Arbitrarieta' del momento di una forza
Salve a tutti,
Ho ben chiaro che il momento di una forza F dipende da:
1) modulo della forza
2) scelta del polo
3) lunghezza del braccio (distanza fra polo e punto di applicazione della forza)
La scelta del polo e' arbitraria e quindi poli diversi determineranno momenti con modulo e segno diversi per la stessa forza. In statica, il momento totale deve essere nullo quindi poco importa rispetto a quale polo si calcolano i momenti delle varie forze in gioco in quanto la loro somma deve essere uguale a zero.
Consideriamo invece il caso in cui esista una singola forza. In questo caso, il momento variera' a seconda del polo. Fisicamente, la forza impartira' una rotazione all'oggetto attraverso tale momento. Fisicamente, il comportamento dell'oggetto e' unico, eppure l'arbitrarieta' del momento mi confonde. Forse, una volta che si sceglie un punto P come polo, questo polo deve essere lo stesso punto a cui si devono riferire tutte le grandezze polari del corpo in rotazione? Le grandezze polari sono l'angolo, la velocità angolare (vettore libero, accelerazione angolare, momento angolare, momento di inerzia, energia cinetica rotazionale, ecc. In genere, quando si studia un problema di dinamica, si parte assegnando ad un punto dello spazio l'origine O della terna di assi cartesiani e si creano i vettori posizione, il vettore velocita', ecc. in riferimento a tale origine O...Forse le grandezze polari non vanno riferite a tale origine O bensi' al polo P?
Grazie!!!
Ho capito correttamente?
Ho ben chiaro che il momento di una forza F dipende da:
1) modulo della forza
2) scelta del polo
3) lunghezza del braccio (distanza fra polo e punto di applicazione della forza)
La scelta del polo e' arbitraria e quindi poli diversi determineranno momenti con modulo e segno diversi per la stessa forza. In statica, il momento totale deve essere nullo quindi poco importa rispetto a quale polo si calcolano i momenti delle varie forze in gioco in quanto la loro somma deve essere uguale a zero.
Consideriamo invece il caso in cui esista una singola forza. In questo caso, il momento variera' a seconda del polo. Fisicamente, la forza impartira' una rotazione all'oggetto attraverso tale momento. Fisicamente, il comportamento dell'oggetto e' unico, eppure l'arbitrarieta' del momento mi confonde. Forse, una volta che si sceglie un punto P come polo, questo polo deve essere lo stesso punto a cui si devono riferire tutte le grandezze polari del corpo in rotazione? Le grandezze polari sono l'angolo, la velocità angolare (vettore libero, accelerazione angolare, momento angolare, momento di inerzia, energia cinetica rotazionale, ecc. In genere, quando si studia un problema di dinamica, si parte assegnando ad un punto dello spazio l'origine O della terna di assi cartesiani e si creano i vettori posizione, il vettore velocita', ecc. in riferimento a tale origine O...Forse le grandezze polari non vanno riferite a tale origine O bensi' al polo P?
Grazie!!!
Ho capito correttamente?
Risposte
Proprio perché il comportamento fisico è "unico" deve esserci differenza rispetto a cosa stai calcolando il momento della forza. Per comportamento unico intendo, come credo intenda tu, che osservo un fenomeno, diciamo una torsione qualsiasi, e quel comportamento lo devo ritrovare anche nella formulazione fisica che sto facendo. Bene, se una forza agisce in un certo modo tale da far "ruotare" un oggetto rispetto ad un certo punto è bene che io ritrovi la stessa cosa con i calcoli: provo e prendo il punto di rotazione come polo; mi accorgo che le cose tornano. Direi che fin qui ci siamo. Poi prendo un altro polo, diciamo il punto stesso in cui è applicata la forza. Il braccio è nullo, quindi niente momento, quindi niente rotazione...ma questo che significa? Significa che quello non è il polo attorno a cui ruota il corpo, ed infatti è vero. Prendiamo un altro punto qualsiasi, calcoliamo il momento, e troveremo un'intensità ed un verso differente. Questa intensità e verso riproducono il fenomeno? Probabilmente no, l'oggetto, per sua inerzia, potrebbe non muoversi affatto oppure ruotare in modo differente. Questo per dire che il momento della forza è certamente arbitrario, ma se ti serve calcolarlo per sapere rispetto ad un dato punto cosa succede poi il fenomeno è fissato: si ha un momento torcente che può portare ad una effettiva rotazione del corpo (rigido, perché altrimenti comunque la sua struttura viene torta) oppure all'immobilità poiché bilanciato dal momento della forza peso (in assenza di essa e di altri vincoli chiaramente il corpo si muoverà per forza).
"astruso83":
Consideriamo invece il caso in cui esista una singola forza. In questo caso, il momento variera' a seconda del polo. Fisicamente, la forza impartira' una rotazione all'oggetto attraverso tale momento. Fisicamente, il comportamento dell'oggetto e' unico, eppure l'arbitrarieta' del momento mi confonde.
[....]
Ho capito correttamente?
Non troppo. Prima di tutto, immagino che tu voglia trattare della dinamica di un corpo rigido. Com' è questo corpo? È libero, rispetto a una terna inerziale di riferimento ? Ha un punto fisso ? Ha un asse fisso?
Per ora non scrivo equazioni.
La cose cambiano, a seconda della condizione di vincolo . Se il corpo ha un punto fisso, conviene assumerlo come polo di momenti di forze e polo per il calcolo del momento angolare, e applicare la seconda equazione cardinale della dinamica. Se il corpo ha un asse fisso , conviene assumere come polo un punto dell'asse , anche se non è baricentrico. Se il corpo è libero, si può assumere come polo un punto qualsiasi , e rispetto al polo si calcolano momenti di forze e momento angolare , che sono legati sempre dalla seconda equazione cardinale. Inoltre , la prima equazione cardinale ti dice come accelera il CM del corpo . Di solito, conviene assumere il CM come polo, ma non è obbligatorio. Ma non è vero che una forza applicata a un corpo causa sempre una rotazione di questo.
Nikikinki , per favore non parlare di "momento torcente" , cattiva traduzione di "torque" .
Grazie Shackle e Nikikinki.
Shackle, perche' se il corpo ha un punto fisso (rispetto ad un sistema di riferimento fisso) oppure un asse fisso, "conviene" calcolare i momenti rispetto a questo punto/asse? Che tipo di convenienza si ottiene? Il punto fisso e l'asse fisso comprendono punti la cui velocita' rispetto ad una terna fissa (non solidale con il corpo) e' zero.
Se il corpo è invece libero, si può assumere come polo un punto qualsiasi. Questa scelta arbitraria del polo determina che sia il modulo del momento polare sia il modulo del momento angolare, ecc. varino MA le loro variazioni (sono le variazioni, valore finale - valore iniziale, che contano) sono le stesse a prescindere dal polo prescelto. Ho capito correttamente?
Shackle, mi spieghi che ...non è vero che una forza applicata a un corpo causa sempre una rotazione di questo...
Da quello che ho capito, il vettore velocita' angolare e' un vettore libero ed il concetto di rotazione non e' assoluto in quanto si puo' sempre descrivere il moto del corpo come rotazione attorno ad assi diversi. L'asse di rotazione non e' unico anche se, nel caso di un corpo che ruota attorno ad un asse fisso, sembra proprio che l'asse fisso sia l'unico asse fisico di rotazione. Quindi sembrerebbe che una forza applica non nulla causera' o meno una rotazione in base alla descrizione che si fa del moto...
