Arbitrarieta' del momento di una forza
Salve a tutti,
Ho ben chiaro che il momento di una forza F dipende da:
1) modulo della forza
2) scelta del polo
3) lunghezza del braccio (distanza fra polo e punto di applicazione della forza)
La scelta del polo e' arbitraria e quindi poli diversi determineranno momenti con modulo e segno diversi per la stessa forza. In statica, il momento totale deve essere nullo quindi poco importa rispetto a quale polo si calcolano i momenti delle varie forze in gioco in quanto la loro somma deve essere uguale a zero.
Consideriamo invece il caso in cui esista una singola forza. In questo caso, il momento variera' a seconda del polo. Fisicamente, la forza impartira' una rotazione all'oggetto attraverso tale momento. Fisicamente, il comportamento dell'oggetto e' unico, eppure l'arbitrarieta' del momento mi confonde. Forse, una volta che si sceglie un punto P come polo, questo polo deve essere lo stesso punto a cui si devono riferire tutte le grandezze polari del corpo in rotazione? Le grandezze polari sono l'angolo, la velocità angolare (vettore libero, accelerazione angolare, momento angolare, momento di inerzia, energia cinetica rotazionale, ecc. In genere, quando si studia un problema di dinamica, si parte assegnando ad un punto dello spazio l'origine O della terna di assi cartesiani e si creano i vettori posizione, il vettore velocita', ecc. in riferimento a tale origine O...Forse le grandezze polari non vanno riferite a tale origine O bensi' al polo P?
Grazie!!!
Ho capito correttamente?
Ho ben chiaro che il momento di una forza F dipende da:
1) modulo della forza
2) scelta del polo
3) lunghezza del braccio (distanza fra polo e punto di applicazione della forza)
La scelta del polo e' arbitraria e quindi poli diversi determineranno momenti con modulo e segno diversi per la stessa forza. In statica, il momento totale deve essere nullo quindi poco importa rispetto a quale polo si calcolano i momenti delle varie forze in gioco in quanto la loro somma deve essere uguale a zero.
Consideriamo invece il caso in cui esista una singola forza. In questo caso, il momento variera' a seconda del polo. Fisicamente, la forza impartira' una rotazione all'oggetto attraverso tale momento. Fisicamente, il comportamento dell'oggetto e' unico, eppure l'arbitrarieta' del momento mi confonde. Forse, una volta che si sceglie un punto P come polo, questo polo deve essere lo stesso punto a cui si devono riferire tutte le grandezze polari del corpo in rotazione? Le grandezze polari sono l'angolo, la velocità angolare (vettore libero, accelerazione angolare, momento angolare, momento di inerzia, energia cinetica rotazionale, ecc. In genere, quando si studia un problema di dinamica, si parte assegnando ad un punto dello spazio l'origine O della terna di assi cartesiani e si creano i vettori posizione, il vettore velocita', ecc. in riferimento a tale origine O...Forse le grandezze polari non vanno riferite a tale origine O bensi' al polo P?
Grazie!!!
Ho capito correttamente?
Risposte
Stai facendo lo stesso errore iniziale che aveva fatto l’utente autore del messaggio di cui al link. La formula fondamentale per la derivazione di un vettore $vecr$ , nei due riferimenti $F$ (fisso) e $M$ (mobile) , è la seguente, che si dimostra, usando le formule di Poisson per le derivate temporali dei versori degli assi mobili , fatte rispetto al riferimento fisso:
$[(dvecr)/(dt)]_F = [(dvecr)/(dt)]_M+ vecomegatimesvecr$
Se nel riferimento M il vettore $vecr= (P-O)$ individua un punto P del corpo rigido “solidale” alla terna mobile, che ha origine in O , e la terna mobile è inchiodata al corpo rigido ( di questo stiamo parlando) , è evidente che il primo termine al secondo membro è nullo: le componenti di $vecr$ sono costanti nel tempo; i versori della terna mobile variano “solo “ rispetto al riferimento F , non certo rispetto al riferimento M !
Potrebbe anche darsi il caso di un punto P in moto rispetto ad M , ma allora P non è un punto del corpo rigido a cui è ancorato il riferimento M: è una cosa diversa! Si tratta di mettere in relazione il moto di P, relativo alla terna mobile, col moto di P riferito alla terna fissa. Ovviamente se O è in moto rispetto a F occorre aggiungere, al secondo membro, la velocità di O, per ottenere la velocità assoluta di P rispetto al sistema fisso F.
Ma qui non possiamo fare un corso di MR , ci sono libri e dispense per questo.
Non farmi aggiungere altro. Rileggi le risposte di Falco5x , di speculor, e il messaggio finale dell’utente lorenz , che alla fine aveva capito. E rileggi la dispensa di Battaia , dove è spiegato tutto per bene . Non mi metto a scrivere formule e passaggi, si trovano ovunque; ho solo il cellulare a disposizione, e non è agevole.
