Assi principali d'inerzia, rotazione, tensore, matrice

[smaug1]

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Il prof ha iniziato facendo il disegno a sinistra scrivendo che $\vec b_C^T =I_{3 xx 3} * \vec omega$ dove$ I_{3 xx 3}$ è una matrice d'inerzia che collega due grandezze non parallele (da dove si vede?) e quindi la matrice è un tensore (perchè? che proprietà ha?)

$\vec b_C^T =I_{3 xx 3} * \vec omega$ questa possiamo rappresentarla in forma matriciale, ma la questione è se cambio base, (il prof di fisica sta accennando queste cose ma a geometria ancora non lo stiamo facendo) cambiano i vettori? Il prof ha detto che cambia la rappresentazione di quest'ultimi, cioè gli elementi della matrice! Come nuovi assi scelgo quelli del secondo disegno, assi di simmetria, cioè passano per la metà dei lati del rettangolo? Quindi $I_{xx} -> I_{x'x'}$

Poi ha detto se prendamo $I_{z'x'} = \rho \int z'\ x'\ dV$ allora il passaggio $\rho = (dm) / (dV)$ l'ho capito non capisco l'integrale e il resto che c'è dentro cosa sia! però insomma ho capito che siccome nel corpo ci sono degli assi di simmetria, un elemento di massa infinitesima avrà il suo "corrispondente" e quindi a due a due questi elementi si annullano! Quindi solo gli elementi della matrice che si trovano sulla diagonale sono diversi da zero! giusto? Quindi

$((b_{cx'}),(b_{cy'}),(b_{cz'})) = ((I_{x'x'},0,0),(0,I_{y'y'},0),(0,0,I_{z'z'})) * ((omega_x'),(omega_y'),(omega_z'))$

gli elementi sulla diagonale sono momenti principali d'inerzia, cosa vuol dire? cosa significa fisicamente?

Allora

$b_{cx'} = I_{x'x'} * (omega_x')$

$b_{y''} = I_{y'y'} * (omega_y')$

$b_{cz'} = I_{z'z'} * (omega_z')$

Precisando che $\vec b_c$ non è parallelo con $omega$ quindi sceglie $omega'$ parallelo a $\vec \mu_z'$ da cui insomma:

$b'_{cx'} = b'_{cy'} = 0$ mentre $b'_{cz'} = I_{z'z'} * \omega'_z \ne 0$

qui avrebbe dimostrato che tutt gli assi di simmetria sono assi principali d'inerzia? perchè?

Poi si dovrebbe diagonalizzare la matrice? perchè? cosa concludo?

Il libro tratta questo argomento in modo diverso, e mi sto confondendo le idee, non ho capito poi bene cosa siano gli assi liberi di rotazione...

Ovviamente ho chiesto moltissime cose nel post, vorrei solo che qualcuno mi conduca a capire il tutto...

Grazie ancora ragazzi!

[fab_mar9093]

"smaug":
gli elementi sulla diagonale sono momenti principali d'inerzia, cosa vuol dire? cosa significa fisicamente?

Significa tante cose, per esempio dai le condizioni iniziali di moto rotatorio a un corpo rispetto a un asse principale (considerando nulli i momenti in quella direzione) esso permarrà in rotazione rispetto a quell'asse.
Per verificarlo lancia in aria qualche oggetto di cui puoi facilmente determinare gli assi di simmetria, facendoli ruotare attorno a un asse principale e ripeti l'esperimento facendolo ruotare rispetto a un asse non principale.

[smaug1]

e gli assi principali d'inerzia?

[smaug1]

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il prof prima di parlare di quello che ho scritto nel post,ha fatto questo esempio.