Shackle, perche' se il corpo ha un punto fisso (rispetto ad un sistema di riferimento fisso) oppure un asse fisso, "conviene" calcolare i momenti rispetto a questo punto/asse? Che tipo di convenienza si ottiene? Il punto fisso e l'asse fisso comprendono punti la cui velocita' rispetto ad una terna fissa (non solidale con il corpo) e' zero.
Se il corpo è invece libero, si può assumere come polo un punto qualsiasi. Questa scelta arbitraria del polo determina che sia il modulo del momento polare sia il modulo del momento angolare, ecc. varino MA le loro variazioni (sono le variazioni, valore finale - valore iniziale, che contano) sono le stesse a prescindere dal polo prescelto. Ho capito correttamente?
Shackle, mi spieghi che ...non è vero che una forza applicata a un corpo causa sempre una rotazione di questo...
Da quello che ho capito, il vettore velocita' angolare e' un vettore libero ed il concetto di rotazione non e' assoluto in quanto si puo' sempre descrivere il moto del corpo come rotazione attorno ad assi diversi. L'asse di rotazione non e' unico anche se, nel caso di un corpo che ruota attorno ad un asse fisso, sembra proprio che l'asse fisso sia l'unico asse fisico di rotazione. Quindi sembrerebbe che una forza applica non nulla causera' o meno una rotazione in base alla descrizione che si fa del moto...
"Shackle":
Nikikinki , per favore non parlare di "momento torcente" , cattiva traduzione di "torque" .
Hai ragione, a rigore è una cosa più specifica anche se penso il lessico corretto sia l'ultimo dei problemi per chi ha fatto questa domanda.
Comunque vista la richiesta esplicita dell'utente, lascio il resto a te
Un polo fisso ad esempio ti permette di dire che la derivata del momento angolare è pari al momento delle forse esterne, altrimenti questo non è vero, è presente un termine correttivo. Essendo la scelta del polo arbitraria, la derivata del momento angolare sarà pari al momento delle forze esterne qualsiasi sia il polo, se cambiando polo cambia il momento delle forze esterne sicuramente sarà cambiata anche la derivata del momento angolare, pur non essendo cambiata la realtà fisica. Infatti così come il momento delle forze esterne dipende dal polo, lo stesso si può dire del momento angolare, e quindi della sua derivata. L'importante è che momento delle forze e momento angolare siano calcolati rispetto allo stesso polo.
Grazie Cosimo1995. Parafraso per vedere se ho capito:
a) Il polo puo' essere fisso o mobile, cioe' solidale con il corpo in movimento. Se il polo e' fisso, allora il momento totale (somma vettoriale dei momenti delle forze esterne) e' esattamente uguale alla derivata temporale del momento angolare altrimenti serve un fattore correttivo;
b) La realta' fisica sempre la stessa ma una scelta diversa del polo causa un valore diverso
del momento angolare
del momento totale dovuto alle forze esterne
della variazione del momento angolare visto che il momento e' la derivata temporale del momento angolare
Forse non dovrei essere tanto confuso da questa arbitrarieta' del polo e dal fatto che la realta' fisica e' la stessa: basta appunto dichiarare a priori la posizione di questo benedetto polo e i valori che si forniscono per momento angolare, momento totale delle forze, ecc. sono specifici solo a quello specifico polo P.
Per analogia (anche se nel caso del momento i sistemi di riferimento non hanno niente a che fare) un oggetto in moto ad una certa velocita' puo' essere descritto in modo diverso da osservatori diversi in moto relativo diverso rispetto al corpo. Quasi tutte le grandezze fisiche (posizione, velocita', energia) eccetto per le coppie di forze e l'accelerazione, hanno valori che dipendono dalla posizione dell'origine del sistema di riferimento, dal moto relativo dell'osservatore, ecc..
a) Il polo puo' essere fisso o mobile, cioe' solidale con il corpo in movimento. Se il polo e' fisso, allora il momento totale (somma vettoriale dei momenti delle forze esterne) e' esattamente uguale alla derivata temporale del momento angolare altrimenti serve un fattore correttivo;
b) La realta' fisica sempre la stessa ma una scelta diversa del polo causa un valore diverso
del momento angolare
del momento totale dovuto alle forze esterne
della variazione del momento angolare visto che il momento e' la derivata temporale del momento angolare
Forse non dovrei essere tanto confuso da questa arbitrarieta' del polo e dal fatto che la realta' fisica e' la stessa: basta appunto dichiarare a priori la posizione di questo benedetto polo e i valori che si forniscono per momento angolare, momento totale delle forze, ecc. sono specifici solo a quello specifico polo P.
Per analogia (anche se nel caso del momento i sistemi di riferimento non hanno niente a che fare) un oggetto in moto ad una certa velocita' puo' essere descritto in modo diverso da osservatori diversi in moto relativo diverso rispetto al corpo. Quasi tutte le grandezze fisiche (posizione, velocita', energia) eccetto per le coppie di forze e l'accelerazione, hanno valori che dipendono dalla posizione dell'origine del sistema di riferimento, dal moto relativo dell'osservatore, ecc..
@ Nikikinki : qualunque contributo è ben accetto, questo è un forum di discussione , ho solo chiesto di evitare il "torcente" come attributo del momento di una forza, che vuol significare altro. Purtroppo , anche alcuni libri italiani si stanno adeguando, ma si tratta per lo più di libri tradotti dall'americano , per fortuna gli autori italiani evitano certe porcherie : cfr ad es. il Mencuccini-Silvestrini.
Un punto fisso appartenente al corpo, oppure un asse fisso , costituiscono per il corpo rigido un vincolo , e ogni vincolo , in generale, esercita sul corpo a cui è applicato una reazione vincolare , cioè una forza : se un vincolo non esercitasse alcuna reazione vincolare sarebbe inutile, ti sembra? Quando vai a considerare le forze che agiscono sul corpo, oltre alle forze attive direttamente applicate, che supponiamo abbiano risultante $vecF$ , si devono considerare anche le reazioni vincolari che hanno per risultante $vecR$ . Sicché le due equazioni cardinali della dinamica si scrivono :
$vecF + vecR = (dvecp)/(dt) $
$vecM + vecM_R = (dvecL)/(dt) $
è chiaro che se il polo è preso nel punto fisso, o in un punto dell'asse fisso, il momento della reazione vincolare rispetto a tale punto è nullo. Talvolta, ma non sempre , il punto fisso coincide col CM del corpo ; pensa per esempio ad un'asta imperniata nel CM . Ma puoi avere casi in cui il polo fisso non è nel CM , per esempio nel pendolo fisico , che penso tu conosca. In questo caso , il CM non è in quiete, si muove sotto l'azione delle forze applicate (=peso) e della reazione vincolare esercitata all'asse. Ma per determinare il moto qui è sufficiente solo la 2º equazione cardinale. LA reazione si trova dopo.
Per ulteriori approfondimenti , da' un'occhiata a questa dispensa (presa dalle lezioni di fisica del prof Tullio Papa):
http://enrg55.ing2.uniroma1.it/compiti/ ... /cap14.pdf
In genere, conviene assumere il polo in un punto fisso del riferimento inerziale , o nel CM del corpo, o in un punto del riferimento che sia in moto con velocità parallela a quella del CM . In tal modo, come già detto da Cosimo, non occorre tener conto del termine correttivo: se si assume il polo $Omega$ mobile con velocità $vecv_\Omega$ rispetto al riferimento inerziale dato, risulta che il momento delle forze esterne è dato da :
$vecM_e = (dvecL)/(dt) + vecv_\Omegatimes vecP $
essendo $vecP$ la quantità di moto . Quindi, se il polo è fisso o coincidente col CM , o in moto parallelamente al CM , il secondo termine a secondo membro non c'è.