$[(dvecr)/(dt)]_F = [(dvecr)/(dt)]_M+ vecomegatimesvecr$
Se nel riferimento M il vettore $vecr= (P-O)$ individua un punto P del corpo rigido “solidale” alla terna mobile, che ha origine in O , e la terna mobile è inchiodata al corpo rigido ( di questo stiamo parlando) , è evidente che il primo termine al secondo membro è nullo: le componenti di $vecr$ sono costanti nel tempo; i versori della terna mobile variano “solo “ rispetto al riferimento F , non certo rispetto al riferimento M !
Potrebbe anche darsi il caso di un punto P in moto rispetto ad M , ma allora P non è un punto del corpo rigido a cui è ancorato il riferimento M: è una cosa diversa! Si tratta di mettere in relazione il moto di P, relativo alla terna mobile, col moto di P riferito alla terna fissa. Ovviamente se O è in moto rispetto a F occorre aggiungere, al secondo membro, la velocità di O, per ottenere la velocità assoluta di P rispetto al sistema fisso F.
Ma qui non possiamo fare un corso di MR , ci sono libri e dispense per questo.
Non farmi aggiungere altro. Rileggi le risposte di Falco5x , di speculor, e il messaggio finale dell’utente lorenz , che alla fine aveva capito. E rileggi la dispensa di Battaia , dove è spiegato tutto per bene . Non mi metto a scrivere formule e passaggi, si trovano ovunque; ho solo il cellulare a disposizione, e non è agevole.
Salve Shackle. Ho fatto un ripasso e riletto le dispense di Battaia. Provo a sintetizzare quanto ho capito dopo la rilettura:
a) Nel caso di moto puramente piano, l'atto di moto puo' essere solo rotatorio oppure solo traslatorio ad un particolare instante $t$ (non ci sono altre opzioni, non c'e' l'atto di moto rototraslatorio o elicoidale in 2D).
Rispetto ad un osservatore fisso $Oxyz$, l'asse di Mozzi e' perpendicolare al piano e lo interseca in un punto che si trova all'infinito nel caso di atto di moto traslatorio oppure in un punto $C$ a distanza finita nel caso di atto di moto rotatorio. La velocita' angolare e' il vettore perpendicolare al piano che passa per $C$ e puo' variare in direzione e modulo istante per instante o rimanere anche costante (vedasi esempio successivo).
Esempio: nel caso di una ruota che rotola senza strisciamento su di un piano orizzontale e viaggia a velocita' costante, l'atto di moto istantaneo e' sempre e solo rotatorio ed il centro di rotazione istantaneo $C$ e' il punto di contatto ruota/pavimento e ha velocita' istantanea $v_C(t)=0$. Il moto e' quindi una sequenza di atti di moto rotatori istante per istante e la velocita' angolare e' costante $\omega=$costante. Molti direbbero invece che il moto in questa situazione e' invece una combinazione di traslazione/rotazione attorno ad un punto qualsiasi $P$ (come per esempio il baricentro).
Anche dal sistema di riferimento inerziale baricentrale, l'atto di moto e' pure visto rotatorio ma il centro di rotazione $C$ e' invece sempre lo stesso punto, cioe' il baricentro.
2) Nel caso generale 3D, l'atto di moto puo' essere rotatorio, rototraslatorio oppure elicoidale ad un instante $t$. L'asse di Mozzi e' il luogo di punti aventi tutti velocita' parallela all'asse ed quindi a al vettore $\omega$ che e' parallelo all'asse di Mozzi. Direi inoltre che l'invariante cinematico ha il valore minore possibile qualora lo si calcoli quando la velocita' angolare $\omega$ e' parallela all'asse di Mozzi (sarebbe corretto affermare anche che i punti sull'asse di Mozzi sono quelli con velocita' di modulo minore rispetto agli altri punti del rigido?)
Domanda:
Abbiamo visto che nulla vieta di descrivere l'atto di moto rispetto ad un punto qualsiasi $O'$, origine di una arbitraria terna ortonormale solidale, che non si trovi sull'asse di Mozzi usando la legge fondamentale della cinematica: $$v_P(t)= v_{O'} (t)+\omega \times (P-O)$$ Questo significa che e' quindi possibile descrivere la rotazione istantanea rispetto ad un punto qualsiasi $O'$ dello spazio solidale che non sia sull'asse di Mozzi (il vettore velocita' angolare $\omega$ e' lo stesso per qualsiasi punto scelto all'istante $t$). Che "vantaggio" o motivazione c'e' allora a descrivere l'atto di moto e la rotazione usando l'asse di Mozzi invece che un asse passante per un qualsiasi altro punto? Forse il fatto che l'invariante cinematico calcolato rispetto all'asse di Mozzi ha valore minore rispetto all'invariante cinematico calcolato rispetto ad assi passanti per altri punti? E quindi?
