Asta in rotazione con manicotto fissato tra due molle
Buonasera, ho questo problema di fisica, Rosati n.6-26 di pag.152, di cui allego il mio procedimento.
"Un'asta omogenea $AB$, di lunghezza $l$, sezione trasversale di dimensioni trascurabili rispetto a $l$ e massa $M$, ha l'estremità $A$ incernierata a un punto fisso di asse verticale intorno al quale, grazie a opportune forze esterne, ruota con velocità angolare costante di modulo $omega_0$, formando con esso un angolo costante $alpha$. Lungo l'asta può scorrere con attrito trascurabile un piccolo manicotto di massa $m$, collegato alle due estremità dell'asta mediante due molle uguali, ciascuna di lunghezza a riposo $l_0$ e costante elastica $k$. Si determini la distanza $d$ da $A$ del manicotto se questo non si muove lungo l'asta."
Come da disegno prendo un sistema di riferimento solidale all'asse verticale e scrivo le forze applicate al manicotto lungo i due assi $\x $ e $ \y$:
$ x: +F_c - F_esinalpha -F_esinalpha -Ncosalpha=0 $
$ y: -mg - F_ecosalpha -F_ecosalpha +Nsinalpha=0 $
$ +momega_0^2r -k(d-l_0)sinalpha -k(x)sinalpha-Ncosalpha=0 $
$ Nsinalpha=mg+k(d-l_0)cosalpha+k(x)cosalpha $ da questa ricavo $N$:
$ N=(mg+k(d-l_0)cosalpha+k(x)cosalpha)/(sinalpha) $
sostituendo nella prima equazione (asse x) e moltiplicando tutto per $sinalpha$ ottengo:
$momega_0^2rsinalpha -k(d-l_0)sin^2alpha -k(x)sin^2alpha-mgcosalpha-k(d-l_0)cos^2alpha-k(x)cos^2alpha=0$
$momega_0^2rsinalpha -k(d-l_0) -k(x) -mgcosalpha=0$
ora $r$ come da disegno è $r=dsinalpha$ mentre per quanto riguarda la variabile $x$, dato che la molla sotto il manicotto si allunga di una quantità $d-l_0$ allora la seconda molla si accorcerà della stessa quantità quindi $x=d-l_0$:
$momega_0^2dsin^2alpha -k(d-l_0) -k(d-l_0) -mgcosalpha=0$
$momega_0^2dsin^2alpha -2k(d-l_0) -mgcosalpha=0$
$momega_0^2dsin^2alpha -2kd +2kl_0 -mgcosalpha=0$
$d=(mgcosalpha-2kl_0)/(momega_0^2sin^2alpha -2k)$
mentre il risultato esatto è: $d=(kl-mgcosalpha)/(2k-momega_0^2sin^2alpha)$
i miei dubbi sono principalmente sulle forze esercitate dalle molle sul manicotto cioè quella sotto dovrebbe tirare il manicotto verso il basso mentre quella sopra lo dovrebbe spingere verso il basso, giusto?
"Un'asta omogenea $AB$, di lunghezza $l$, sezione trasversale di dimensioni trascurabili rispetto a $l$ e massa $M$, ha l'estremità $A$ incernierata a un punto fisso di asse verticale intorno al quale, grazie a opportune forze esterne, ruota con velocità angolare costante di modulo $omega_0$, formando con esso un angolo costante $alpha$. Lungo l'asta può scorrere con attrito trascurabile un piccolo manicotto di massa $m$, collegato alle due estremità dell'asta mediante due molle uguali, ciascuna di lunghezza a riposo $l_0$ e costante elastica $k$. Si determini la distanza $d$ da $A$ del manicotto se questo non si muove lungo l'asta."
Come da disegno prendo un sistema di riferimento solidale all'asse verticale e scrivo le forze applicate al manicotto lungo i due assi $\x $ e $ \y$:
$ x: +F_c - F_esinalpha -F_esinalpha -Ncosalpha=0 $
$ y: -mg - F_ecosalpha -F_ecosalpha +Nsinalpha=0 $
$ +momega_0^2r -k(d-l_0)sinalpha -k(x)sinalpha-Ncosalpha=0 $
$ Nsinalpha=mg+k(d-l_0)cosalpha+k(x)cosalpha $ da questa ricavo $N$:
$ N=(mg+k(d-l_0)cosalpha+k(x)cosalpha)/(sinalpha) $
sostituendo nella prima equazione (asse x) e moltiplicando tutto per $sinalpha$ ottengo:
$momega_0^2rsinalpha -k(d-l_0)sin^2alpha -k(x)sin^2alpha-mgcosalpha-k(d-l_0)cos^2alpha-k(x)cos^2alpha=0$
$momega_0^2rsinalpha -k(d-l_0) -k(x) -mgcosalpha=0$
ora $r$ come da disegno è $r=dsinalpha$ mentre per quanto riguarda la variabile $x$, dato che la molla sotto il manicotto si allunga di una quantità $d-l_0$ allora la seconda molla si accorcerà della stessa quantità quindi $x=d-l_0$:
$momega_0^2dsin^2alpha -k(d-l_0) -k(d-l_0) -mgcosalpha=0$
$momega_0^2dsin^2alpha -2k(d-l_0) -mgcosalpha=0$
$momega_0^2dsin^2alpha -2kd +2kl_0 -mgcosalpha=0$
$d=(mgcosalpha-2kl_0)/(momega_0^2sin^2alpha -2k)$
mentre il risultato esatto è: $d=(kl-mgcosalpha)/(2k-momega_0^2sin^2alpha)$
i miei dubbi sono principalmente sulle forze esercitate dalle molle sul manicotto cioè quella sotto dovrebbe tirare il manicotto verso il basso mentre quella sopra lo dovrebbe spingere verso il basso, giusto?