Se la forza applicata a un corpo libero ha retta di azione passante per il CM , il corpo trasla soltanto, non ruota . Se poi il corpo ha un punto fisso o un asse fisso, una forza la cui retta di azione passa per il punto fisso o interseca l'asse fisso non ha effetti dinamici sul corpo.
Se un corpo ruota attorno a un asse materiale fisso, è evidente che l'asse fisico è ben determinato. Ma se una mosca è posata sul corpo, a una certa distanza dall'asse, può ben dire di essere in quiete, mentre tutto il mondo le gira attorno.
Usando la funzione "cerca" , e digitando "moto corpo rigido" , ho trovato ben 872 risposte . Guardane qualcuna . Per esempio :
viewtopic.php?f=19&t=194550&p=8385803&hilit=moto+corpo+rigido#p8385710
e quest'altra :
viewtopic.php?f=19&t=193742&p=8381023&hilit=moto+corpo+rigido#p8380872
Osserva bene il filmato pubblicato da Quinzio, e considera con attenzione la lunga risposta di Vulplasir , che quando voleva sapeva essere bravo. Purtroppo si è fatto bannare come un pollo...
e mi dispiace.
"astruso83":
Grazie Shackle e Nikikinki.
Shackle, perche' se il corpo ha un punto fisso (rispetto ad un sistema di riferimento fisso) oppure un asse fisso, "conviene" calcolare i momenti rispetto a questo punto/asse? Che tipo di convenienza si ottiene? Il punto fisso e l'asse fisso comprendono punti la cui velocita' rispetto ad una terna fissa (non solidale con il corpo) e' zero.
Un punto fisso appartenente al corpo, oppure un asse fisso , costituiscono per il corpo rigido un vincolo , e ogni vincolo , in generale, esercita sul corpo a cui è applicato una reazione vincolare , cioè una forza : se un vincolo non esercitasse alcuna reazione vincolare sarebbe inutile, ti sembra? Quando vai a considerare le forze che agiscono sul corpo, oltre alle forze attive direttamente applicate, che supponiamo abbiano risultante $vecF$ , si devono considerare anche le reazioni vincolari che hanno per risultante $vecR$ . Sicché le due equazioni cardinali della dinamica si scrivono :
$vecF + vecR = (dvecp)/(dt) $
$vecM + vecM_R = (dvecL)/(dt) $
è chiaro che se il polo è preso nel punto fisso, o in un punto dell'asse fisso, il momento della reazione vincolare rispetto a tale punto è nullo. Talvolta, ma non sempre , il punto fisso coincide col CM del corpo ; pensa per esempio ad un'asta imperniata nel CM . Ma puoi avere casi in cui il polo fisso non è nel CM , per esempio nel pendolo fisico , che penso tu conosca. In questo caso , il CM non è in quiete, si muove sotto l'azione delle forze applicate (=peso) e della reazione vincolare esercitata all'asse. Ma per determinare il moto qui è sufficiente solo la 2º equazione cardinale. LA reazione si trova dopo.
Per ulteriori approfondimenti , da' un'occhiata a questa dispensa (presa dalle lezioni di fisica del prof Tullio Papa):
http://enrg55.ing2.uniroma1.it/compiti/ ... /cap14.pdf
Se il corpo è invece libero, si può assumere come polo un punto qualsiasi. Questa scelta arbitraria del polo determina che sia il modulo del momento polare sia il modulo del momento angolare, ecc. varino MA le loro variazioni (sono le variazioni, valore finale - valore iniziale, che contano) sono le stesse a prescindere dal polo prescelto. Ho capito correttamente?
In genere, conviene assumere il polo in un punto fisso del riferimento inerziale , o nel CM del corpo, o in un punto del riferimento che sia in moto con velocità parallela a quella del CM . In tal modo, come già detto da Cosimo, non occorre tener conto del termine correttivo: se si assume il polo $Omega$ mobile con velocità $vecv_\Omega$ rispetto al riferimento inerziale dato, risulta che il momento delle forze esterne è dato da :
$vecM_e = (dvecL)/(dt) + vecv_\Omegatimes vecP $
essendo $vecP$ la quantità di moto . Quindi, se il polo è fisso o coincidente col CM , o in moto parallelamente al CM , il secondo termine a secondo membro non c'è.
Shackle, mi spieghi che ...non è vero che una forza applicata a un corpo causa sempre una rotazione di questo...
Se la forza applicata a un corpo libero ha retta di azione passante per il CM , il corpo trasla soltanto, non ruota . Se poi il corpo ha un punto fisso o un asse fisso, una forza la cui retta di azione passa per il punto fisso o interseca l'asse fisso non ha effetti dinamici sul corpo.
Da quello che ho capito, il vettore velocita' angolare e' un vettore libero ed il concetto di rotazione non e' assoluto in quanto si puo' sempre descrivere il moto del corpo come rotazione attorno ad assi diversi. L'asse di rotazione non e' unico anche se, nel caso di un corpo che ruota attorno ad un asse fisso, sembra proprio che l'asse fisso sia l'unico asse fisico di rotazione. Quindi sembrerebbe che una forza applica non nulla causera' o meno una rotazione in base alla descrizione che si fa del moto...
Se un corpo ruota attorno a un asse materiale fisso, è evidente che l'asse fisico è ben determinato. Ma se una mosca è posata sul corpo, a una certa distanza dall'asse, può ben dire di essere in quiete, mentre tutto il mondo le gira attorno.
Usando la funzione "cerca" , e digitando "moto corpo rigido" , ho trovato ben 872 risposte . Guardane qualcuna . Per esempio :
viewtopic.php?f=19&t=194550&p=8385803&hilit=moto+corpo+rigido#p8385710
e quest'altra :
viewtopic.php?f=19&t=193742&p=8381023&hilit=moto+corpo+rigido#p8380872
Osserva bene il filmato pubblicato da Quinzio, e considera con attenzione la lunga risposta di Vulplasir , che quando voleva sapeva essere bravo. Purtroppo si è fatto bannare come un pollo...
e mi dispiace.
Grazie mille, Shackle! Che ricchezza di insegnamenti oggi.
Ripassandomi alcuni concetti sul momento polare di una forza, ho letto in una dispensa che il momento polare e' (come la velocita' angolare) un vettore libero. Essere un vettore libero significa che il vettore stesso (modulo e direzione) non dipende da nessun punto in particolare e puo' essere traslato a piacere. Ma non mi sembra che il momento polare sia un vettore libero in quanto dipende strettamente dalla scelta del polo P. Al contrario, il momento assiale di un momento polare e' un vettore libero in quanto il momento assiale rimane lo stesso a prescindere dal punto che si sceglie sulla retta su cui si proietta il momento polare. Ci sono altri esempi di vettori liberi dei quali non sono a conoscenza?
Infine, riguardo al polo che si sceglie a priori per il calcolo del momento della forza: il momento angolare e' anch'esso riferito a questo stesso polo P. Quali altri grandezze angolari sono riferite/basate su questo polo? L'angolo, lo spostamento angolare, la velocita' angolare, per esempio, penso sia riferiti rispetto all'origine O della terna Cartesiana e non al polo P...