Domanda:
Nel caso di spostamenti finiti o infinitesimi, e' possibile passare da una particolare configurazione del rigido alla successiva traslando prima l'intero rigido e poi eseguendo una rotazione attorno ad un particolare punto (l'entita' della traslazione dipende dal punto arbitrario ma l'angolo $\theta$ e' indipendente dal punto). Ci sono infinite di queste combinate rotazioni/traslazioni e questo concetto sembra importante specialmente in robotica (teorema di Eulero). Ma in cinematica si e' principalmente interessati, direi, alla sequenza esatta di atti di moto che portano il rigido da una configurazione alla successiva e sembrerebbe meno rilevante il fatto che esistano queste infinite combinazioni di traslazioni/rotazioni geometriche che portano il rigido da un atto di moto al successivo. Mi manca ancora il nesso fra questo importante concetto geometrico e la sua rilevanza in cinematica visto che il rigido passa da una configurazione alla successiva in modo univoco anche se la legge fondamentale della cinematica esprime che c'e' liberta' rispetto alla scelta del punto $O'$...
a) Nel caso di moto puramente piano, l'atto di moto puo' essere solo rotatorio oppure solo traslatorio ad un particolare instante $t$ (non ci sono altre opzioni, non c'e' l'atto di moto rototraslatorio o elicoidale in 2D).
Rispetto ad un osservatore fisso $Oxyz$, l'asse di Mozzi e' perpendicolare al piano e lo interseca in un punto che si trova all'infinito nel caso di atto di moto traslatorio oppure in un punto $C$ a distanza finita nel caso di atto di moto rotatorio. La velocita' angolare e' il vettore perpendicolare al piano che passa per $C$ e puo' variare in direzione e modulo istante per instante o rimanere anche costante (vedasi esempio successivo).
Esempio: nel caso di una ruota che rotola senza strisciamento su di un piano orizzontale e viaggia a velocita' costante, l'atto di moto istantaneo e' sempre e solo rotatorio ed il centro di rotazione istantaneo $C$ e' il punto di contatto ruota/pavimento e ha velocita' istantanea $v_C(t)=0$. Il moto e' quindi una sequenza di atti di moto rotatori istante per istante e la velocita' angolare e' costante $\omega=$costante. Molti direbbero invece che il moto in questa situazione e' invece una combinazione di traslazione/rotazione attorno ad un punto qualsiasi $P$ (come per esempio il baricentro).
Anche dal sistema di riferimento inerziale baricentrale, l'atto di moto e' pure visto rotatorio ma il centro di rotazione $C$ e' invece sempre lo stesso punto, cioe' il baricentro.
2) Nel caso generale 3D, l'atto di moto puo' essere rotatorio, rototraslatorio oppure elicoidale ad un instante $t$. L'asse di Mozzi e' il luogo di punti aventi tutti velocita' parallela all'asse ed quindi a al vettore $\omega$ che e' parallelo all'asse di Mozzi. Direi inoltre che l'invariante cinematico ha il valore minore possibile qualora lo si calcoli quando la velocita' angolare $\omega$ e' parallela all'asse di Mozzi (sarebbe corretto affermare anche che i punti sull'asse di Mozzi sono quelli con velocita' di modulo minore rispetto agli altri punti del rigido?)
Domanda:
Abbiamo visto che nulla vieta di descrivere l'atto di moto rispetto ad un punto qualsiasi $O'$, origine di una arbitraria terna ortonormale solidale, che non si trovi sull'asse di Mozzi usando la legge fondamentale della cinematica: $$v_P(t)= v_{O'} (t)+\omega \times (P-O)$$ Questo significa che e' quindi possibile descrivere la rotazione istantanea rispetto ad un punto qualsiasi $O'$ dello spazio solidale che non sia sull'asse di Mozzi (il vettore velocita' angolare $\omega$ e' lo stesso per qualsiasi punto scelto all'istante $t$). Che "vantaggio" o motivazione c'e' allora a descrivere l'atto di moto e la rotazione usando l'asse di Mozzi invece che un asse passante per un qualsiasi altro punto? Forse il fatto che l'invariante cinematico calcolato rispetto all'asse di Mozzi ha valore minore rispetto all'invariante cinematico calcolato rispetto ad assi passanti per altri punti? E quindi?
Domanda:
Nel caso di spostamenti finiti o infinitesimi, e' possibile passare da una particolare configurazione del rigido alla successiva traslando prima l'intero rigido e poi eseguendo una rotazione attorno ad un particolare punto (l'entita' della traslazione dipende dal punto arbitrario ma l'angolo $\theta$ e' indipendente dal punto). Ci sono infinite di queste combinate rotazioni/traslazioni e questo concetto sembra importante specialmente in robotica (teorema di Eulero). Ma in cinematica si e' principalmente interessati, direi, alla sequenza esatta di atti di moto che portano il rigido da una configurazione alla successiva e sembrerebbe meno rilevante il fatto che esistano queste infinite combinazioni di traslazioni/rotazioni geometriche che portano il rigido da un atto di moto al successivo. Mi manca ancora il nesso fra questo importante concetto geometrico e la sua rilevanza in cinematica visto che il rigido passa da una configurazione alla successiva in modo univoco anche se la legge fondamentale della cinematica esprime che c'e' liberta' rispetto alla scelta del punto $O'$...
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