Si abbiano due masse puntiformi $m_1$ e $m_2$ connesse rigidamente a formare un manubrio, ruotanti a velocità angolare $omega = \bb {cost}$ attorno ad un asse passante per il centro di massa C ed inclinato di un angolo $\theta$ rispetto alla congiungente. Le masse sono sottoposte a forze centrali ortogonali all'sse di rotazione (per quale motivo fisico?) di moldulo:

$f_{C,1} = m_1\ omega^2\ r_1\ \sin \theta$ e $f_{C,2} = m_2\ omega^2\ r_2\ \sin \theta$ mi spiegate perchè hanno questo modulo? Perchè la loro risultante è nulla? perchè? eppure non sono forze interne giusto?

Mentre il momento risultante delle forze esterne (quali sono? quelle due che prima ho scritto e basta? e la forza peso? la reazione vincolare?) rispetto a C è $M_C^((e)) = m_1\ omega^2\ r_1^2\ \sin \theta\ \cos \theta + m_2\ omega^2\ r_2^2\ \sin \theta\ \cos \theta= (m_1\ r_1^2 + m_2\ r_2^2)\ omega^2\ \sin \theta\ \cos \theta$ e da ciò come si fa a dire che è diretto ortogonalmente alla congiungente le masse e all'asse di rotazione? (EDIT)

Perchè il momento angolare $b_C = (m_1\ r_1^2 + m_2\ r_2^2)\ \omega\ \sin \theta$? da cui dovrebbe essere chiaro che $(d vecb_C) / (dt) = \vec omega xx \vec b_C$ vabbè e poi si trova che $vec M_C^((e)) = \vec omega xx \vec b_C$

Si osservi che il momento delle forze esterne si annulla se $\vec \omega$ è parallelo a $\vec b_C$: pertanto potremo dire che per un solido ruotante intorno ad un asse principale d'inerzia i vettori momento angolare e velocità angolare sono paralleli e vale la relazione scalare $b = I_a\ omega$

Io ancora non capisco cosa sia un asse principale d'inerzia...Quando non sono paralleli (che condizione devono verificarsi?) $\vec b = I_{3xx3}\ \vec omega$ qui il momento angolare cambia direzione e ha lo scopo di mantere fisso l'asse di rotazione (nel caso di una trottola è come se dovesse sempre rimanere in piedi?) Quindi il momento delle forze deve essere diverso da zero...se improvvisamente il momento delle forze esterne diventa nullo, sono d'accordo che il momento angolare è costante, però il testo dice che il sistema si pine in rotazione intorno ad un asse ortogonale al manubrio orientato come $\vec b_C$ , con una velocità angolare costante $omega' = omega\ \sin \theta$ perchè?

Ragazzi vi ho riempito di domande, potremmo commentarle passo passo?

Grazie mille

[smaug1]

$f_{C,1} = m_1\ omega^2\ r_1\ \sin \theta$ e $f_{C,2} = m_2\ omega^2\ r_2\ \sin \theta$ mi spiegate perchè hanno questo modulo? Perchè la loro risultante è nulla? perchè? eppure non sono forze interne giusto?

Hanno quel modulo perchè $f = m a_n$ però perchè esistono queste forze? è come se fossero la tensione di un filo...me lo spiegate?

[smaug1]

Perchè il momento angolare $b_C = (m_1\ r_1^2 + m_2\ r_2)\ \omega\ \sin \theta$? da cui dovrebbe essere chiaro che $(d vecb_C) / (dt) = \vec omega xx \vec b_C$ vabbè e poi si trova che $vec M_C^((e)) = \vec omega xx \vec b_C$

Ragionandoci su non sarebbe la regola di Poisson? Preso un vettore costante che ruota, la sua derivata è uguale a omega per il vettore stesso? Però per dire questo il momento delle forze esterne deve essere uguale a zero?

[Sk_Anonymous]

smaug,

dovresti capire che, ponendo domande a raffica, chi legge fa una fatica tremenda a rispondere a tutto, tutto in una volta.

Allora vuoi per gentilezza cominciare con una o due domande massimo per volta, così dai il tempo e il modo di rispondere a chi vuole, con calma? Altrimenti ottieni che uno legge, e cambia...