Grazie
Ripassandomi alcuni concetti sul momento polare di una forza, ho letto in una dispensa che il momento polare e' (come la velocita' angolare) un vettore libero. Essere un vettore libero significa che il vettore stesso (modulo e direzione) non dipende da nessun punto in particolare e puo' essere traslato a piacere. Ma non mi sembra che il momento polare sia un vettore libero in quanto dipende strettamente dalla scelta del polo P. Al contrario, il momento assiale di un momento polare e' un vettore libero in quanto il momento assiale rimane lo stesso a prescindere dal punto che si sceglie sulla retta su cui si proietta il momento polare. Ci sono altri esempi di vettori liberi dei quali non sono a conoscenza?
Infine, riguardo al polo che si sceglie a priori per il calcolo del momento della forza: il momento angolare e' anch'esso riferito a questo stesso polo P. Quali altri grandezze angolari sono riferite/basate su questo polo? L'angolo, lo spostamento angolare, la velocita' angolare, per esempio, penso sia riferiti rispetto all'origine O della terna Cartesiana e non al polo P...
Grazie
Correzione: il momento polare e' "parzialmente" libero in quanto rimane invariato se il polo viene spostato lungo una retta parallela alla direzione della forza. Ma se il polo non si trova su questa retta, il momento non e' allora un vettore libero...
[ot]
Come ti capisco, il forum non sarà più lo stesso senza lui e k_b che aggiungono un po' di pepe...
[/ot]
"Shackle":
[...] Vulplasir , che quando voleva sapeva essere bravo. Purtroppo si è fatto bannare come un pollo...
Come ti capisco, il forum non sarà più lo stesso senza lui e k_b che aggiungono un po' di pepe...
[/ot]
Il momento polare di un vettore $vecv$ , applicato in un punto $P$ , rispetto a un polo $O$ , è dato dal prodotto vettoriale :
$vecM = vec(OP) times vecv$
ed è un vettore libero. Basterebbe l'esempio della coppia di forze, che ho riportato in uno dei link che ti ho dato, per capirlo . Non ha senso applicare il momento (vettore) della coppia in un punto , la coppia agisce sul corpo libero causando variazione del momento angolare. Se sul corpo libero agisce solamente una coppia , formata da due forze $vecF$ e $-vecF$ parallele , di ugual modulo, con rette di azione distanti $d$ , il vettore momento è ortogonale al piano in cui giacciono le forze, ha modulo $M = |Fd| $ , ed è diretto, convenzionalmente, verso la parte del semipiano da cui la rotazione appare antioraria . Ma il risultante delle due forze è nullo, e siccome non agiscono altre forze il CM , in base alla prima equazione cardinale della dinamica , non accelera , poiché $vecR = 0 $ . E non ha senso piazzare $vecM$ in un punto; alcuni studenti pensano che il corpo ruoti attorno all'asse perpendicolare al piano della coppia nel punto medio della distanza $d$ : è un errore .
Per altre informazioni su vettori liberi e applicati , e sul significato di momento polare e momento assiale, che è uno scalare, leggi queste dispense :
http://www.fe.infn.it/~lenisa/2014/lezi ... ri_lez.pdf
http://www.fisica.unipg.it/~renzo.campa ... tt_2-m.pdf
$vecM = vec(OP) times vecv$
ed è un vettore libero. Basterebbe l'esempio della coppia di forze, che ho riportato in uno dei link che ti ho dato, per capirlo . Non ha senso applicare il momento (vettore) della coppia in un punto , la coppia agisce sul corpo libero causando variazione del momento angolare. Se sul corpo libero agisce solamente una coppia , formata da due forze $vecF$ e $-vecF$ parallele , di ugual modulo, con rette di azione distanti $d$ , il vettore momento è ortogonale al piano in cui giacciono le forze, ha modulo $M = |Fd| $ , ed è diretto, convenzionalmente, verso la parte del semipiano da cui la rotazione appare antioraria . Ma il risultante delle due forze è nullo, e siccome non agiscono altre forze il CM , in base alla prima equazione cardinale della dinamica , non accelera , poiché $vecR = 0 $ . E non ha senso piazzare $vecM$ in un punto; alcuni studenti pensano che il corpo ruoti attorno all'asse perpendicolare al piano della coppia nel punto medio della distanza $d$ : è un errore .
Per altre informazioni su vettori liberi e applicati , e sul significato di momento polare e momento assiale, che è uno scalare, leggi queste dispense :
http://www.fe.infn.it/~lenisa/2014/lezi ... ri_lez.pdf
http://www.fisica.unipg.it/~renzo.campa ... tt_2-m.pdf
grazie Shackle. I tuoi sforzi non sono invano.
Sono d'accordo che il momento polare associato ad una coppia di forza sia infatti un vettore libero. Ma nel caso di del momento M di una singola forza, non vedo come tale momento possa essere un vettore libero vista la dipendenza dal polo P: si cambia P e cambia M.
"...alcuni studenti pensano che il corpo ruoti attorno all'asse perpendicolare al piano della coppia nel punto medio della distanza d : è un errore...". Per fortuna non faccio questo errore (ne faccio altri pero'). Chiaramente, molti,come me, cercano di identificare sempre un preciso asse di rotazione quando un corpo ruota e questo concetto di arbitrarieta' della rotazione richiede un po' di tempo per essere metabolizzato. Ho sentito troppo spesso molti affermare che un corpo libero ruota fisicamente sempre attorno al suo centro di massa ma si tratta solo di convenienza matematica...
Grazie!!!
Sono d'accordo che il momento polare associato ad una coppia di forza sia infatti un vettore libero. Ma nel caso di del momento M di una singola forza, non vedo come tale momento possa essere un vettore libero vista la dipendenza dal polo P: si cambia P e cambia M.
"...alcuni studenti pensano che il corpo ruoti attorno all'asse perpendicolare al piano della coppia nel punto medio della distanza d : è un errore...". Per fortuna non faccio questo errore (ne faccio altri pero'). Chiaramente, molti,come me, cercano di identificare sempre un preciso asse di rotazione quando un corpo ruota e questo concetto di arbitrarieta' della rotazione richiede un po' di tempo per essere metabolizzato. Ho sentito troppo spesso molti affermare che un corpo libero ruota fisicamente sempre attorno al suo centro di massa ma si tratta solo di convenienza matematica...
Grazie!!!
"astruso83":
Sono d'accordo che il momento polare associato ad una coppia di forza sia infatti un vettore libero. Ma nel caso di del momento M di una singola forza, non vedo come tale momento possa essere un vettore libero vista la dipendenza dal polo P: si cambia P e cambia M.
Ti ho messo apposta l'esempio. È vero che cambiando il polo cambia il valore del momento, a parità di altre condizioni. Ma "vettore libero" non significa che debba conservare il modulo, significa che non è definito il punto di applicazione!
Chiaramente, molti, come me, cercano di identificare sempre un preciso asse di rotazione quando un corpo ruota e questo concetto di arbitrarietà della rotazione richiede un po' di tempo per essere metabolizzato. Ho sentito troppo spesso molti affermare che un corpo libero ruota fisicamente sempre attorno al suo centro di massa ma si tratta solo di convenienza matematica...Grazie!!!
Non vorrei ora generare in te una falsa convinzione, e cioè che un asse di rotazione materiale di un corpo che ruota, sia una specie di ...fantasma!
