asse y rivolto verso l'alto ed asse x verso sinistra ; ho poi scritto la seconda cardinale prendendo come polo C ( la reazione non ha momento così come F poiché entrambe le rette di applicazione passano per il polo ) : $ mgl/2=I_CalpharArr alpha=(3g)/(2l) $ che sarebbe il momento della forza peso . Il mio collega ha poi scritto la prima cardinale su x $ R_x-F=momega^2l/2 $ e su y $ R_y-mg=malphal/2 $ . Qui ho un altro dubbio : io ho supposto che questa forza, che viene costantemente applicata all'estremo B dell'asta le permetta di effettuare un moto circolare uniformemente accelerato ( tanto è vero che in entrambe le due equazioni precedenti abbiamo accelerazioni , rispettivamente normale e tangenziale diverse da zero ) però non capisco come mai il secondo membro sia quello scritto e non invece $ malphal $ così come nella prima $ momega^2l $ . Per definizione l'accelerazione normale non è $ omega^2R $ ? Dove $ R $ , raggio della traiettoria centrata in C sarebbe il nostro $ l $ ? Analogamente per la seconda se partiamo dalla definizione di accelerazione tangenziale $ a_t=alphaR $ ( con $ R=l $ ) . Scusate la lunghezza , un grazie per chi mi aiuterà

[anonymous_0b37e9]

"Mynameis":
Noto subito che la forza $F$ compie un lavoro resistente/dissipativo ...

Non se ne comprende assolutamente il motivo. Tipicamente, un lavoro resistente è considerato negativo.

[mgrau]

Qualche osservazione a margine:
$ int_(pi/2)^(pi) F*ds= mgint_(pi/2)^(pi) ldalpha cosalpha=-mgl $ è una inutile complicazione: la forza è orizzontale, e il suo punto di applicazione si sposta a destra di $l$, quindi il suo lavoro è $mgl$ (fra l'altro, positivo e non negativo)

"Mynameis":come mai scriviamo $ mgl/2 $ e non $ mgl $ come energia potenziale finale

il baricentro dell'asta sta a l/2, e passando da verticale a orizzontale si solleva di l/2

"Mynameis": io ho supposto che questa forza, che viene costantemente applicata all'estremo B dell'asta le permetta di effettuare un moto circolare uniformemente accelerato

non è così, la forza non è perpendicolare all'asta ma sempre orizzontale, il suo momento non è costante ma diminuisce (inoltre c'è pure il momento del peso, che aumenta, e si oppone a quello della forza esterna), così l'accelerazione angolare non è costante, anzi diventa pure negativa perchè alla fine il momento della forza è zero e quello del peso - frenante - è massimo

[donald_zeka]

Altre osservazioni a margine: Nella soluzione tua e del tuo collega non c'è praticamente quasi nulla di giusto,trattandosi inoltre di un problema abbastanza standard, ti consiglio di studiare per bene la teoria e guardare un po' di esercizi svolti, ce ne sono tanti in rete.

[Mynameis1]

"anonymous_0b37e9":[quote="Mynameis"]
Noto subito che la forza $F$ compie un lavoro resistente/dissipativo ...

Non se ne comprende assolutamente il motivo. Tipicamente, un lavoro resistente è considerato negativo.[/quote]
Come mai non è dissipativo se comunque si oppone al moto spontaneo della sbarretta visto che questa cadrebbe
sotto l'azione del proprio peso ?

"mgrau":Qualche osservazione a margine:
$ int_(pi/2)^(pi) F*ds= mgint_(pi/2)^(pi) ldalpha cosalpha=-mgl $ è una inutile complicazione: la forza è orizzontale, e il suo punto di applicazione si sposta a destra di $ l $, quindi il suo lavoro è $ mgl $ (fra l'altro, positivo e non negativo)

Scusami ma non capisco come tu abbia calcolato il lavoro

In ultima analisi avete da consigliarmi una strada per cominciare a ragionare nuovamente sul problema ? Potrei conservare l'energia per esempio qualora mi venisse confermato che la $ F $ è una forza non dissipativa che conseguentemente non compie lavoro dissipativo oppure devo fare altro ?

[mgrau]

"Mynameis":
Scusami ma non capisco come tu abbia calcolato il lavoro

La forza è orizzontale, nel calcolare il lavoro devi fare il prodotto scalare forza per spostamento, ossia ti interessa la componente dello spostamento nella direzione orizzontale; non ha importanza che lo spostamento sia curvilineo, quindi punto per punto il coseno dell'angolo cambi, perchè comunque interessa solo lo spostamento laterale. E questo spostamento è la lunghezza dell'asta.
E' la stessa cosa di quando devi trovare il lavoro gravitazionale andando da un punto A a B: non importa il percorso, interessa solo la differenza di altezza fra A e B

"Mynameis":Potrei conservare l'energia per esempio qualora mi venisse confermato che la $ F $ è una forza non dissipativa che conseguentemente non compie lavoro dissipativo oppure devo fare altro ?

Certo che puoi, non ci sono forze dissipative. Non è che, siccome una forza si oppone ad un'altra, allora è dissipativa...