Asta che ruota

[alfiere15]

Buongiorno!
Potreste dirmi se ho risolto correttamente questo problema?
"Un'asta sottile di lunghezza $l=60 cm$ e massa $m_1=1,2Kg$, ad una cui estremità è fissata una massa $m_2 = 500g$ poggia parzialmente su un tavolo orizzontale e può ruotare senza attriti attorno ad un asse orizzontale fisso O passante per il suo punto medio. Una massa $m_3 = 400g$ viene lasciata cadere da un'altezza $h=2m$ sull'asta, la urta a distanza $d=20cm$ dal suo punto medio e vi rimane attaccata.
Determinare
(a) la velocità angolare dell'asta subito dopo l'urto;
(b) l'impulso della reazione vincolare in O;
(c) la velocità con cui la massa $m_3$ urta la gamba del tavolo;
(d) da quale altezza minima $h_min$ deve essere lasciata cadere $m_3$ affinché l'asta arrivi in posizione verticale.



(a) CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE RISPETTO O:
$L_i = r*m_3 * v_3 = d *m_3 * v_3$
Per determinare v_3: CONSERVAZIONE ENERGIA MECCANICA:
$m_3 *g*h= 1/2 m_3 (v_3)^2 -> v_3 = sqrt(2gh) = 6,26 m/s$
$L_f = I_t * omega$
$L_i = L_f -> omega = (m_2 *vd)/I_t = 5,15 (rad)/s$

(b) Sappiamo che: $J = Delta p$
$p_(ia) = 0$ (asta ferma)
$p_(fa) = m_t *v_(CM)$ (asta in moto subito dopo l'urto)
$x_(CM) = ((m_1 *l/2) + m_3 * (l/2 +d))/m_t = 0,27$ (rispetto all'estremo dov'è $m_2$)
$v_(CM) = omega * x_(CM) = 0,15 m/s$
Da cui:
$J = Delta P = 0,15 * m_t = 0,315 Ns$

(c) CONSERVAZIONE ENERGIA MECCANICA:
$1/2 * I_t * omega^2 = 1/2 * I_t * omega'^2 + 2*m_t*g*(l/2 + x_(CM))$ (l'energia potenziale è quella del Centro di Massa)
Segue: $omega' = 3,71 (rad)/s$
Da cui: $v' = omega' * d = 0,74 m/s$

(d) Qui ero in dubbio... pensavo di imporre che l'energia potenziale posseduta dalla pallina all'altezza $h_min$ fosse interamente trasformata in energia potenziale del Centro di Massa, quando l'asta è in posizione verticale:
$m_3 * g *h_min = m_t * g * x_(CM)$
Da cui: $h_min = 0,16 m$

[donald_zeka]

Il punto a) mi pare corretto.
Il punto b) è sbagliato.
Fissiamo un asse y positivo verso l'alto. L'asta all'inizio è ferma, quindi il suo centro di massa è fermo e quindi la quantità di moto iniziale dell'asta è nulla. Prima dell'urto però la pallina ha velocità $-v_3$ diretta verticalmente in basso e quindi ha quantità di moto $-m_3v_3$ diretta verticalmente in basso, quindi la quantità di moto iniziale del sistema prima dell'urto è $p_i=-m_3v_3$ diretta verticalmente verso il basso.
Ora bisogna trovare la posizione del centro di massa, quella che hai trovato te è abbastanza inutile dato che l'asta ruota attorno a O e quindi per sapere la velocità di ogni punto dell'asta bisogna sapere la distanza di ogni punto da O e non la distanza da $m_2$, pertanto detta $x_G$ la posizione del centro di massa rispetto a O, allora la velocità istantaneamente dopo l'urto del centro di massa è $v_G=omegax_G$, dato che il centro di massa dopo l'urto si trova alla sinistra di O, allora questa velocità sarà verticale diretta verso l'alto, e quindi la quantità di moto dopo l'urto è $p_f=Mv_G$, essendo M la massa totale del sistema. Dalla relazione $J=DeltaP$, si ha:

$J=Mv_G+m_3v_3$

Anche il punto c) è quindi sbagliato dato che devi usare la posizione del centro di massa rispetto a O.

Nel punto d) il procedimento è corretto ma chiaramente la posizione del centro di massa è sbagliata.

[alfiere15]

Quindi è conveniente calcolare il C.M. sempre dal vincolo O?!