Il mondo della tecnica, e non solo, è pieno di corpi che ruotano attorno ad assi materiali passanti per il CM , anzi è quasi sempre cosi! Pensa alle ruote dell'automobile : l'asse di rotazione deve essere non solo baricentrico, per cui le ruote sono staticamente equilibrate, ma anche "centrale di inerzia" , per cui le ruote sono equilibrate dinamicamente : è quello che fa il gommista quando porti la macchina a fare l'equilibratura. La scorsa settimana, ho avuto parecchi problemi con la mia macchina , perché verso i 100 km/h iniziava una fastidiosissima vibrazione dell'avantreno; sono andato dal gommista, il quale per ben tre volte ha dovuto procedere all'equilibratura, perché non ci riusciva. Poi alla fine la vibrazione è stata eliminata . Ma pensa che guaio sarebbe, se una turbina di un motore d'aereo, che fa 20000 rpm e forse anche più , avesse il rotore squilibrato ! Sarebbe un disastro , per cui l'equilibratura deve essere molto accurata. Però , l'esempio della macchina mi fa chiedere : perché devo considerare, come asse di rotazione, l'asse della ruota? Non posso considerare , per esempio, la retta che contiene il segmento ( ammesso che sia solo un segmento) di contatto tra la ruota e il suolo, come asse istantaneo di rotazione ? Si che posso farlo ! Molti esercizi postati nel forum riguardano un disco che rotola su un piano, e si possono risolvere assumendo come asse di rotazione sia l'asse geometrico del disco sia la retta di contatto col suolo : ecco l'arbitrarietà del concetto di rotazione al lavoro.
Il CM di un corpo è un punto speciale, in ogni caso. Un corpo rigido libero, in un rif. inerziale , soggetto una forza singola passante per esso, accelera solo linearmente, perché la prima eq. cardinale della dinamica dice che: $vecF = M*veca_(CM)$ . Il corpo non ruota . Se però la forza non passa per il CM, il corpo accelera anche angolarmente.
Cosí è , se ci pare e anche se non ci pare !
Grazie dei chiarimenti. Non avevo evidentemente chiara la definizione di vettore libero. Si tratta quindi di un vettore che non ha un punto di applicazione ben preciso, a prescindere che cambi direzione/verso/modulo con il cambio del punto di applicazione. Nel caso del momento polare, il fatto che si possa scegliere il polo, rende il momento "libero" da una scelta univoca del punto di applicazione. Nel caso della velocita' angolare (vettore libero), il modulo e verso non cambiano cambiando il punto di applicazione.
In merito alla questione dell'asse di rotazione, ho capito che:
il CM e' un punto speciale e spessissimo l'asse fisico (per es. l'asse della ruota della tua macchina) lo si fa passare appunto per il CM (per motivi di stabilita'). La ruota ruota ma la descrizione matematica del suo moto rotativo (ruota che gira attorno ad un asse che passa per il CM) potrebbe essere descritta in modi diversi scegliendo svariati assi di rotazione. Torna pero' molto comodo, matematicamente, prendere l'asse passante per il CM come asse di rotazione.
Nel caso della ruota che gira attorno all'asse passante per il CM, la realta' fisica e' che abbiamo un oggetto in movimento e siamo tutti d'accordo che l'oggetto "ruoti". Attorno a quale asse? Dipende dalla descrizione matematica che scegliamo. L'asse metallico della ruota non e' un asse fisso bensi' un'asse mobile visto che viaggia con la ruota. Questo asse rappresenta anche un tipo di vincolo?
In merito alla questione dell'asse di rotazione, ho capito che:
il CM e' un punto speciale e spessissimo l'asse fisico (per es. l'asse della ruota della tua macchina) lo si fa passare appunto per il CM (per motivi di stabilita'). La ruota ruota ma la descrizione matematica del suo moto rotativo (ruota che gira attorno ad un asse che passa per il CM) potrebbe essere descritta in modi diversi scegliendo svariati assi di rotazione. Torna pero' molto comodo, matematicamente, prendere l'asse passante per il CM come asse di rotazione.
Nel caso della ruota che gira attorno all'asse passante per il CM, la realta' fisica e' che abbiamo un oggetto in movimento e siamo tutti d'accordo che l'oggetto "ruoti". Attorno a quale asse? Dipende dalla descrizione matematica che scegliamo. L'asse metallico della ruota non e' un asse fisso bensi' un'asse mobile visto che viaggia con la ruota. Questo asse rappresenta anche un tipo di vincolo?
Torna pero' molto comodo, matematicamente, prendere l'asse passante per il CM come asse di rotazione.
Non è solo un comodità matematica, è proprio una esigenza fisica, come dimostra la necessità di equilibrare i corpi rotanti , a cui ho accennato.
Questo asse rappresenta anche un tipo di vincolo?
L'asse materiale è un vincolo per la ruota, se cosí vogliamo chiamarlo , come è un vincolo la strada su cui la ruota poggia. Sono entrambi necessari, affinché la ruota svolga il suo compito.
Aggiungo ancora un'ultima considerazione, riguardante il moto in generale di un corpo rigido libero. Che vuol dire che un corpo rigido libero è in moto ? Vuol dire che , rispetto ad un riferimento "fisso" $Sigma$ , dotato di coordinate fisse $Omega( X, Y,Z)$ , c'è un riferimento $S$ solidale al corpo, che abbiamo stabilito fissando un punto del corpo come origine $O$ , e un sistema di coordinate, cioè degli assi $O(x,y,z)$ solidali al corpo : il punto $O$ è qualsiasi , gli assi pure (supponiamo che sia una terna cartesiana ortogonale). Una volta stabilito il moto del punto $O$ , ci resta da stabilire il moto della terna solidale rispetto ad $O$, che è una rotazione. Potremmo prendere $O$ qualsiasi . Ma la prima equazione cardinale della dinamica ci dice che il baricentro $G$ del corpo si muove come un punto materiale in cui si suppone concentrata tutta la massa $M$ del corpo, soggetta alla forza risultante $vecR$ di tutte le forze applicate al corpo.
E allora, tanto vale servirsi di questa informazione . Risolto il moto del baricentro, il resto è il moto del corpo rispetto al baricentro. Qui però il discorso si allunga e si allarga oltre gli scopi di questo thread , e forse è il caso di non insistere oltre.
La sola cosa che vale la pena di ribadire è che, se esiste un velocità angolare $vec\omega$ del corpo rigido , questo vettore non definisce l'asse di rotazione , e può essere variabile , nel tempo, anche nel riferimento solidale , indipendentemente dal punto che si assume come origine della terna solidale.
Grazie!
"La sola cosa che vale la pena di ribadire è che, se esiste un velocità angolare omega del corpo rigido , questo vettore non definisce l'asse di rotazione , e può essere variabile , nel tempo, anche nel riferimento solidale , indipendentemente dal punto che si assume come origine della terna solidale."
Rispetto alla terna solidale, un asse di rotazione e' quindi un insieme di punti che hanno velocita' nulla rispetto alla terna solidale con il corpo. Mi immagino sia possibile che ci sia un solo punto a riposo rispetto alla terna solidale, oppure due soli punti a riposo e che i punti fra di essi non siano a riposo. E' possibile in quel caso definire un asse di rotazione? Non credo (forse nel caso di moto bidimensionale limitato al piano, se un punto ha velocita' nulla, i punti sull'asse z a cui appartiene il punto sono tutti a riposo).
