Asta collegata ad una molla per un estremo e vincolata a ruotare senza attrito attorno ad un asse orizzontale

[Cosmoi]

Salve,
Ho delle difficoltà con il seguente esercizio, ho iniziato a risolvere il primo punto ma mi è subito sorto un dubbio. Vi posto di seguito testo e disegno dell'esercizio[img]


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Per il primo punto infatti procederei con la determinazione del potenziale totale agente sul corpo Asta+Massa e procederei con lo studio della sua derivata prima e seconda per determinare, in funzione dell'angolo, le eventuali posizioni di equilibrio stabile e instabile. Tuttavia ho il seguente dubbio: la forza peso del corpo Asta+Massa agirà sul centro di massa di quest'ultimo mentre la forza elastica esercitata dalla molla è applicata sull'estremo dell'asta a cui è collegata la massa M, come posso allora scrivere i potenziali della forza elastica e della forza peso se applicate in due punti diversi del corpo?
Grazie infinite per l'aiuto!

[Sk_Anonymous]

Non ha importanza. Puoi anche considerare le cose separatamente. C'è l'energia potenziale dovuta alla gravità per l'asta e per la massa puntiforme. Poi hai l'energia elastica contenuta nella molla. Basta esprimere tutto in funzione dell'angolo.

[Cosmoi]

Giusto! Ti ringrazio, mi ero perso in questo ragionamento inutilmente. Grazie ancora!

[Cosmoi]

Salve a tutti! Stavo ricontrollando questo esercizio e mi è sorto un dubbio sull'ultima richiesta. Viene infatti richiesto di determinare il periodo delle piccole oscillazioni attorno alla posizione d'equilibrio \(\displaystyle \theta =0 \) e io ho proceduto così:

Utilizziamo la seconda equazione cardinale della dinamica:

\(\displaystyle \sum M_{ext} = I_{tot}^{o} \ddot{\theta} \)

\(\displaystyle \sum M_{ext} = 2Mg{3\over 4}L \sin({{\pi \over 2}+\theta}) - kL^{2} \sin{\theta} \sin({{\pi \over 2} -\theta}) \)
\(\displaystyle I_{tot}^{o} = {4 \over 3} L^{2} M \)

Dunque:

\(\displaystyle {3 \over 2} Mg L \sin({\pi \over 2} +\theta) -kL^{2} \sin{\theta} \sin({{\pi \over 2} -\theta}) = {4 \over 3} ML^{2} \ddot{\theta} \)
\(\displaystyle {3 \over 2} MgL \cos(\theta) - kL^{2} \sin(\theta) \cos(\theta) = {4\over 3}ML^{2} \ddot{\theta} \)

Nell'ipotesi delle piccole oscillazioni si ha: \(\displaystyle \sin(\theta) \rightarrow \theta \) e \(\displaystyle \cos(\theta) \rightarrow 1 \), quindi:

\(\displaystyle {4 \over 3} ML^{2} \ddot(\theta) = {3 \over 2}Mg - kL\theta \)
\(\displaystyle \ddot{\theta} + {3k \over 4M}\theta = {9 \over 8} {g \over L} \)

Ora il mio dubbio sorge qua: ho ottenuto l'equazione di un oscillatore armonico in cui tuttavia è presente un termine costante, ovvero il membro a destra dell'equazione. Per la determinazione quindi del periodo delle piccole oscillazioni, mi limito a risolvere l'equazione omogenea associata ?
Posto qui sotto il disegno per il calcolo dei momenti delle forze esterne e vi ringrazio infinitamente in anticipo per l'aiuto!