Approssimazione

[gino8x-votailprof]

Salve a tutti. Sto studiando Fisica II e mi è capitata oggi una dimostrazione di una formula. In pratica non mi è chiara questa approssimazione:

Per $(R/x)^2$ molto minore di $1$:

$(1-x/sqrt(x^2+R^2))~=1-[1-1/2(R/x)^2]$

Qualcuno puo' chiarirmi la cosa?

[Whisky84]

Raccogli [tex]x^2[/tex] sotto radice e poi portalo fuori (per semplificare i calcoli suppongo [tex]x>0[/tex]):
[tex]1-\dfrac{x}{\sqrt{x^2+R^2}} = 1-\dfrac{x}{\sqrt{x^2\left(1+\left(\frac{R}{x}\right)^2}\right)} =1-\dfrac{x}{x\sqrt{1+\left(\frac{R}{x}\right)^2}} = 1-\dfrac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{R}{x}\right)^2}}[/tex]

Ponendo [tex]y=\left(\frac{R}{x}\right)^2[/tex]:
[tex]1-\dfrac{1}{\sqrt{1+y}}[/tex]

Se [tex]y\ll 1[/tex] allora la funzione è approssimabile con il suo sviluppo di Taylor centrato in [tex]y=0[/tex] (sviluppo di McLaurin) arrestato al prim'ordine:
[tex]1-\dfrac{1}{\sqrt{1+y}}\simeq \left(1-\dfrac{1}{\sqrt{1+y}}\right)_{y=0} +\left(\dfrac{1}{2\sqrt{(1+y)^2}}\right)_{y=0}\cdot y \quad=\quad \dfrac{1}{2}y[/tex]

Risostituendo il valore di [tex]y[/tex]:
[tex]\dfrac{1}{2}y = \dfrac{1}{2}\left(\frac{R}{x}\right)^2[/tex]

Che è proprio l'espressione che compare nella tua dimostrazione

[gino8x-votailprof]

Mi era completamente sfuggito lo sviluppo di Taylor. Grazie mille per la risposta.

[Whisky84]

Prego figurati
Nel 99% delle volte in cui vedi delle approssimazioni valide quando una certa quantità è sufficientemente piccola (molto minore di uno) sotto c'è lo zampino di Taylor