Asta che ruota intorno ad un perno
Un’asta omogenea (di dimensioni trasversali trascurabili) di massa M=0,4 Kg e di lunghezza l=40 cm,può ruotare senza attrito in un piano verticale,attorno ad un asse orizzontale e passante per un suo punto O ad una distanza d=(1/3)l dall’estremo di A. Inizialmente l’asta è disposta orizzontalmente e in quiete. Lasciata a sé l’asta entra appunto in rotazione attorno ad O. Calcolare la velocità angolare dell’asta quando passa per la posizione verticale OH.
Allegata immagine del problema.
ho utilizzato la conservazione dell'energia. Il baricentro G dell'asta è il suo punto medio, quindi la sua distanza r da O è:
r = L/2 - L/3 = L/6
mentre il momento d'inerzia dell'asta rispetto all'asse di rotazione è:
J = M*(L²/12 + L²/36) = M L²/9
Quindi, contando le quote dalla posizione verticale, si ha:
(1/2) J ω² = M g L/6
sostituisci a J il suo valore, e, fatte le opportune semplificazioni, otterrai:
ω = radice(3 g/L) = 8,57 rad/s
Allegata immagine del problema.
ho utilizzato la conservazione dell'energia. Il baricentro G dell'asta è il suo punto medio, quindi la sua distanza r da O è:
r = L/2 - L/3 = L/6
mentre il momento d'inerzia dell'asta rispetto all'asse di rotazione è:
J = M*(L²/12 + L²/36) = M L²/9
Quindi, contando le quote dalla posizione verticale, si ha:
(1/2) J ω² = M g L/6
sostituisci a J il suo valore, e, fatte le opportune semplificazioni, otterrai:
ω = radice(3 g/L) = 8,57 rad/s
Risposte
Rispetto all'origine del sistema di riferimento (centro di rotazione) il baricentro si trova ad ascissa L/6, e dunque il momento torcente ha modulo
M = mgsenϑ*(L/6)
con ϑ che varia da 90° (dove il momento è massimo M = mg*(L/6)) a 0° (dove il momento è nullo).
Il problema, risolto senza ricorrere alla conservazione dell'energia meccanica, è evidentemente ipercomplesso, perché essendo il momento torcente di modulo variabile, lo è anche l'accelerazione tangenziale α.
Una soluzione possibile è di considerare il valor medio del momento torcente, ricavarne quindi l'accelerazione media e proseguire la risoluzione su questa strada.
Mmedio= mg*(L/12).
Poichè αmedio = Mmedio/I otterremo
αmedio=3g/(4L)=18,4 rad/s^2.
Ora ricorriamo all'equazione del moto circolare uniformemente accelerato:
ω^2 = ω0 ^2 + 2α Δϑ
Sappiamo che ω0 = 0 e Δϑ = π/2 e dunque
ω=radq(2*18,4*π/2) = 7,6 rad/s.
Ma naturalmente la soluzione giusta è la tua.
M = mgsenϑ*(L/6)
con ϑ che varia da 90° (dove il momento è massimo M = mg*(L/6)) a 0° (dove il momento è nullo).
Il problema, risolto senza ricorrere alla conservazione dell'energia meccanica, è evidentemente ipercomplesso, perché essendo il momento torcente di modulo variabile, lo è anche l'accelerazione tangenziale α.
Una soluzione possibile è di considerare il valor medio del momento torcente, ricavarne quindi l'accelerazione media e proseguire la risoluzione su questa strada.
Mmedio= mg*(L/12).
Poichè αmedio = Mmedio/I otterremo
αmedio=3g/(4L)=18,4 rad/s^2.
Ora ricorriamo all'equazione del moto circolare uniformemente accelerato:
ω^2 = ω0 ^2 + 2α Δϑ
Sappiamo che ω0 = 0 e Δϑ = π/2 e dunque
ω=radq(2*18,4*π/2) = 7,6 rad/s.
Ma naturalmente la soluzione giusta è la tua.
[xdom="Faussone"]@fgioacchino
Non ha molto senso rispondere ad un topic dimenticato e vecchio di più di 11 anni....
Se hai dubbi sul tema meglio creare un nuovo topic, mettendo magari un link alla vecchia discussione in caso.
Ovviamente nulla di grave, è solo per chiarezza.
Se avessi dubbi su questo esercizio comunque ormai ha senso continuare qui.[/xdom]
Non ha molto senso rispondere ad un topic dimenticato e vecchio di più di 11 anni....
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Ovviamente nulla di grave, è solo per chiarezza.
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