Asta con estremi a velocità diverse
Buonasera, di nuovo io. Stavolta vi chiedo aiuto per un problema di fisica su un'asta libera e abbastanza particolare. È tratto dalla prova di ammissione al Collegio Bernardo Clesio per l'a.a. 2016-2017.
Non sto a ricopiare tutti i tentativi che ho fatto, sono abbastanza confusi. In sintesi ho scritto tante equazioni del moto, con particolare attenzione poi alla condizione di costanza della lunghezza dell'asta. Tuttavia o le cose diventavano impossibili da maneggiare, o la variabile \(y_0\) (posizione iniziale del punto \(P_2\)) si cancellava. In particolare non so bene come gestire il moto del punto \(P_2\) indotto dal componente orizzontale della velocità del punto \(P_1\). Qualche idea?
Non sto a ricopiare tutti i tentativi che ho fatto, sono abbastanza confusi. In sintesi ho scritto tante equazioni del moto, con particolare attenzione poi alla condizione di costanza della lunghezza dell'asta. Tuttavia o le cose diventavano impossibili da maneggiare, o la variabile \(y_0\) (posizione iniziale del punto \(P_2\)) si cancellava. In particolare non so bene come gestire il moto del punto \(P_2\) indotto dal componente orizzontale della velocità del punto \(P_1\). Qualche idea?
Risposte
Ciao!
Sperando di non portarti fuori strada (perché ci ho riflettuto poco, men che meno ho scritto conti), inizierei studiando le equazioni del moto per il centro di massa. Qual è la posizione del CDM all'istante iniziale, e la sua velocità? A questo punto dovresti essere in grado di descrivere la traiettoria del CDM nelle due coordinate x e y.
Un piccolo indizio: trattandosi di un corpo rigido, il suo movimento più generico è descrivibile come la somma di una rotazione attorno ad un punto e una traslazione rigida. Puoi sfruttare il fatto che $(v_1)_y = (v_2)_y = r_0$ e $(v_1)_x > 0 , (v_2)_x = 0$ per ottenere il moto di rototraslazione all'istante zero.
Per l'altro pezzo del problema, prova a pensare al momento angolare
Sperando di non portarti fuori strada (perché ci ho riflettuto poco, men che meno ho scritto conti), inizierei studiando le equazioni del moto per il centro di massa. Qual è la posizione del CDM all'istante iniziale, e la sua velocità? A questo punto dovresti essere in grado di descrivere la traiettoria del CDM nelle due coordinate x e y.
Un piccolo indizio: trattandosi di un corpo rigido, il suo movimento più generico è descrivibile come la somma di una rotazione attorno ad un punto e una traslazione rigida. Puoi sfruttare il fatto che $(v_1)_y = (v_2)_y = r_0$ e $(v_1)_x > 0 , (v_2)_x = 0$ per ottenere il moto di rototraslazione all'istante zero.
Per l'altro pezzo del problema, prova a pensare al momento angolare
Il centro di massa all'istante iniziale, essendo l'asta omogenea, ha coordinata \(y_C=y_0+\frac{a}{2}\) e velocità \(v_c=(w_0,0)\). Man mano si sposta a destra per via del moto dell'estremo superiore.
Il moto di traslazione del CDM dovrebbe essere dato dalle leggi \(x(t)=w_0t\) e \(y(t)=-\frac{1}{2}gt^2+r_0t+(y_0+\frac{a}{2})\), mentre quello di rotazione dell'asta dalla legge \(\theta(t)=\frac{\pi}{2}-\frac{2w_0}{a}t\)...
Il moto di traslazione del CDM dovrebbe essere dato dalle leggi \(x(t)=w_0t\) e \(y(t)=-\frac{1}{2}gt^2+r_0t+(y_0+\frac{a}{2})\), mentre quello di rotazione dell'asta dalla legge \(\theta(t)=\frac{\pi}{2}-\frac{2w_0}{a}t\)...
Ho qualche dubbio sulla della correttezza velocità iniziale del CDM ... con questo tuo risultato, quale sarebbe la velocità di rotazione angolare attorno al CDM per ottenere le velocità degli estremi date nel testo? O meglio, ne esiste una? Quale rotazione permette di avere una velocità verticale uguale in direzione e verso per entrambi gli estremi?
Rileggendo mi sono accorto di aver scritto l'esatto opposto di quello che ipotizzavo... 
Intendevo scrivere \(v_C=(0,2r_0)\), anche se non sono ancora sicuro. Secondo me la traslazione del corpo è data dalle velocità verticali e la rotazione, in senso lato, da quella orizzontale. In senso lato perché la velocità orizzontale è sempre orientata verso destra, quindi non è una vera e propria rotazione attorno a un centro. La rotazione se ho chiaro il sistema nasce dalla traslazione orizzontale dell'estremo superiore... Da questo immagino di dover dedurre che anche la legge oraria che ho scritto prima non funziona.
