Armoniche Sferiche
Bungiorno, sto preparando meccanica quantistica ed oggi sto provando a fare un esame.
Come mi aspettavo ho ovviamente dei dubbi e vorrei chiedervi una delucidazione. Spero che la mia domanda non sia troppo scema.
Il prolema in questione mi da una funzione d'onda di una particella
$\psi(\vec x) = e^(-r/a)(2x/r+x^2/r^2)$
e poi mi dice
Siano $\vec L^2$ e $L_z$ rispettivamente gli operatori corrispondenti al quadrato
del momento angolare e alla sua proiezione lungo l’asse delle z.
• a) Quali sono i possibili valori forniti dalla misura di $\vec L^2$ e $L_z$?
Come prima cosa mi dice che io ho definito come $x_+=x+iy$ e $x_- =x-iy$ e quindi $2x/r =(3/(8\pi))^(1/2)1/r(x_++x_-)$ che a sua volta è ugule a $2x/r= i(8\pi/3)^(1/2)(\psi_(1,1)+\psi_(1,-1))$
Perchè ( chiamo $N=(3/8\pi)^(1/2)$) $\psi_(1,1)=-Nx_+$ e $\psi_(1,-1)=Nx_-$
Il mio problema è che mi viene difficile costruire le armoniche sferiche avendo il polinomio. Quello sopra lo ha spiegato bene o male il prof in classe.
Ad esempio nel secondo pezzo, quando ho $x^2$ non ho idea di come scrivermelo in funzione di $x_+$ e $x_-$
In generale non mi è molto chiara la dimostrazione per arrivare alle armoniche sferiche. E poi non mi è chiaro come legare polinomi complessi ai soliti polinomi. Le coordinate sferiche le nomina molto dopo
Come mi aspettavo ho ovviamente dei dubbi e vorrei chiedervi una delucidazione. Spero che la mia domanda non sia troppo scema.
Il prolema in questione mi da una funzione d'onda di una particella
$\psi(\vec x) = e^(-r/a)(2x/r+x^2/r^2)$
e poi mi dice
Siano $\vec L^2$ e $L_z$ rispettivamente gli operatori corrispondenti al quadrato
del momento angolare e alla sua proiezione lungo l’asse delle z.
• a) Quali sono i possibili valori forniti dalla misura di $\vec L^2$ e $L_z$?
Come prima cosa mi dice che io ho definito come $x_+=x+iy$ e $x_- =x-iy$ e quindi $2x/r =(3/(8\pi))^(1/2)1/r(x_++x_-)$ che a sua volta è ugule a $2x/r= i(8\pi/3)^(1/2)(\psi_(1,1)+\psi_(1,-1))$
Perchè ( chiamo $N=(3/8\pi)^(1/2)$) $\psi_(1,1)=-Nx_+$ e $\psi_(1,-1)=Nx_-$
Il mio problema è che mi viene difficile costruire le armoniche sferiche avendo il polinomio. Quello sopra lo ha spiegato bene o male il prof in classe.
Ad esempio nel secondo pezzo, quando ho $x^2$ non ho idea di come scrivermelo in funzione di $x_+$ e $x_-$
In generale non mi è molto chiara la dimostrazione per arrivare alle armoniche sferiche. E poi non mi è chiaro come legare polinomi complessi ai soliti polinomi. Le coordinate sferiche le nomina molto dopo
Risposte
Ciao. Al di là del fatto che $x^2$ è ovviamente $x*x$ ma perchè dovresti usare la rappresentazione cartesiana quando quella angolare è molto più semplice? Passa in coordinate sferiche (se si chiamano armoniche sferiche c'è un motivo) e l'esercizio diventa decisamente più semplice. Non che non si possano usare i numeri complessi ci mancherebbe è che generalmente è molto più comodo usare gli angoli sopratutto per mantenere evidenti alcune considerazioni fisiche sulle rotazioni (e la relazione tra rotazioni ed autofunzioni del momento angolare è molto stretta), quindi tanto vale che impari ad usare al meglio le armoniche in quel modo.
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