Applicazioni dell'operatore Laplaciano
Salve, devo sostenere l'esame di metodi per la modellistica ed avrei bisogno di materiale per scrivere una tesina che si basa su alcune applicazione dell'operatore laplaciano,
avete qualcosa da propormi?
Quali possibili applicazioni possono esserci a parte il potenziale generato da una sfera o semisfera, o da una spira in qualsiasi punto?
grazie a tutti
avete qualcosa da propormi?
Quali possibili applicazioni possono esserci a parte il potenziale generato da una sfera o semisfera, o da una spira in qualsiasi punto?
grazie a tutti
Risposte
Il laplaciano della funzione di Prandtl, ossia le equazioni di congruenza di un solido sottoposto a torsione!
Oppure il problema di Neumann o di Dirichlet, sempre relativi alla funzione di ingobbamento nel caso di un solido sottoposto a torsione!
In sostanza basti che ti studi il problema della torsione alla De Saint Venant e vedi quanti laplaciani escono fuori
Oppure il problema di Neumann o di Dirichlet, sempre relativi alla funzione di ingobbamento nel caso di un solido sottoposto a torsione!
In sostanza basti che ti studi il problema della torsione alla De Saint Venant e vedi quanti laplaciani escono fuori
ok, a me serviva proprio un esercizio, una applicazione svolta che deve essere risolta mediante l'operatore di laplace e se possibile coinvolgendo le funzioni di legendre 
sai dirmi qualcosa di preciso?grazie
sai dirmi qualcosa di preciso?grazie
Potresti risolvere alcune delle più importanti equazioni della fisica matematica come le onde
$\frac( \partial^2 u)( \partial t^2 ) = c^2 \nabla^(2)u$
o anche l'equazione del calore
$\frac(\partial T)(\partial t)=D\nabla^(2) T$
Per risolverle usi il metodo della separazione delle variabili. Sarebbe interessante anche aggiungere preliminarmente come si ricavano anche perchè non è difficile
$\frac( \partial^2 u)( \partial t^2 ) = c^2 \nabla^(2)u$
o anche l'equazione del calore
$\frac(\partial T)(\partial t)=D\nabla^(2) T$
Per risolverle usi il metodo della separazione delle variabili. Sarebbe interessante anche aggiungere preliminarmente come si ricavano anche perchè non è difficile
si, stavo pensando a fare qualcosa che avesse a che fare con la conduzione di calore, avete del materiale da propormi?qualche libro o testo e soprattutto qualche applicazione che si basa su ciò? grazie=)
Ho studiato solo su appunti sicuramente ti potrà aiutare qualcun'altro su testi, per quanto riguarda le applicazioni c'è il classico caso di un muro di un appartamento esposto alla temperatura interna $T_1$ ed esterna $T_2$ o mi viene in mente le alette che ci sono anche nel tuo computer, infatti integrando l'equazione sotto certe ipotesi plausibili si vede che superfici ad aletta disperdono di più.
dovrebbe essere interessante il caso con le alette del computer....ma non so come potrei fare per ricavarmi le equazioni....mi servirebbe del materiale, hai qualcosa a proposito di ciò?
potrestiusare l'equazione di shroedinger, visto che dentro vi compare il laplaciano e risolverla per l'atomo di idrogeno che così ti trovi gli orbitali che sono polinomi di legendre...
Oppure potresti considerare il moto in regime viscoso e stazionario di un fluido newtoniano.
"giacor86":
potrestiusare l'equazione di shroedinger, visto che dentro vi compare il laplaciano e risolverla per l'atomo di idrogeno che così ti trovi gli orbitali che sono polinomi di legendre...
questa frase è un po' avventata
io ho trovato questo problemino,qualcuno di voi è in grado di spiegarmelo?
1)secondo voi è un cilindro infinitamente lungo? dal testo non si capisce
2) la temperatura ai bordi so che è costante ma non so il valore giusto?ci viene detto solo dalle condizioni al contorno che è costante...
