Applicazione teorema di Gauss con densità di carica variabile
In questo problema presentato dal mio professore, ho una sfera isolante di raggio R piena, dove $ E(r) = (alpha*r^2)/(epsilon_0) $ con $ alpha $ costante positiva.
La richiesta è quella di trovare la densità di carica $ rho(r) $ nello spazio interno della sfera.
Per farlo il professore usa la divergenza di E: \(\displaystyle \bigtriangledown \) $*E = rho/epsilon_0 $
Il risultato è così $ rho(r) = 4*alpha*r $
La mia domanda è se fosse possibile arrivare alla soluzione svolgendo l'esercizio anche con il teorema di Gauss per il flusso del campo elettrico, e se non fosse possibile, volevo capire il perché.
Ho provato a eseguire il procedimento scrivendo: $ E*Sigma = (rho*4*pi*r^2*dr)/epsilon_0 $ e integrando ottengo:
$ rho = 3*epsilon_0*E $ e sostituendo $ E $ ottengo $ rho(r) = 3*alpha*r $ che non coincide con il risultato del professore. Ho fatto un errore io nel procedimento oppure in questo caso non si può applicare questo ragionamento? Grazie
La richiesta è quella di trovare la densità di carica $ rho(r) $ nello spazio interno della sfera.
Per farlo il professore usa la divergenza di E: \(\displaystyle \bigtriangledown \) $*E = rho/epsilon_0 $
Il risultato è così $ rho(r) = 4*alpha*r $
La mia domanda è se fosse possibile arrivare alla soluzione svolgendo l'esercizio anche con il teorema di Gauss per il flusso del campo elettrico, e se non fosse possibile, volevo capire il perché.
Ho provato a eseguire il procedimento scrivendo: $ E*Sigma = (rho*4*pi*r^2*dr)/epsilon_0 $ e integrando ottengo:
$ rho = 3*epsilon_0*E $ e sostituendo $ E $ ottengo $ rho(r) = 3*alpha*r $ che non coincide con il risultato del professore. Ho fatto un errore io nel procedimento oppure in questo caso non si può applicare questo ragionamento? Grazie
Risposte
Direi che, detta $q(r)$ la carica contenuta nella gaussiana di generico raggio $r$ e superficie $\Sigma$, scritta grazie a Gauss la seguente catena di uguaglianze
$E \ \Sigma=\frac{\alpha r^2}{\epsilon_0}\cdot 4\pi r^2=\frac{4\pi \alpha r^4}{\epsilon_0} =\frac{q(r)}{\epsilon_0}=\frac{1}{\epsilon_0}\int_{0}^{r}\rho(r) 4\pi r^2\text{d}r$
semplificata in
$ \alpha r^4 =\int_{0}^{r}\rho(r) r^2\text{d}r$
derivando entrambi i membri, otterremo facilmente la soluzione.
Ma di sicuro, via divergenza (in coordinate sferiche ovviamente), si fa tutto in un nanosecondo.
... provaci!
$E \ \Sigma=\frac{\alpha r^2}{\epsilon_0}\cdot 4\pi r^2=\frac{4\pi \alpha r^4}{\epsilon_0} =\frac{q(r)}{\epsilon_0}=\frac{1}{\epsilon_0}\int_{0}^{r}\rho(r) 4\pi r^2\text{d}r$
semplificata in
$ \alpha r^4 =\int_{0}^{r}\rho(r) r^2\text{d}r$
derivando entrambi i membri, otterremo facilmente la soluzione.
Ma di sicuro, via divergenza (in coordinate sferiche ovviamente), si fa tutto in un nanosecondo.
... provaci!
Grazie mille, tutto chiaro!
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