Applicazione teoria perturbativa?
Ciao a tutti! Vorrei chiedere un consiglio su un problema... non so se sia giusto postare in questa sezione, ma mi è parso abbastanza giusto... in ogni caso se i moderatori vogliono possono ovviamente spostare il thread, con scuse anticipate 
Supponiamo di avere un sistema lineare e stazionario, il cui ingresso $x_0(t)$ sia noto e la cui funzione di trasferimento sia $h(t)$ (o $H(i\omega)$ se trasformata con Fourier): l'uscita, nota anch'essa, sia $g_0(t)$. Ovviamente la relazione tra l'ingresso e l'uscita è una convoluzione, ma più in generale possiamo immaginare che esista un operatore $\mathcal{L}$ t.c. $g_0(t) = \mathcal{L}( x_0(t) )$.
Supponiamo ora di perturbare l'ingresso, ovvero che in ingresso ci sia $x(t) = x_0(t) + \epsilon x_1(t)$, con $\epsilon < < 1$: \mathcal{L} rimanga immutato. In uscita mi aspetto qcosa del tipo: $g(t) = g_0(t) + \ldots$ dove immagino che invece dei puntini ci sia $\epsilon g_1(t)$.
Per come l'ho posta, vorrei usare qualcosa che richiami la teoria perturbativa, che io ho studiato in meccanica quantistica non relativistica, ma che si studia anche altrove ovviamente. In meccanica quantistica non relativista le differenze ci sono!
Innanzittutto abbiamo un problema agli autovalori del tipo $H \psi = E \psi$, e qui no (a parte che $H$ è un operatore differenziale...).
Poi abbiamo un'intera famiglia di $\psi_n$ che formano una base completa dello spazio: posso poi supporre che $H=H_0 + \epsilon H_1$ e che $\psi_n = \psi_n^{(0)} + \epsilon \psi_n^{(1)}$ dove $\psi_n^{(0)}$ è un'intera famiglia di autofunzioni che ho determinato per il problema imperturbato. Dall'hermitian(e)ità di $H$ poi me la cavo...
Nel mio caso tutto il problema sta nel NON calcolare la convoluzione per $x_1(t)$, ma esprimere $g_1(t)$ in funzione di $x_0(t)$, $x_1(t)$ e $g_0(t)$ o loro derivate o combinazioni o serie... è ovvio che se potessi calcolare la convoluzione di $x_1(t)$ avrei risolto, ma non voglio (o non posso). Quindi $g_1(t)$ vorrei fosse "solo" un'approx di $\mathcal{L}(x_1(t))$.
Mi chiedo se ciò possa essere possibile o meno; cioè se è possibile applicare un qualche metodo perturbativo a questa situazione.
Qualcuno può vedere più in là di me e dirmi che c'è là fuori?
Grazie,
bye
Supponiamo di avere un sistema lineare e stazionario, il cui ingresso $x_0(t)$ sia noto e la cui funzione di trasferimento sia $h(t)$ (o $H(i\omega)$ se trasformata con Fourier): l'uscita, nota anch'essa, sia $g_0(t)$. Ovviamente la relazione tra l'ingresso e l'uscita è una convoluzione, ma più in generale possiamo immaginare che esista un operatore $\mathcal{L}$ t.c. $g_0(t) = \mathcal{L}( x_0(t) )$.
Supponiamo ora di perturbare l'ingresso, ovvero che in ingresso ci sia $x(t) = x_0(t) + \epsilon x_1(t)$, con $\epsilon < < 1$: \mathcal{L} rimanga immutato. In uscita mi aspetto qcosa del tipo: $g(t) = g_0(t) + \ldots$ dove immagino che invece dei puntini ci sia $\epsilon g_1(t)$.
Per come l'ho posta, vorrei usare qualcosa che richiami la teoria perturbativa, che io ho studiato in meccanica quantistica non relativistica, ma che si studia anche altrove ovviamente. In meccanica quantistica non relativista le differenze ci sono!
Innanzittutto abbiamo un problema agli autovalori del tipo $H \psi = E \psi$, e qui no (a parte che $H$ è un operatore differenziale...).
Poi abbiamo un'intera famiglia di $\psi_n$ che formano una base completa dello spazio: posso poi supporre che $H=H_0 + \epsilon H_1$ e che $\psi_n = \psi_n^{(0)} + \epsilon \psi_n^{(1)}$ dove $\psi_n^{(0)}$ è un'intera famiglia di autofunzioni che ho determinato per il problema imperturbato. Dall'hermitian(e)ità di $H$ poi me la cavo...