Intendevo scrivere \(v_C=(0,2r_0)\), anche se non sono ancora sicuro. Secondo me la traslazione del corpo è data dalle velocità verticali e la rotazione, in senso lato, da quella orizzontale. In senso lato perché la velocità orizzontale è sempre orientata verso destra, quindi non è una vera e propria rotazione attorno a un centro. La rotazione se ho chiaro il sistema nasce dalla traslazione orizzontale dell'estremo superiore... Da questo immagino di dover dedurre che anche la legge oraria che ho scritto prima non funziona.
Così a prima vista direi che il CM si sposta a dx con velocità $w_0/2$ e in basso con velocità $v_0$.
Il CM si muove come un punto materiale con questa velocità, ossia di moto parabolico.
L'asta ruota intorno al CM con velocità angolare data da $(w_0/2)/(a/2) = w_0/a$
Deve succedere che il CM raggiunga l'asse x quando l'asta ha compiuto un quarto di giro, ossia dopo un tempo $(pia)/(2w_0)$
Il CM si muove come un punto materiale con questa velocità, ossia di moto parabolico.
L'asta ruota intorno al CM con velocità angolare data da $(w_0/2)/(a/2) = w_0/a$
Deve succedere che il CM raggiunga l'asse x quando l'asta ha compiuto un quarto di giro, ossia dopo un tempo $(pia)/(2w_0)$
@_clockwise Ti suggerisco di rileggere con attenzione l'hint che ti ho dato nei messaggi precedenti e in particolare come ho raggruppato a coppie le 4 velocità 
Allora... La componente verticale del CDM credo che sia semplicemente \(r_0\). Quella orizzontale è, come dice mgrau, \(w_0/2\), perché l'asta è un corpo rigido e l'estremo superiore ha velocità orizzontale \(w_0\) e quello inferiore velocità nulla. Quindi all'estremo superiore si sommano i contributi della velocità traslazionale del centro di massa e di quella rotazionale (tangenziale) del sistema, che ruota con velocità angolare \(w_0/a\). Quello inferiore ha velocità orizzontale nulla perché si sommano algebricamente le velocità traslazionale e tangenziale.
Quindi, ricapitolando, abbiamo un moto di traslazione verticale (con accelerazione \(-g\) e velocità iniziale del sistema \(r_0\)), uno di traslazione orizzontale (con velocità iniziale \(w_0/2\)) e uno di rotazione oraria (con velocità tangenziale \(w_0/2\) e dunque, poiché l'asta ruota attorno al CDM, velocità angolare \(\omega=w_0/2\)).
Per cui la legge oraria corretta è \(\theta(t)=\frac{\pi}{2}-\frac{w_0}{a}t\), e \(\theta=0\) all'istante \(t=\frac{a\pi}{2w_0}\). A questo punto scrivo l'equazione del moto di caduta libera e risolvo l'equazione di secondo grado in \(t\):
e uguagliando i tempi, se ho fatto bene i calcoli, si ottiene:
Confermate il procedimento?
Per cui la legge oraria corretta è \(\theta(t)=\frac{\pi}{2}-\frac{w_0}{a}t\), e \(\theta=0\) all'istante \(t=\frac{a\pi}{2w_0}\). A questo punto scrivo l'equazione del moto di caduta libera e risolvo l'equazione di secondo grado in \(t\):
\(t'=\dfrac{r_0+\sqrt{r_0^2+g(2y_0+a)}}{g}\)
e uguagliando i tempi, se ho fatto bene i calcoli, si ottiene:
\(y_G=y_0+\dfrac{a}{2}=\dfrac{a\pi}{2w_0}\left(\dfrac{a\pi g}{4w_0}-r_0\right)\)
Confermate il procedimento?
Mi pare che non c'è nessuna equazione di secondo grado. Una volta trovato il tempo di caduta, lo spazio percorso dal CM, ossia la $y$ iniziale, è $r_0t + 1/2g t^2$
EDIT Mi correggo. Mi accorgo ora che l'asta ha velocità in su. Questo rende non univoco il tempo per una rotazione dell'asta di $pi/2$, che diventa in effetti $pi/2 + 2kpi$. E, a dir la verità, è non univoco anche se la velocità è in giù... insomma, ci sono infinite soluzioni, dipende da quanti giri fa l'asta prima di spiaccicarsi sull'asse x
EDIT Mi correggo. Mi accorgo ora che l'asta ha velocità in su. Questo rende non univoco il tempo per una rotazione dell'asta di $pi/2$, che diventa in effetti $pi/2 + 2kpi$. E, a dir la verità, è non univoco anche se la velocità è in giù... insomma, ci sono infinite soluzioni, dipende da quanti giri fa l'asta prima di spiaccicarsi sull'asse x
Sì, effettivamente va inserita la periodicità. Però, appunto, ho risolto l'equazione e mi risulta il tempo di caduta che ho scritto... Quindi lo spazio percorso è:
Spero di non aver mancato qualche passaggio.