Di certo, nel caso di un corpo rigido in moto (non vincolato), non esiste, rispetto alla terna terrestre (non solidale con il corpo), nessun insieme di punti a riposo rispetto al corpo rigido e quindi non si puo' definire rotazione rispetto alla terna terrestre ma solo rispetto a terne solidali con il corpo...
E se vi fossero molteplici punti con velocita' nulla rispetto alla terna solidale ma essi non risiedessero sul di una retta? Come si fa a parlare di "asse" istantaneo (che sarebbe una retta) di rotazione in quel caso?
"La sola cosa che vale la pena di ribadire è che, se esiste un velocità angolare omega del corpo rigido , questo vettore non definisce l'asse di rotazione , e può essere variabile , nel tempo, anche nel riferimento solidale , indipendentemente dal punto che si assume come origine della terna solidale."
Rispetto alla terna solidale, un asse di rotazione e' quindi un insieme di punti che hanno velocita' nulla rispetto alla terna solidale con il corpo. Mi immagino sia possibile che ci sia un solo punto a riposo rispetto alla terna solidale, oppure due soli punti a riposo e che i punti fra di essi non siano a riposo. E' possibile in quel caso definire un asse di rotazione? Non credo (forse nel caso di moto bidimensionale limitato al piano, se un punto ha velocita' nulla, i punti sull'asse z a cui appartiene il punto sono tutti a riposo).
Di certo, nel caso di un corpo rigido in moto (non vincolato), non esiste, rispetto alla terna terrestre (non solidale con il corpo), nessun insieme di punti a riposo rispetto al corpo rigido e quindi non si puo' definire rotazione rispetto alla terna terrestre ma solo rispetto a terne solidali con il corpo...
E se vi fossero molteplici punti con velocita' nulla rispetto alla terna solidale ma essi non risiedessero sul di una retta? Come si fa a parlare di "asse" istantaneo (che sarebbe una retta) di rotazione in quel caso?
Dal tuo messaggio, mi rendo conto che non hai afferrato un concetto fondamentale : dato un corpo rigido, e una terna ad esso solidale , per esempio quella che ha origine nel baricentro del corpo e assi coincidenti con gli assi centrali di inerzia , tutti i punti del corpo sono in quiete rispetto alla terna solidale , visto che il corpo è rigido e gli assi sono "inchiodati" nel corpo , qualunque sia il moto del corpo rispetto a un riferimento inerziale esterno $Sigma$.
Cioè il corpo , con un punto fisso (rispetto al riferimento inerziale detto), o con un asse fisso, o completamente libero, si muove rispetto al riferimento $Sigma$, non rispetto al riferimento solidale!
Quindi, per esempio, se in un dato istante tutti i punti del corpo rigido $CC$ hanno la stessa velocità rispetto a $Sigma$ :
$vecv_P = vecv_Q $ , $AA$ $(P,Q) $ $in$ $CC$
significa che in quell'istante l'atto di moto del corpo è puramente traslatorio. L'atto di moto è la fotografia del campo dei vettori velocità dei punti del corpo , in un certo istante. Un importante teorema di meccanica razionale, il teorema di Mozzi , afferma che: "Ogni atto di moto rigido è elicoidale" . Se ne è parlato spesso anche nel forum. Fa' un ricerca su "asse di Mozzi" . Ecco ad esempio una delle tante discussioni.
Ti consiglio di prendere un buon libro o dispensa di meccanica razionale e studiare questi concetti. Per esempio questa .
Cioè il corpo , con un punto fisso (rispetto al riferimento inerziale detto), o con un asse fisso, o completamente libero, si muove rispetto al riferimento $Sigma$, non rispetto al riferimento solidale!
Quindi, per esempio, se in un dato istante tutti i punti del corpo rigido $CC$ hanno la stessa velocità rispetto a $Sigma$ :
$vecv_P = vecv_Q $ , $AA$ $(P,Q) $ $in$ $CC$
significa che in quell'istante l'atto di moto del corpo è puramente traslatorio. L'atto di moto è la fotografia del campo dei vettori velocità dei punti del corpo , in un certo istante. Un importante teorema di meccanica razionale, il teorema di Mozzi , afferma che: "Ogni atto di moto rigido è elicoidale" . Se ne è parlato spesso anche nel forum. Fa' un ricerca su "asse di Mozzi" . Ecco ad esempio una delle tante discussioni.
Ti consiglio di prendere un buon libro o dispensa di meccanica razionale e studiare questi concetti. Per esempio questa .
Grazie Shackle. Mi sono letto le dispense che mi hai raccomandato. Penso di avere imparato qualcosa. Vediamo. Provo a riassumere:
a) L'atto di moto rappresenta il campo istantaneo di velocita' $v(t)$ dei punti del corpo rigido. Come esempio, consideriamo ancora un libro che viene lanciato in aria e piroetta. Il modo in cui il corpo si muove e piroetta e' univocamente determinato dalle condizioni iniziali (ci sono diversi modi in cui potrebbe piroettare e dipende tutto da come il corpo viene lanciato). Date certe condizione iniziali al tempo $t_0=0$, il corpo rigido passa attraverso una specifica sequenza di atti di moto ad ogni istante temporale $t$ (la sequenza dipende dalle condizioni iniziali). L'asse di Mozzi, luogo dei punti con velocita' uguali e parallele all'asse, rappresenta l'asse di rotazione istantaneo (qualora ci sia rotazione. Nel caso di pura traslazione l'asse di Mozzi non c'e'). Se il libro viene lanciato in modo tale che il suo moto e' una rototraslazione (supponiamo moto piano), allora gli atti di moto sono tutti rototraslazioni e l'asse di Mozzi istantaneo diventa l'asse di rotazione istantaneo. Un moto avviene su di un intervallo di tempo $[t_1,t_2]$ ed e' costituito da una famiglia di atti di moto. Per esempio, il moto traslatorio e' composto da atti di moto esclusivamente traslatori, un moto rotatorio da atti di moto rotatori, ecc.Ho capito correttamente fin qui? In sostanza, esiste un asse di rotazione univoco ed e' l'asse di Mozzi.
2) Date due terne ortogonali, una fissa $Oxyz$ e una mobile $O'x'y'z'$, la legge di Poisson (legge fondamentale della cinematica) stabilisce che la velocita' $v_P (t)$ di un punto arbitrario $P$ del un corpo rigido e' dato da $$v_P(t)= v_O'(t) +\omega(t) \times (P-O')$$ dove il vettore velocita' angolare $$\omega(t)= \frac {1}{2}( i \times \frac{di}{dt}+ j \times \frac{dj}{dt} + k\times \frac {dk}{dt})$$ dove $i,j,k$ sono i versori della terna solidale, e' lo stesso vettore libero a prescindere dalla scelta dell'origine $O'$ e dall'orientamento della terna mobile. Questo liberta' del vettore $\omega$ rispetto all'origine e all'orientamento della terna mobile mi confonde e fa pensare che l' asse di rotazione, coincidente con la direzione di $\omega$, non sia allora univoco come invece lo sembra essere se si considera l'asse di Mozzi. Inoltre, ho appreso che e' geometricamente possibile far passare il corpo rigido da una configurazione (che concepisco essere una particolare posizione del corpo rigido od un particolare atto di moto) alla successiva attraverso una rotazione attorno ad un punto arbitrario $Q$ seguita da traslazione del punto arbitrario stesso. Questo sembra implicare che la posizione dell'asse di rotazione sia arbitraria e dipenda appunto dalla posizione del punto $Q$ che viene usato come perno. Ci sono quindi, geometricamente, infinite trasformazioni (rotazione+traslazione) per passare da una configurazione a quella immediatamente successiva e la rotazione geometrica coinvolta sembra essere arbitraria per quanto riguarda l'asse d rotazione. Questa liberta' relativa al punto $Q$ attorno al quale si puo' ruotare mi confonde poiche' sembra in contrasto con l'unicita' dell'asse di rotazione di Mozzi. Forse sbaglio a pensare che la trasformazione geometrica debba corrispondere al comportamento cinematico del corpo?