3) qualche commento sulle equazioni di bessel....
4 ecc...
grazie a todos
1)secondo voi è un cilindro infinitamente lungo? dal testo non si capisce
2) la temperatura ai bordi so che è costante ma non so il valore giusto?ci viene detto solo dalle condizioni al contorno che è costante...
3) qualche commento sulle equazioni di bessel....
4 ecc...
grazie a todos
assì e perchè wedge? è avventata nel dire che dentro l'eq di shroedinger per l'atomo di idrogeno compare l'operatore laplaciano o è avventato dire che la costruzione delle armoniche sferiche passa attraverso i polinomi di legendre? illuminami. (invece che lasciare frasi stile oracolo di delfi)
ben lungi da me fare l'oracolo, ma dire che gli orbitali sono polinomi di legendre è sbagliato.
al di là della definizione scema di orbitale come "zona in cui c'è il 90% di probabilità...." ora hai corretto citando le armoniche sferiche (autofunzioni del laplaciano ristretto a theta e phi) ma non puoi nemmeno dimenticare tutta la parte radiale (laplaciano + potenziale insomma), nella cui soluzione compaiono altre funzioni speciali (laguerre), che pesantemente influenzano la forma degli orbitali (non sarebbero normalizzabili altrimenti, e poi da essi dipendono i nodi). oltretutto, gli orbitali non provengono nemmeno dalle autofunzioni ma da loro combinazioni lineari tali che la funzione d'onda venga reale (pensa alla parte angolare di p_x e p_y e prova a cercarla su una tavola delle armoniche sferiche). tutto qua.
al di là della definizione scema di orbitale come "zona in cui c'è il 90% di probabilità...." ora hai corretto citando le armoniche sferiche (autofunzioni del laplaciano ristretto a theta e phi) ma non puoi nemmeno dimenticare tutta la parte radiale (laplaciano + potenziale insomma), nella cui soluzione compaiono altre funzioni speciali (laguerre), che pesantemente influenzano la forma degli orbitali (non sarebbero normalizzabili altrimenti, e poi da essi dipendono i nodi). oltretutto, gli orbitali non provengono nemmeno dalle autofunzioni ma da loro combinazioni lineari tali che la funzione d'onda venga reale (pensa alla parte angolare di p_x e p_y e prova a cercarla su una tavola delle armoniche sferiche). tutto qua.
siiii lol ora ho capito.. sisi certo la parola "orbitale" è molto rozza e l'ho usata impropriamente... ma era per farmi intendere e far capire subito di cosa stavo parlando... se parlavo diretto di armoniche sferiche, parte radiale, autofunzioni di theta e phi boh.. magari per uno che non conosce la meccanica quantistica non lo capisce. Gli orbitali invece in qualche modo li hanno visti tutti. se accettava l'argomento poi sarei stato ben felice di aiutarlo e tirare in mezzo un po' + di rigore. cmq la tua precisazione è giusta, non volevo essere arrogante eh.
figurati.
in realtà, tanto pour parler, io penso che autofunzioni e armoniche sferiche sono accessibilissimi a chi non sa nulla di MQ, sono le stesse cose che si trovano in mille problemi classici. la vibrazione della membrana è il primo di questi.
la stessa equazione di Schroedinger nella sua forma è comprensibile a chiunque sappia cos'è un'equazione differenziale alle derivate parziali.
il problema è se mai che molti non fisici pensano che la MQ consista solo nel saper risolvere l'equazione di Schroedinger, mentre ci sono mille altri problemi e skills, anche più interessanti.
in realtà, tanto pour parler, io penso che autofunzioni e armoniche sferiche sono accessibilissimi a chi non sa nulla di MQ, sono le stesse cose che si trovano in mille problemi classici. la vibrazione della membrana è il primo di questi.
la stessa equazione di Schroedinger nella sua forma è comprensibile a chiunque sappia cos'è un'equazione differenziale alle derivate parziali.