Nel mio caso tutto il problema sta nel NON calcolare la convoluzione per $x_1(t)$, ma esprimere $g_1(t)$ in funzione di $x_0(t)$, $x_1(t)$ e $g_0(t)$ o loro derivate o combinazioni o serie... è ovvio che se potessi calcolare la convoluzione di $x_1(t)$ avrei risolto, ma non voglio (o non posso). Quindi $g_1(t)$ vorrei fosse "solo" un'approx di $\mathcal{L}(x_1(t))$.
Mi chiedo se ciò possa essere possibile o meno; cioè se è possibile applicare un qualche metodo perturbativo a questa situazione.
Qualcuno può vedere più in là di me e dirmi che c'è là fuori?
Grazie,
bye
Risposte
Per la teoria perturbativa ci devo ancora pensare su... Vediamo se nel frattempo può bastarti questo.
Passiamo nel dominio di Fourier: vale
$G_1(i omega)=H(i omega)[X_0(i omega) + epsilon X_1(i omega)]$,
oltre alla classica
$G_0(i omega)=H(i omega) X_0 (i omega)$.
Si ricava quindi
$G_1(i omega)=G_0(omega)+epsilon (X_1(i omega))/(X_0(i omega)) G_0(i omega)$
che se vogliamo è una risposta perturbata arrestata al prim'ordine.
Passiamo nel dominio di Fourier: vale
$G_1(i omega)=H(i omega)[X_0(i omega) + epsilon X_1(i omega)]$,
oltre alla classica
$G_0(i omega)=H(i omega) X_0 (i omega)$.
Si ricava quindi
$G_1(i omega)=G_0(omega)+epsilon (X_1(i omega))/(X_0(i omega)) G_0(i omega)$
che se vogliamo è una risposta perturbata arrestata al prim'ordine.
"elgiovo":
Passiamo nel dominio di Fourier: vale
$G_1(i omega)=H(i omega)[X_0(i omega) + epsilon X_1(i omega)]$,
io penso che qui tu volessi scrivere $G(i omega)=H(i omega)[X_0(i omega) + epsilon X_1(i omega)]$, perché $g(t)=g_0(t)+\epsilon g_1(t)$ dove $g_1(t)$ è la risposta (approssimata) alla perturbazione... cmq funziona anche scrivendo $G(i omega)= \ldots$...
Poi cmq bisognerebbe anti-trasformare, il che se $X_0(f)$ è complicata la vedo dura... cmq ci provo...
Grazie per ora, ma arrovelliamoci ancora
Bye
"RaffaelloilSapiente":
[quote="elgiovo"]
Passiamo nel dominio di Fourier: vale
$G_1(i omega)=H(i omega)[X_0(i omega) + epsilon X_1(i omega)]$,
io penso che qui tu volessi scrivere $G(i omega)=H(i omega)[X_0(i omega) + epsilon X_1(i omega)]$, perché $g(t)=g_0(t)+\epsilon g_1(t)$ dove $g_1(t)$ è la risposta (approssimata) alla perturbazione... cmq funziona anche scrivendo $G(i omega)= \ldots$...
[/quote]
Si certo, intendevo $G(i omega)$.
"RaffaelloilSapiente":
Poi cmq bisognerebbe anti-trasformare, il che se $X_0(f)$ è complicata la vedo dura... cmq ci provo...
Sei sicuro della necessità di trasformare? Non ti va bene una risposta in frequenza? Ad esempio in MQ le funzioni d'onda si possono scrivere in funzione del momento.
Se ti serve una risposta nel tempo ti puoi accontentare di risultati approssimati? In tal caso potresti evitare di calcolare l'espressione analitica e applicare la DFT - FFT.
Il fatto è che l'espressione dell'uscita come combinazione degli ingressi e dell'uscita "standard" è proprio l'antitrasformata di quella cosa lì.
Comunque, continuiamo ad arrovellarci un pò (tanto non ho da fare). Volendo continuare il paragone con la MQ, si potrebbe associare l'hamiltoniana $H$ con la risposta in frequenza $H(i omega)$ (ah una cosa: anche la $H(i omega)$ nel tempo può benissimo essere un operatore differenziale!), solo che in questo caso una perturbazione sull'ingresso si tramuterebbe in una perturbazione del sistema.
Oppure si può associare $H$ all'ingresso $X(i omega)$. A mio modo di vedere è più sensato, perchè nell'equazione di Schrödinger $H psi = E psi$ di fatto l' "ingresso" è proprio l'hamiltoniana.
Resta il problema delle autofunzioni: si potrebbero associare le autofunzioni $psi_n$ alle autofunzioni del sistema, ovvero quelle tali che $h**phi_n=alpha phi_n$. La risposta $y$ poi può essere scritta come $sum_n phi_n$
Sei sicuro della necessità di trasformare? Non ti va bene una risposta in frequenza? Ad esempio in MQ le funzioni d'onda si possono scrivere in funzione del momento.
Se ti serve una risposta nel tempo ti puoi accontentare di risultati approssimati? In tal caso potresti evitare di calcolare l'espressione analitica e applicare la DFT - FFT.