a) L'atto di moto rappresenta il campo istantaneo di velocita' $v(t)$ dei punti del corpo rigido. Come esempio, consideriamo ancora un libro che viene lanciato in aria e piroetta. Il modo in cui il corpo si muove e piroetta e' univocamente determinato dalle condizioni iniziali (ci sono diversi modi in cui potrebbe piroettare e dipende tutto da come il corpo viene lanciato). Date certe condizione iniziali al tempo $t_0=0$, il corpo rigido passa attraverso una specifica sequenza di atti di moto ad ogni istante temporale $t$ (la sequenza dipende dalle condizioni iniziali). L'asse di Mozzi, luogo dei punti con velocita' uguali e parallele all'asse, rappresenta l'asse di rotazione istantaneo (qualora ci sia rotazione. Nel caso di pura traslazione l'asse di Mozzi non c'e'). Se il libro viene lanciato in modo tale che il suo moto e' una rototraslazione (supponiamo moto piano), allora gli atti di moto sono tutti rototraslazioni e l'asse di Mozzi istantaneo diventa l'asse di rotazione istantaneo. Un moto avviene su di un intervallo di tempo $[t_1,t_2]$ ed e' costituito da una famiglia di atti di moto. Per esempio, il moto traslatorio e' composto da atti di moto esclusivamente traslatori, un moto rotatorio da atti di moto rotatori, ecc.Ho capito correttamente fin qui? In sostanza, esiste un asse di rotazione univoco ed e' l'asse di Mozzi.
2) Date due terne ortogonali, una fissa $Oxyz$ e una mobile $O'x'y'z'$, la legge di Poisson (legge fondamentale della cinematica) stabilisce che la velocita' $v_P (t)$ di un punto arbitrario $P$ del un corpo rigido e' dato da $$v_P(t)= v_O'(t) +\omega(t) \times (P-O')$$ dove il vettore velocita' angolare $$\omega(t)= \frac {1}{2}( i \times \frac{di}{dt}+ j \times \frac{dj}{dt} + k\times \frac {dk}{dt})$$ dove $i,j,k$ sono i versori della terna solidale, e' lo stesso vettore libero a prescindere dalla scelta dell'origine $O'$ e dall'orientamento della terna mobile. Questo liberta' del vettore $\omega$ rispetto all'origine e all'orientamento della terna mobile mi confonde e fa pensare che l' asse di rotazione, coincidente con la direzione di $\omega$, non sia allora univoco come invece lo sembra essere se si considera l'asse di Mozzi. Inoltre, ho appreso che e' geometricamente possibile far passare il corpo rigido da una configurazione (che concepisco essere una particolare posizione del corpo rigido od un particolare atto di moto) alla successiva attraverso una rotazione attorno ad un punto arbitrario $Q$ seguita da traslazione del punto arbitrario stesso. Questo sembra implicare che la posizione dell'asse di rotazione sia arbitraria e dipenda appunto dalla posizione del punto $Q$ che viene usato come perno. Ci sono quindi, geometricamente, infinite trasformazioni (rotazione+traslazione) per passare da una configurazione a quella immediatamente successiva e la rotazione geometrica coinvolta sembra essere arbitraria per quanto riguarda l'asse d rotazione. Questa liberta' relativa al punto $Q$ attorno al quale si puo' ruotare mi confonde poiche' sembra in contrasto con l'unicita' dell'asse di rotazione di Mozzi. Forse sbaglio a pensare che la trasformazione geometrica debba corrispondere al comportamento cinematico del corpo?
Sono in vacanza, rispondo col cellulare e scrivo poco.
Il fatto che $vecomega$ non definisce l’asse di rotazione ti confonde ancora. Faccio l’ultimo tentativo. Prendi la formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi :
$vecv_P=vecv_Q+vecomegatimes(P-Q)$
valida nel riferimento inerziale $Sigma$. Nessuno ti vieta di metterti sul corpo rigido nel punto Q , che per te diventa quindi “fisso”. Il punto P è dunque in moto relativo rispetto a te, con velocità data dal solo secondo termine della formula scritta, che non è altro che la formula della velocità nel semplice moto rotatorio, sia pure in un solo istante:
$vecv_P =vecomegatimesvecr$
Con $vecr=(P-Q)$
chiaro questo? Bene. Ora però, riscrivi la formula fondamentale della cinematica così:
$vecv_Q=vecv_P+vecomegatimes(Q-P)$
Dove ho solo scambiato P con Q : è un semplice passaggio del secondo termine del secondo membro al primo, e inversione $(P-Q)=-(Q-P)$ , chiaro?
Supponi ora di fissare P . Hai la velocità relativa di Q rispetto a P, con la stessa velocità angolare di prima (sia pure istantanea) . Vedi ora che $vecomega$ NON definisce l’asse di rotazione?
L’asse di Mozzi è, in ogni istante, unico, pur potendo cambiare da istante a istante, in generale. I suoi punti traslano istantaneamente nella direzione di $vecomega$ , come l’asse di una vite quando la avviti. Rileggi la dispensa di Battaia.
Buon anno, Astruso.
Il fatto che $vecomega$ non definisce l’asse di rotazione ti confonde ancora. Faccio l’ultimo tentativo. Prendi la formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi :
$vecv_P=vecv_Q+vecomegatimes(P-Q)$
valida nel riferimento inerziale $Sigma$. Nessuno ti vieta di metterti sul corpo rigido nel punto Q , che per te diventa quindi “fisso”. Il punto P è dunque in moto relativo rispetto a te, con velocità data dal solo secondo termine della formula scritta, che non è altro che la formula della velocità nel semplice moto rotatorio, sia pure in un solo istante:
$vecv_P =vecomegatimesvecr$
Con $vecr=(P-Q)$
chiaro questo? Bene. Ora però, riscrivi la formula fondamentale della cinematica così:
$vecv_Q=vecv_P+vecomegatimes(Q-P)$
Dove ho solo scambiato P con Q : è un semplice passaggio del secondo termine del secondo membro al primo, e inversione $(P-Q)=-(Q-P)$ , chiaro?
Supponi ora di fissare P . Hai la velocità relativa di Q rispetto a P, con la stessa velocità angolare di prima (sia pure istantanea) . Vedi ora che $vecomega$ NON definisce l’asse di rotazione?
L’asse di Mozzi è, in ogni istante, unico, pur potendo cambiare da istante a istante, in generale. I suoi punti traslano istantaneamente nella direzione di $vecomega$ , come l’asse di una vite quando la avviti. Rileggi la dispensa di Battaia.
Buon anno, Astruso.
Grazie dell'infinita pazienza Shackle e contraccambio il buon anno!