Ad esempio, qual è il primo dubbio che ti viene, e quindi la prima domanda ?

[Quinzio]

"seven":
Per verificarlo lancia in aria qualche oggetto di cui puoi facilmente determinare gli assi di simmetria, facendoli ruotare attorno a un asse principale e ripeti l'esperimento facendolo ruotare rispetto a un asse non principale.

Oppure si può guardare questo video (siccome credo che Smaug non abbia una nave spaziale parcheggiata in garage ):

[Quinzio]

"smaug":

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il prof prima di parlare di quello che ho scritto nel post,ha fatto questo esempio.

Si abbiano due masse puntiformi $m_1$ e $m_2$ connesse rigidamente a formare un manubrio, ruotanti a velocità angolare $omega = \bb {cost}$ attorno ad un asse passante per il centro di massa C ed inclinato di un angolo $\theta$ rispetto alla congiungente. Le masse sono sottoposte a forze centrali ortogonali all'sse di rotazione (per quale motivo fisico?) di moldulo:

$f_{C,1} = m_1\ omega^2\ r_1\ \sin \theta$ e $f_{C,2} = m_2\ omega^2\ r_2\ \sin \theta$ mi spiegate perchè hanno questo modulo?

Sono due forze centrifughe. $\ r_1\ \sin \theta$ è la distanza dall'asse.
Quindi siamo tornati alla formula della forza centrifuga $m\ d\ \omega^2$

Perchè la loro risultante è nulla?

Sono uguali ed opposte. La risultante è nulla nel senso che se le forze sono pensate come applicate al baricentro, si annnullano.

perchè?

Sono = ed opposte.

eppure non sono forze interne giusto?

Sono forze interne. Come le ha ogni corpo che ruota.

Mentre il momento risultante delle forze esterne (quali sono?

Leggi bene qui:
quelle che dopo tu chiami forze esterne sono: la componente ortogonale ai bracci delle masse e complanare ai bracci e alla forza centrifuga.
Bisogna mettersi d'accordo: o sono tutte forze esterne o sono forze interne. Seconde me più appropriato chiamarle forze interne.

quelle due che prima ho scritto e basta?

Sono una componente di quelle di prima.

e la forza peso?

In questo "esercizio" della forza peso non gliene importa niente a nessuno. Immagina che quell'affare è sospeo nello spazio.

la reazione vincolare?
[quote]
Smaug !
Non hai ancora capito ! Quell'aggeggio la è sospeso nello spazio e non è attaccato a nulla, non è vincolato a nulla.
Gli oggetti che ruotano, anche se sono sospesi nel vuoto, rimangono fermi, ma possono cambiare il moto di rotazione in modo abbastanza imprevedibile. E' questo che stai studiando adesso !

rispetto a C è $M_C^((e)) = m_1\ omega^2\ r_1^2\ \sin \theta\ \cos \theta + m_2\ omega^2\ r_2^2\ \sin \theta\ \cos \theta= (m_1\ r_1^2 + m_2\ r_2)\ omega^2\ \sin \theta\ \cos \theta$ e da ciò come si fa a dire che è diretto ortogonalmente alla congiungente le masse e all'asse di rotazione?
[/quote]
Perchè sei tu che la scomponi secondo due forze ! (la regola del parallelogramma per scomporre le forze, ricordi ?).
Una componente è parallela ai bracci e te ne fregi, siccome non produce nessun movimento. L'altra componente fa "ribaltare" il tuo oggetto. Per il momento vedila così.
stiamo anche parlando di cose non proprio semplici, a dirla tutta !

Perchè il momento angolare $b_C = (m_1\ r_1^2 + m_2\ r_2)\ \omega\ \sin \theta$?