Eh mi serve proprio l'andamento in tempo: risultati approssimati vanno bene, ma pur sempre analitici, non numerici...
Il fatto è che l'espressione dell'uscita come combinazione degli ingressi e dell'uscita "standard" è proprio l'antitrasformata di quella cosa lì.
Questa non l'ho ben capita...
Comunque, continuiamo ad arrovellarci un pò (tanto non ho da fare). Volendo continuare il paragone con la MQ, si potrebbe associare l'hamiltoniana $H$ con la risposta in frequenza $H(i omega)$ (ah una cosa: anche la $H(i omega)$ nel tempo può benissimo essere un operatore differenziale!), solo che in questo caso una perturbazione sull'ingresso si tramuterebbe in una perturbazione del sistema.
Oppure si può associare $H$ all'ingresso $X(i omega)$. A mio modo di vedere è più sensato, perchè nell'equazione di Schrödinger $H psi = E psi$ di fatto l' "ingresso" è proprio l'hamiltoniana.
Resta il problema delle autofunzioni: si potrebbero associare le autofunzioni $psi_n$ alle autofunzioni del sistema, ovvero quelle tali che $h**phi_n=alpha phi_n$. La risposta $y$ poi può essere scritta come $sum_n phi_n$
Oh molto bene, anch'io stavo pensando a queste cose. Il fatto di associare $H$ all'ingresso o alla risposta in frequenza per me è indifferente, l'una scelta vale l'altra. Il punto è che una delle due è fissata. Mi spiego: associamo $H$ ad $X$ come dici tu. Allora $\mathcal{L}$ è fisso, mentre in MQ viene perturbato tutto (sia $H$ sia $\psi$).
Inoltre è noto che gli esponenziali complessi (intendo $e^{i \omega_0 t}$) siano autofunzioni, qualunque sia $h$. Però io vorrei qualcosa di diverso, più legato all'operatore (cioè autofunzioni proprie di quell'operatore).
La mia vanissima speranza è di decomporre la perturbazione $x_1(t)$ secondo una base in cui sia presente $x_0(t)$ e molte altre funzioni ad essa legate, così da avere in uscita una combinazione di risposte che già conosco, perché conosco $g_0(t)$: il che si riconduce alla fine nel trovare una base in cui rappresentare $x_1(t)$ che contenga $x_0(t)$.
L'approccio perturbativo m'era venuto in mente perché alla fine le perturbazioni sull'ingresso sono molto piccole e quindi mi aspetto che $g(t)$ sia molto prossimo a $g_0(t)$, che conosco.
La notte porterà consiglio?
Grazie per l'interesse,
bye
"RaffaelloilSapiente":
Il fatto è che l'espressione dell'uscita come combinazione degli ingressi e dell'uscita "standard" è proprio l'antitrasformata di quella cosa lì.
Questa non l'ho ben capita...
Intendo dire che l'espressione analitica di $g(t)$ in funzione di $x_0$, $x_1$, $g_0$ è proprio $ccF^(-1)[G_0(omega)+epsilon (X_1(omega))/(X_0(omega)) G_0(omega)]$
La mia vanissima speranza è di decomporre la perturbazione $x_1(t)$ secondo una base in cui sia presente $x_0(t)$ e molte altre funzioni ad essa legate, così da avere in uscita una combinazione di risposte che già conosco, perché conosco $g_0(t)$: il che si riconduce alla fine nel trovare una base in cui rappresentare $x_1(t)$ che contenga $x_0(t)$.
Se $x_1(t)$ fosse periodico potresti sviluppare $x_1(t)$ in serie di Fourier (in forma complessa $x_1(t)=sum_k X_k e^(i omega_0kt)$) e approssimare $g(t)$ come $g_0(t)$ sommato ad un certo numero (da decretare in base alla precisione voluta) di esponenziali complessi (che sono autofunzioni del sistema).
ma più in generale...
data una relazione integrale del tipo $y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau) x(t-\tau) d\tau $, è vero che LE UNICHE autofunzioni sono gli esponenziali complessi? cioè, è vero la seguente proposizione:
Prop. $ \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau) x(t-\tau) d\tau = \int_{-\infty}^{+\infty} h(t-\tau) x(\tau) d\tau = \lambda x(t) \iff x(t) = A e^{i \omega_0 t} $
Non ce ne possono essere altre, fissato $h(t)$ ? Mi suona strano...
bye
P.S. Buona pasqua
data una relazione integrale del tipo $y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau) x(t-\tau) d\tau $, è vero che LE UNICHE autofunzioni sono gli esponenziali complessi? cioè, è vero la seguente proposizione:
Prop. $ \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau) x(t-\tau) d\tau = \int_{-\infty}^{+\infty} h(t-\tau) x(\tau) d\tau = \lambda x(t) \iff x(t) = A e^{i \omega_0 t} $
Non ce ne possono essere altre, fissato $h(t)$ ? Mi suona strano...
bye
P.S. Buona pasqua
Secondo me è un problema ben complicato, e varia a seconda della $h$... In fin dei conti, $int _RR h(t-tau)x(tau)"d"tau=lambda x(t)$ è un'equazione integrale.