Risposte
Se non si sa quanto vale di preciso $l_0$ non si può dire nulla riguardo al verso in cui esercitano le forze.
Comunque mi sembra che tu abbia complicato inutilmente le cose mettendo gli assi x e y che non servono a niente. Infatti l'equilibrio va ricercato solo radialmente lungo la sbarra quindi prova a rifare l'esercizio levando quegli assi x e y.
Comunque mi sembra che tu abbia complicato inutilmente le cose mettendo gli assi x e y che non servono a niente. Infatti l'equilibrio va ricercato solo radialmente lungo la sbarra quindi prova a rifare l'esercizio levando quegli assi x e y.
"Vulplasir":
Se non si sa quanto vale di preciso $l_0$ non si può dire nulla riguardo al verso in cui esercitano le forze.
Comunque mi sembra che tu abbia complicato inutilmente le cose mettendo gli assi x e y che non servono a niente. Infatti l'equilibrio va ricercato solo radialmente lungo la sbarra quindi prova a rifare l'esercizio levando quegli assi x e y.
$l_0$ è la lunghezza a riposo di ciascuna molla quindi, in teoria, $2l_0=l$ dove $l$ è la lunghezza della sbarra quindi il risultato verrebbe:
$d=(mgcosalpha-kl)/(omega_0^2sin^2alpha-2k)$
che è lo stesso identico risultato del libro solo di segno opposto..
Beh si se $l_0=l/2$ allora il tuo risultato è corretto ed è uguale a quello del libro. Fatto sta comunque che hai messo gli assi ortogonali inutilmente, cosa che poteva portarti a errori di calcolo.
"Vulplasir":
Beh si se $l_0=l/2$ allora il tuo risultato è corretto ed è uguale a quello del libro. Fatto sta comunque che hai messo gli assi ortogonali inutilmente, cosa che poteva portarti a errori di calcolo.
Si in effetti potevo mettere semplicemente l'asse $x$ lungo l'asta...nella traccia non viene specificato il valore di $l_0$ (quello di è $l$ è 1.6m) però come dice la traccia stessa: "Lungo l'asta può scorrere con attrito trascurabile un piccolo manicotto di massa m, collegato alle due estremità dell'asta mediante due molle uguali, ciascuna di lunghezza a riposo l0 e costante elastica k."
ora mi chiedo, come mai mi viene il risultato opposto?
Il risultato è lo stesso...guarda bene
"Vulplasir":
Il risultato è lo stesso...guarda bene
perché ho posizionato l'origine nella posizione di equilibro? il problema mi chiedeva la distanza dal punto $A$ al punto di equilibrio mentre io alla fine ho trovato la distanza dal punto di equilibrio (origine degli assi) al punto $A$, giusto?
No, no, la d trovata è la stessa, d è uno scalare, che esso si calcoli in un verso o nell'altro, il risultato deve essere lo stesso. Ma qui non è un problema di come si sia scelto d, ma i due risultati sono proprio "numericamente identici", cioè il risultato è proprio lo stesso. È una cosa banale, guarda BENE il tuo risultato e quello del libro, ti sembrano diversi, ma sono lo stesso risultato. Se proprio non ci arrivi allore te lo dico io.
"Vulplasir":
No, no, la d trovata è la stessa, d è uno scalare, che esso si calcoli in un verso o nell'altro, il risultato deve essere lo stesso. Ma qui non è un problema di come si sia scelto d, ma i due risultati sono proprio "numericamente identici", cioè il risultato è proprio lo stesso. È una cosa banale, guarda BENE il tuo risultato e quello del libro, ti sembrano diversi, ma sono lo stesso risultato. Se proprio non ci arrivi allore te lo dico io.
$d=(mgcosalpha-kl)/(momega_0^2sin^2alpha-2k)=((-1)(kl-mgcosalpha))/((-1)(2k-momega_0^2sin^2alpha))=(kl-mgcosalpha)/(2k-momega_0^2sin^2alpha)$
intendevi questo?
Esatto
Bene! 
grazie mille per gli aiuti e i consigli 
grazie mille per gli aiuti e i consigli
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