\(\Delta y=\dfrac{r_0^2-r_0}{2g}\)
Spero di non aver mancato qualche passaggio.
"_clockwise":
. Quindi lo spazio percorso è:
\(\Delta y=\dfrac{r_0^2-r_0}{2g}\)
Dimensionalmente, $r_0^2-r_0$ proprio non va...
Scusatemi, ma non vi seguo ... cosa intendete dire che, una volta fissato l'angolo di rotazione dell'asta a Pi/2, il tempo risulta non univoco? Capisco che angoli di rotazione Pi/2 + 2kPi portano alla stessa configurazione dell'asta in termini di angolo rispetto all'asse verticale, ma il problema dice di considerare una rotazione di Pi/2.
Non ho letto approfonditamente il suo post, ma la soluzione fornita da OP a prima vista mi sembrerebbe corretta. Una volta che sai il tempo di caduta "t" risolvi l'equ del moto in funzione della coordinata iniziale verticale del CDM imponendo che al tempo "t" il centro di massa si trovi a quota zero
Non ho letto approfonditamente il suo post, ma la soluzione fornita da OP a prima vista mi sembrerebbe corretta. Una volta che sai il tempo di caduta "t" risolvi l'equ del moto in funzione della coordinata iniziale verticale del CDM imponendo che al tempo "t" il centro di massa si trovi a quota zero
"Lampo1089":
Scusatemi, ma non vi seguo ... cosa intendete dire che, una volta fissato l'angolo di rotazione dell'asta a Pi/2, il tempo risulta non univoco? Capisco che angoli di rotazione Pi/2 + 2kPi portano alla stessa configurazione dell'asta in termini di angolo rispetto all'asse verticale, ma il problema dice di considerare una rotazione di Pi/2.
Non ho letto approfonditamente il suo post, ma la soluzione fornita da OP a prima vista mi sembrerebbe corretta. Una volta che sai il tempo di caduta "t" risolvi l'equ del moto in funzione della coordinata iniziale verticale del CDM imponendo che al tempo "t" il centro di massa si trovi a quota zero
Il problema dice che "evidentemente" occorre che la rotazione sia $pi/2$, ma più che un vincolo, sembra che sia una specie di suggerimento, che non esclude quindi le soluzioni $pi/2 + kpi$ (e non $2kpi$).
Dopo di che, continuo a non vedere equazioni da risolvere. Sapendo quant'è il tempo di caduta, si trova la distanza di caduta, semplicemente sostituendo il tempo nella legge oraria.
Ho inteso la richiesta del problema in maniera letterale come vincolo. Altrimenti, perché il testo non suggerisce di tener conto di questa possibilità? Mi sembra un po' ufficio complicazione affari semplici 
Ritengo che la richiesta debba intendersi così.
Comunque, tenendo in considerazione la possibilità che faccia più giri, condivido quello che dici e non vedo grossi problemi nella risoluzione. Direi che però nella soluzione comparirà il numero di giri da farsi .. cioé, intuitivamente (fissate le velocità) se l'asta si spiaccica dopo 10000 giri, direi che il CDM si troverà inizialmente in un punto più elevato rispetto a una situazione in cui si spiaccica dopo 1 giro ...
Ritengo che la richiesta debba intendersi così.
Comunque, tenendo in considerazione la possibilità che faccia più giri, condivido quello che dici e non vedo grossi problemi nella risoluzione. Direi che però nella soluzione comparirà il numero di giri da farsi .. cioé, intuitivamente (fissate le velocità) se l'asta si spiaccica dopo 10000 giri, direi che il CDM si troverà inizialmente in un punto più elevato rispetto a una situazione in cui si spiaccica dopo 1 giro ...
Scusami mgrau, la formula per lo spazio percorso è decisamente sbagliata. Sono abbastanza sicuro di aver trovato quella corretta ora, semplicemente sommando la distanza verticale percorsa sino all'apice dalla traiettoria e quella percorsa da lì sino a "impattare" contro l'asse x.
Ci sono con il problema, comunque. Inizialmente pensavo che la velocità orizzontale \(w_0\) fosse costante anche in direzione e verso e fosse esclusivamente responsabile della traslazione. Capito che si tratta solo di un'istantanea del moto di rotazione diventa piuttosto semplice. Grazie ancora, ragazzi, mi siete stati come sempre molto d'aiuto!
Ci sono con il problema, comunque. Inizialmente pensavo che la velocità orizzontale \(w_0\) fosse costante anche in direzione e verso e fosse esclusivamente responsabile della traslazione. Capito che si tratta solo di un'istantanea del moto di rotazione diventa piuttosto semplice. Grazie ancora, ragazzi, mi siete stati come sempre molto d'aiuto!
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