Applicazione teorema di Gauss con densità di carica variabile

akinators1919
In questo problema presentato dal mio professore, ho una sfera isolante di raggio R piena, dove $ E(r) = (alpha*r^2)/(epsilon_0) $ con $ alpha $ costante positiva.

La richiesta è quella di trovare la densità di carica $ rho(r) $ nello spazio interno della sfera.
Per farlo il professore usa la divergenza di E: \(\displaystyle \bigtriangledown \) $*E = rho/epsilon_0 $
Il risultato è così $ rho(r) = 4*alpha*r $

La mia domanda è se fosse possibile arrivare alla soluzione svolgendo l'esercizio anche con il teorema di Gauss per il flusso del campo elettrico, e se non fosse possibile, volevo capire il perché.
Ho provato a eseguire il procedimento scrivendo: $ E*Sigma = (rho*4*pi*r^2*dr)/epsilon_0 $ e integrando ottengo:
$ rho = 3*epsilon_0*E $ e sostituendo $ E $ ottengo $ rho(r) = 3*alpha*r $ che non coincide con il risultato del professore. Ho fatto un errore io nel procedimento oppure in questo caso non si può applicare questo ragionamento? Grazie

Risposte
RenzoDF
Direi che, detta $q(r)$ la carica contenuta nella gaussiana di generico raggio $r$ e superficie $\Sigma$, scritta grazie a Gauss la seguente catena di uguaglianze

$E \ \Sigma=\frac{\alpha r^2}{\epsilon_0}\cdot 4\pi r^2=\frac{4\pi \alpha r^4}{\epsilon_0} =\frac{q(r)}{\epsilon_0}=\frac{1}{\epsilon_0}\int_{0}^{r}\rho(r) 4\pi r^2\text{d}r$

semplificata in

$ \alpha r^4 =\int_{0}^{r}\rho(r) r^2\text{d}r$

derivando entrambi i membri, otterremo facilmente la soluzione. :wink:

Ma di sicuro, via divergenza (in coordinate sferiche ovviamente), si fa tutto in un nanosecondo. :-D ... provaci! :wink:

akinators1919
Grazie mille, tutto chiaro!

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.