Non conosco un granchè la teoria di queste equazioni, ma qualche volta ne ho incontrate: ad esempio le soluzioni di
$int_(-T/2)^(T/2) (sin [omega_c(t-tau)])/(pi (t-tau)) varphi(tau)"d"tau= lambda varphi(tau)$
sono le funzioni d'onda sferiche prolate $Psi_n(t; omega_cT)$
PS: buona Pasqua anche a te
Non conosco un granchè la teoria di queste equazioni, ma qualche volta ne ho incontrate: ad esempio le soluzioni di
$int_(-T/2)^(T/2) (sin [omega_c(t-tau)])/(pi (t-tau)) varphi(tau)"d"tau= lambda varphi(tau)$
sono le funzioni d'onda sferiche prolate $Psi_n(t; omega_cT)$
PS: buona Pasqua anche a te
"RaffaelloilSapiente":
La mia vanissima speranza è di decomporre la perturbazione $x_1(t)$ secondo una base in cui sia presente $x_0(t)$ e molte altre funzioni ad essa legate, così da avere in uscita una combinazione di risposte che già conosco, perché conosco $g_0(t)$: il che si riconduce alla fine nel trovare una base in cui rappresentare $x_1(t)$ che contenga $x_0(t)$.
bye
Riguardo a questo, il procedimento di Gram - Schmidt fa certamente al caso tuo.
eh ma Gram-Schmidt lo posso usare solo se già ho un "grosso" (=completo) insieme in cui pescare le funzioni di base... il problema è trovarlo, e trovarne uno del tipo $\{ x_0^{(k)}(t) \}$ in cui sia $x_0^{(0)}(t) = x_0(t)$ e le altre ad essa connesse (una roba del tipo: i polinomi di Hermite e la gaussiana...)
per quanto riguarda le equazioni integrali, su un libro di Tricomi ho trovato un bel passaggio in cui dice che:
un'equazione integrale del tipo $\int_{0}^{t} k(t,\tau) x(\tau) d\tau = f(t)$ porta una sinusoide $x(t)$ in un'altra sinusoide $f(t)$ con egual periodo SE E SOLO SE $k(t,\tau) = k(t-\tau)$
come a dire che deve essere una convoluzione. Da una parte già lo sapevamo (le sinusoidi sono autofunzioni); dall'altra devo ragionare sul perché non vada contro quello che hai scritto sopra, che è sicuramente giusto (anch'io l'avevo vista una volta, in un'applicazione...)
Mumble mumble...
per quanto riguarda le equazioni integrali, su un libro di Tricomi ho trovato un bel passaggio in cui dice che:
un'equazione integrale del tipo $\int_{0}^{t} k(t,\tau) x(\tau) d\tau = f(t)$ porta una sinusoide $x(t)$ in un'altra sinusoide $f(t)$ con egual periodo SE E SOLO SE $k(t,\tau) = k(t-\tau)$
come a dire che deve essere una convoluzione. Da una parte già lo sapevamo (le sinusoidi sono autofunzioni); dall'altra devo ragionare sul perché non vada contro quello che hai scritto sopra, che è sicuramente giusto (anch'io l'avevo vista una volta, in un'applicazione...)
Mumble mumble...
senti, potresti darmi una referenza (se ci fosse qcosa su internet sarebbe magnifico) per la dimostrazione di quella cosa sulle sferoidali prolate? l'ho cercata ma non la riesco a trovare e potrebbe essermi utile come linea guida per calcoli simili...
thanks,
bye
thanks,
bye
Io l'ho incontrate in Papoulis - Probabilità, Variabili Aleatorie E Processi Stocastici, ma non è che un rapido accenno (l'argomento è: sviluppi in serie di processi stocastici) e non vi è alcun calcolo o dimostrazione. Più in generale, per equazioni del tipo $int_(-T/2)^(T/2) R(t_1,t_2) varphi (t_2) "d"t_2=lambda varphi (t_1)$ si rimanda proprio al Tricomi.
Secondo me potresti aprire un thread sulle equazioni integrali in "Analisi Matematica" dove può vederlo gente più esperta. Immagino ti verrà detto che è un caso particolare dell'equazione di Fredholm di prima specie.
Secondo me potresti aprire un thread sulle equazioni integrali in "Analisi Matematica" dove può vederlo gente più esperta. Immagino ti verrà detto che è un caso particolare dell'equazione di Fredholm di prima specie.
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