Asse di istantanea rotazione o asse di Mozzi?
Sia S un sistema materiale in rotazione rispetto ad uno spazio attorno al punto o' e (0,x,y,z) sia un sistema di riferimento di questo spazio. Il punto o' solidale ad S si muove con velocità $v_(o')=alpha*t* \hat i$ e $y_(o')=L*\hat j$ (L=costante>0) $z_(o')=0$. Sapendo che la velocità di rotazione è costante e uguale a $v_theta=-omega* \hat k$ trovare l'asse di Mozzi ad un generico istante t.
Io ho fatto:
$v_theta=cost=-omega* \hat k$ $rarr$ $v_theta=dot theta=\vec omega=(0,0,-omega)$
$\int_0^tv_(o')*d\tau=\int_0^talpha*t*d\tau$ $rarr$ $x_(o')(t)-x_(o')(0)=alpha*t^2/2$ e supponedo $x_(o')(0)=0$ $rarr$ $x_(o')(t)=alpha*t^2/2$ quindi $o'=(alpha*t^2/2,L,0)$
$vec P-o'=(vec omega^^bar v_(o'))/omega^2=(|(\hat i,\hat j,\hat k),(0,0,-omega),(alpha*t,0,0)|)/omega^2=(0,-alpha*t/omega,0)$
$vec P=o'+(0,-alpha*t/omega,0)=(alpha*t^2/2,L,0)+(0,alpha*t/omega,0)=(alpha*t^2/2,-(alpha*t)/omega+L,0)$
L'asse di Mozzi è $P=vec P+lambda*vec omega$
in genere faccio una prova e trovo l'asse di Mozzi in un altro modo per vedere se ho fatto bene:
$vec v_p=v_(o')+vec omega^^(P-o')=|(\hat i,\hat j,\hat k),(0,0,-omega),(x-alpha*t^2/2,y-L,z-0)|=(alpha*t,0,0)+(omega*y-omega*L,-omega*x+omega*alpha*t^2/2,0)=(alpha*t+omega*y-omega*L,-omega*x+omega*alpha*t^2/2,0)$
imponendo che $vec v_p$ sia parallelo a $vec omega$ ho
$alpha*t+omega*y-omega*L=0$ $rarr$ $y=L-alpha*t/omega$
$-omega*x+omega*alpha*t^2/2=0$ $rarr$ $x=alpha*t^2/2$
però la componente z $rarr$ $0=-omega$ e qui già non capisco
cmq ottengo $(alpha*t^2/2,L-(alpha*t)/omega,0)$
Per la componente z non so perchè mi esce $0=-omega$, dove ho sbagliato? Uno dei due risultati è giusto?
Poi ho notato che $I=vec v_(o')*vec omega=(alpha*t,0,0)*(0,0,-omega)=0$ quindi lo stato cinematico è rotatorio! Questo significa che non c'è l'asse di Mozzi me c'è l'asse di rotazione? Ma l'esercizio mi chiede l'asse di Mozzi
Io ho fatto:
$v_theta=cost=-omega* \hat k$ $rarr$ $v_theta=dot theta=\vec omega=(0,0,-omega)$
$\int_0^tv_(o')*d\tau=\int_0^talpha*t*d\tau$ $rarr$ $x_(o')(t)-x_(o')(0)=alpha*t^2/2$ e supponedo $x_(o')(0)=0$ $rarr$ $x_(o')(t)=alpha*t^2/2$ quindi $o'=(alpha*t^2/2,L,0)$
$vec P-o'=(vec omega^^bar v_(o'))/omega^2=(|(\hat i,\hat j,\hat k),(0,0,-omega),(alpha*t,0,0)|)/omega^2=(0,-alpha*t/omega,0)$
$vec P=o'+(0,-alpha*t/omega,0)=(alpha*t^2/2,L,0)+(0,alpha*t/omega,0)=(alpha*t^2/2,-(alpha*t)/omega+L,0)$
L'asse di Mozzi è $P=vec P+lambda*vec omega$
in genere faccio una prova e trovo l'asse di Mozzi in un altro modo per vedere se ho fatto bene:
$vec v_p=v_(o')+vec omega^^(P-o')=|(\hat i,\hat j,\hat k),(0,0,-omega),(x-alpha*t^2/2,y-L,z-0)|=(alpha*t,0,0)+(omega*y-omega*L,-omega*x+omega*alpha*t^2/2,0)=(alpha*t+omega*y-omega*L,-omega*x+omega*alpha*t^2/2,0)$
imponendo che $vec v_p$ sia parallelo a $vec omega$ ho
$alpha*t+omega*y-omega*L=0$ $rarr$ $y=L-alpha*t/omega$
$-omega*x+omega*alpha*t^2/2=0$ $rarr$ $x=alpha*t^2/2$
però la componente z $rarr$ $0=-omega$ e qui già non capisco
cmq ottengo $(alpha*t^2/2,L-(alpha*t)/omega,0)$
Per la componente z non so perchè mi esce $0=-omega$, dove ho sbagliato? Uno dei due risultati è giusto?
Poi ho notato che $I=vec v_(o')*vec omega=(alpha*t,0,0)*(0,0,-omega)=0$ quindi lo stato cinematico è rotatorio! Questo significa che non c'è l'asse di Mozzi me c'è l'asse di rotazione? Ma l'esercizio mi chiede l'asse di Mozzi
Risposte
Mi è venuto anche in mente che siccome $I=0$ allora anche $vec v_p=0$
pero se faccio $vec v_p=v_(o')+omega^^(P-o')=(alpha*t,0,0)+|(i,j,k),(0,0,-omega),(0,alpha*t/omega,0)|=(alpha*t,0,0)+(alpha*t,0,0)$ quindi è sbagliato un segno altrimenti non mi esce 0!
pero se faccio $vec v_p=v_(o')+omega^^(P-o')=(alpha*t,0,0)+|(i,j,k),(0,0,-omega),(0,alpha*t/omega,0)|=(alpha*t,0,0)+(alpha*t,0,0)$ quindi è sbagliato un segno altrimenti non mi esce 0!
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