Un raggio l'hai messo col quadrato l'altro no.
Così sbagli sempre del 50%, mai del 100%
Qual'è la formula del momento angolare ? Cos'è il momento angolare ? C'è un po' di confusione tra i termini, farai bene ad imparali a memoria e bene, altrimenti sei da capo ogni volta.

da cui dovrebbe essere chiaro che $(d vecb_C) / (dt) = \vec omega xx \vec b_C$ vabbè e poi si trova che $vec M_C^((e)) = \vec omega xx \vec b_C$

Per tanti è chiaro.
Cos'è un prodotto vettoriale tra due vettori, come lo si scrive usando il seno ? (non quello !)

Si osservi che il momento delle forze esterne si annulla se $\vec \omega$ è parallelo a $\vec b_C$: pertanto potremo dire che per un solido ruotante intorno ad un asse principale d'inerzia i vettori momento angolare e velocità angolare sono paralleli e vale la relazione scalare $b = I_a\ omega$

Io ancora non capisco cosa sia un asse principale d'inerzia...Quando non sono paralleli (che condizione devono verificarsi?)

Qui dovresti conoscere un po' di autovettori e autovalori di matrici.
Se non le hai fatte ti conviene guardartele per conto tuo. E' un capitolo di geometria. Non muori, e tanto prima o poi le devi fare.

$\vec b = I_{3xx3}\ \vec omega$ qui il momento angolare cambia direzione e ha lo scopo di mantere fisso l'asse di rotazione (nel caso di una trottola è come se dovesse sempre rimanere in piedi?

Lascia perdere un attimo la trottola che è un giroscopio. e ha un moto abbastanza complesso. Non ne usciemmo più e non ti serve ora.

) Quindi il momento delle forze deve essere diverso da zero...se improvvisamente il momento delle forze esterne diventa nullo, sono d'accordo che il momento angolare è costante, però il testo dice che il sistema si pine in rotazione intorno ad un asse ortogonale al manubrio orientato come $\vec b_C$ , con una velocità angolare costante $omega' = omega\ \sin \theta$ perchè?

Perchè così le forze centrifughe che generano coppia sono assenti.
NOn è difficile da capire, sforzati un po'.

Ragazzi vi ho riempito di domande, potremmo commentarle passo passo?

Grazie mille

[smaug1]

Grazie intanto, mi devo mettere a studiare ciò che mi hai scritto...comunque:

Perchè il momento angolare $b_C = (m_1\ r_1^2 + m_2\ r_2^2)\ \omega\ \sin \theta$? da cui dovrebbe essere chiaro che $(d vecb_C) / (dt) = \vec omega xx \vec b_C$ vabbè e poi si trova che $vec M_C^((e)) = \vec omega xx \vec b_C$

Da $b_C = (m_1\ r_1^2 + m_2\ r_2^2)\ \omega\ \sin \theta$ che è informa scalare ma io ho in forma vettoriale, dove c'è la derivata $(d vecb_C) / (dt) = \vec omega xx \vec b_C$

Però credo che ci sia di mezzo la formula di Poisson...no? cioè la derivata di un vettore costante che ruota è uguale alla velocità angolare per il vettore stesso (ma costante in modulo? giusto?)

[fab_mar9093]

"Quinzio":
Oppure si può guardare questo video (siccome credo che Smaug non abbia una nave spaziale parcheggiata in garage ):

Non c'è bisogno di andare nello spazio, il moto di un oggetto lanciato in aria è un moto alla Poinsot rispetto a un riferimento traslante rispetto all'osservatore fisso e con origine nel baricentro del corpo. Per cui il moto rotatorio del corpo, di cui parlavo, era rispetto a questo riferimento traslante.

[Quinzio]

"smaug":Grazie intanto, mi devo mettere a studiare ciò che mi hai scritto...comunque:

Perchè il momento angolare $b_C = (m_1\ r_1^2 + m_2\ r_2^2)\ \omega\ \sin \theta$? da cui dovrebbe essere chiaro

Si, ma io non ho capito come si giustifica $b_C$. Cos'è ? Un momento ?, un momento angolare ? I vari fattori come si giustificano ?

[Quinzio]

/OT. MA su questo forum sono tutti permalosi come delle comari ?