il problema è se mai che molti non fisici pensano che la MQ consista solo nel saper risolvere l'equazione di Schroedinger, mentre ci sono mille altri problemi e skills, anche più interessanti.
si sono daccordo. Però è carino risolverla per l'atomo di idrogeno perchè trovi la soluzione esatta di un problema che pare un po' + lontano dalla vita di tutti i giorni (tipo una membrana). Poi almeno capsici coi conti come mai gli orbitali (gasp ho usato ancora sta parola) che vedi al liceo hanno quelle forme così bizzarre 
ummmmmm tutto molto interessante.....
ragazzi!!!! qualcuno di voi che se ne intenda di fenomeni di trasporto mi può aiutare con le domande che ho posto nel problemino please!!!
ragazzi!!!! qualcuno di voi che se ne intenda di fenomeni di trasporto mi può aiutare con le domande che ho posto nel problemino please!!!
"gibbs helmoltz":
io ho trovato questo problemino,qualcuno di voi è in grado di spiegarmelo?
1)secondo voi è un cilindro infinitamente lungo? dal testo non si capisce
2) la temperatura ai bordi so che è costante ma non so il valore giusto?ci viene detto solo dalle condizioni al contorno che è costante...
3) qualche commento sulle equazioni di bessel....
4 ecc...
grazie a todos
1. direi di si, è infinitamente lungo
2. no, non dice che è costante nel tempo. $frac{delT}{delr}$ direi che è una condizione di Neumann. non sono esperto di trasporto, ma dovrebbe significare che dall'esterno non può provenire calore, insomma il sistema è isolato.
3. http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function
Un cilindro è infinitamente lungo se il rapporto $D/L<<1$, infatti nella zona iniziale e finale del cilindro bisognerebbe tenere conto dell'effetto non solo della superficie laterale del cilindro, ma anche della "testa" e del "fondo", su cui dovresti applicare opportune condizioni al contorno, tuttavia se la lunghezza è molto più grande della sezione questi effetti si faranno sentire solo in regioni complessivamente "piccole" rispetto all'intero corpo e puoi trascurarle.
La soluzione che ottieni in pratica va bene per la parte centrale del corpo.
$(delT)/(delr)=0$ è una condizione di Newmann, e fisicamente significa che attraverso il contorno dell'oggetto non vi è scambio di calore, quindi come dice giustamente Wedge, il corpo è isolato.
Tra l'altro è curioso notare come se anzichè considerare il problema parabolico si prendesse in esame il problema ellittico, cioè $D^2T=0$ con le medesime condizioni al contorno, non ci sarebbe unicità della soluzione, perche per qualsiasi funzione armonica soluzione del problema, anche la stessa funzione addizionata di una costante è soluzione che soddisfa sia l'EDP che le BC.
La soluzione che ottieni in pratica va bene per la parte centrale del corpo.
$(delT)/(delr)=0$ è una condizione di Newmann, e fisicamente significa che attraverso il contorno dell'oggetto non vi è scambio di calore, quindi come dice giustamente Wedge, il corpo è isolato.
Tra l'altro è curioso notare come se anzichè considerare il problema parabolico si prendesse in esame il problema ellittico, cioè $D^2T=0$ con le medesime condizioni al contorno, non ci sarebbe unicità della soluzione, perche per qualsiasi funzione armonica soluzione del problema, anche la stessa funzione addizionata di una costante è soluzione che soddisfa sia l'EDP che le BC.
non ho capito quest'ultima cosa me la puoi spiegare in parole piu semplici?grazie!:)
me la puoi spiegare in parole piu semplici?grazie!:)
Sostanzialmente se consideri il problema parabolico (ossia tempo-dipendente), la soluzione è unica, mentre se consideri il problema ellittico (ossia analisi-stazionaria) la soluzione non è unica, perchè c'è una costante di integrazione che rimane indeterminata.
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