Ho capito che non ho capito bene la fondamentale legge di Poisson. Ci sono vari post sul sito e me li sto riesumando e studiando. C'e' per esempio questo interessante post: https://www.matematicamente.it/forum/formule-di-derivazione-cinematica-t73805.html
La terna ortonormale mobile e solidale $S=(\hat{e}_1, \hat{e}_2, \hat{e}_3)$, che pertiene ad un osservatore solidale, e' appiccicata e cementata in un punto qualsiasi del corpo rigido ed il suo orientamento, qualunque esso sia rispetto al corpo, non varia: quando il corpo ruota o rototrasla, l'orientamento della terna solidale $S=(\hat{e}_1, \hat{e}_2, \hat{e}_3)$, cioe' l'orientamento dei tre versori solidali, cambia nel tempo solo rispetto alla terna fissa $F= (\hat{e}_x, \hat{e}_y, \hat{e}_z)$.
Qualsiasi vettore (posizione, velocita', accelerazione) che varia nel tempo, come la posizione $ \vec{r}(t) $ di un punto $P$ del rigido, ha componenti che variano rispetto alla terna fissa $F= (\hat{e}_x, \hat{e}_y, \hat{e}_z)$ ma componenti che non variano (cioe' sempre costanti) rispetto alla terna solidale $M=(\hat{e}_1, \hat{e}_2, \hat{e}_3)$:
$$\vec{r}(t)=(r_x (t),r_y (t), r_z(t))$$ rispetto alla terna fissa $F= (\hat{e}_x, \hat{e}_y, \hat{e}_z)$ e
$$\vec{r}(t)=(r_1,r_2, r_3) $$ rispetto alla terna solidale $S=(\hat{e}_1, \hat{e}_2, \hat{e}_3)$
La velocita' del punto $P$ rispetto a $F= (\hat{e}_x, \hat{e}_y, \hat{e}_z)$ e' la derivata temporale
$$ \frac {d \vec{r}(t)}{dt} \mid_F = \dot r_x \hat{e}_x+ \dot r_y \hat{e}_y+ \dot r_z \hat{e}_z $$
mentre La velocita' del punto $P$ rispetto a $S= (\hat{e}_1, \hat{e}_2, \hat{e}_3)$ e' la derivata temporale
$$ \frac {d \vec{r}} {dt} \mid_S= \dot r_1 \hat{e}_1+ \dot r_2 \hat{e}_2+ \dot r_3 \hat{e}_3 + [r_1 \frac{d}{dt} \hat{e}_1 + r_2 \frac{d}{dt} \hat{e}_2 + r_3 \frac {d}{dt} \hat{e}_3]$$
Se il corpo e' rigido, allora $\dot r_1 \hat{e}_1+ \dot r_2 \hat{e}_2+ \dot r_3 \hat{e}_3 = 0$. Il termine fra parentesi quadre e' invece la velocita' angolare $\omega = [ r_1 \frac{d}{dt} \hat{e}_1 + r_2 \frac{d}{dt} \hat{e}_2 + r_3 \frac {d}{dt} \hat{e}_3]$. Ma se il punto $P$ e' sempre nello stesso punto, con le stesse componenti, rispetto a $S= (\hat{e}_1, \hat{e}_2, \hat{e}_3)$ , come fa la sua derivata temporale $\frac {d \vec{r}} {dt} \mid_S\neq 0$ a non essere sempre nulla ad ogni istante di tempo? Le tre derivate $r_1 \frac{d}{dt} \hat{e}_1$, $ r_2 \frac{d}{dt} \hat{e}_2$, $ r_3 \frac {d}{dt} \hat{e}_3$ dovrebbero essere nulle visto che i versori $ (\hat{e}_1, \hat{e}_2, \hat{e}_3)$ non cambiano rispetto a $S$ ma solo rispetto alla terna $F$...
Ho capito che non ho capito bene la fondamentale legge di Poisson. Ci sono vari post sul sito e me li sto riesumando e studiando. C'e' per esempio questo interessante post: https://www.matematicamente.it/forum/formule-di-derivazione-cinematica-t73805.html
La terna ortonormale mobile e solidale $S=(\hat{e}_1, \hat{e}_2, \hat{e}_3)$, che pertiene ad un osservatore solidale, e' appiccicata e cementata in un punto qualsiasi del corpo rigido ed il suo orientamento, qualunque esso sia rispetto al corpo, non varia: quando il corpo ruota o rototrasla, l'orientamento della terna solidale $S=(\hat{e}_1, \hat{e}_2, \hat{e}_3)$, cioe' l'orientamento dei tre versori solidali, cambia nel tempo solo rispetto alla terna fissa $F= (\hat{e}_x, \hat{e}_y, \hat{e}_z)$.
Qualsiasi vettore (posizione, velocita', accelerazione) che varia nel tempo, come la posizione $ \vec{r}(t) $ di un punto $P$ del rigido, ha componenti che variano rispetto alla terna fissa $F= (\hat{e}_x, \hat{e}_y, \hat{e}_z)$ ma componenti che non variano (cioe' sempre costanti) rispetto alla terna solidale $M=(\hat{e}_1, \hat{e}_2, \hat{e}_3)$:
$$\vec{r}(t)=(r_x (t),r_y (t), r_z(t))$$ rispetto alla terna fissa $F= (\hat{e}_x, \hat{e}_y, \hat{e}_z)$ e
$$\vec{r}(t)=(r_1,r_2, r_3) $$ rispetto alla terna solidale $S=(\hat{e}_1, \hat{e}_2, \hat{e}_3)$
La velocita' del punto $P$ rispetto a $F= (\hat{e}_x, \hat{e}_y, \hat{e}_z)$ e' la derivata temporale
$$ \frac {d \vec{r}(t)}{dt} \mid_F = \dot r_x \hat{e}_x+ \dot r_y \hat{e}_y+ \dot r_z \hat{e}_z $$
mentre La velocita' del punto $P$ rispetto a $S= (\hat{e}_1, \hat{e}_2, \hat{e}_3)$ e' la derivata temporale
$$ \frac {d \vec{r}} {dt} \mid_S= \dot r_1 \hat{e}_1+ \dot r_2 \hat{e}_2+ \dot r_3 \hat{e}_3 + [r_1 \frac{d}{dt} \hat{e}_1 + r_2 \frac{d}{dt} \hat{e}_2 + r_3 \frac {d}{dt} \hat{e}_3]$$
Se il corpo e' rigido, allora $\dot r_1 \hat{e}_1+ \dot r_2 \hat{e}_2+ \dot r_3 \hat{e}_3 = 0$. Il termine fra parentesi quadre e' invece la velocita' angolare $\omega = [ r_1 \frac{d}{dt} \hat{e}_1 + r_2 \frac{d}{dt} \hat{e}_2 + r_3 \frac {d}{dt} \hat{e}_3]$. Ma se il punto $P$ e' sempre nello stesso punto, con le stesse componenti, rispetto a $S= (\hat{e}_1, \hat{e}_2, \hat{e}_3)$ , come fa la sua derivata temporale $\frac {d \vec{r}} {dt} \mid_S\neq 0$ a non essere sempre nulla ad ogni istante di tempo? Le tre derivate $r_1 \frac{d}{dt} \hat{e}_1$, $ r_2 \frac{d}{dt} \hat{e}_2$, $ r_3 \frac {d}{dt} \hat{e}_3$ dovrebbero essere nulle visto che i versori $ (\hat{e}_1, \hat{e}_2, \hat{e}_3)$ non cambiano rispetto a $S$ ma solo rispetto alla terna $F$...
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