Applicazione formula Laplace
Salve Ragazzi , ho alcuni dubbi circa questo problema :
Sia una spira di lati $l$ e $h$ , la spira è percorsa da corrente $i$ . Si dimostri che il campo magnetico $\vec{B}$ al centro della spira vale :
$\vec{B}(0)=\frac{2 \mu_0 i }{\pi} \frac{\sqrt{l^2 + h^2}}{lh}$
Ho impostato il problema cosi :
Secondo la legge di laplace : $\vec{B}(r)=\frac{\mu_0 i}{4\pi} \int_\{gamma} \frac{d\vec{l} \times \vec{r}} {r^3}$
Bene... devo "convertire" i $d\vec{l}$ , $r$ ed $\vec{r}$ nel caso specifico del mio problema.
Ho inoltre impostato il mio sistema di riferimento con origine O coincidente con il baricentro della spira quindi $O=(\frac{l}{2};\frac{h}{2})$ con asse $\vec{y}$ parallelo al lato $l$ e asse $\vec{x}$ parallelo lato $h$ . Quindi secondo questo sistema di riferimento il $d\vec{l}$ della formula di Laplace è un $d\vec{h}$ mentre $\vec{r}$ che sarebbe il raggio vettore che congiunge $O$ con il tratto $dh$ , e qui iniziano i miei dubbi.. , ho posto $\vec{r}=sqrt{\frac{l^2}{4}+\frac{h^2}{4}$
Sostituendo alla formula ho : $\vec{B}(O)=\frac{\mu_0 i}{4\pi} \int_\{gamma} \frac{d\vec{h} \times sqrt{\frac{l^2}{4}+\frac{h^2}{4}}} {{\frac{l^2}{4} + \frac{h^2}{4} }^(\frac{3}{2})}$ Svolgendo il prodotto vettoriale ho ..
$B(O)=\frac{\mu_0 i}{4\pi} \int_0^(2\pi) \frac{dh sqrt{\frac{l^2}{4}+\frac{h^2}{4}} \sin\psi} {{\frac{l^2}{4} + \frac{h^2}{4} }^(\frac{3}{2})}$
Ipotizzando che i miei ragionamenti siano corretti , non ne sono sicurissimo , come posso procedere?
Purtroppo ancora non ho fatto gli integrali multipli , credo che bisogna effettuare un cambio di coordinate...
Sia una spira di lati $l$ e $h$ , la spira è percorsa da corrente $i$ . Si dimostri che il campo magnetico $\vec{B}$ al centro della spira vale :
$\vec{B}(0)=\frac{2 \mu_0 i }{\pi} \frac{\sqrt{l^2 + h^2}}{lh}$
Ho impostato il problema cosi :
Secondo la legge di laplace : $\vec{B}(r)=\frac{\mu_0 i}{4\pi} \int_\{gamma} \frac{d\vec{l} \times \vec{r}} {r^3}$
Bene... devo "convertire" i $d\vec{l}$ , $r$ ed $\vec{r}$ nel caso specifico del mio problema.
Ho inoltre impostato il mio sistema di riferimento con origine O coincidente con il baricentro della spira quindi $O=(\frac{l}{2};\frac{h}{2})$ con asse $\vec{y}$ parallelo al lato $l$ e asse $\vec{x}$ parallelo lato $h$ . Quindi secondo questo sistema di riferimento il $d\vec{l}$ della formula di Laplace è un $d\vec{h}$ mentre $\vec{r}$ che sarebbe il raggio vettore che congiunge $O$ con il tratto $dh$ , e qui iniziano i miei dubbi.. , ho posto $\vec{r}=sqrt{\frac{l^2}{4}+\frac{h^2}{4}$
Sostituendo alla formula ho : $\vec{B}(O)=\frac{\mu_0 i}{4\pi} \int_\{gamma} \frac{d\vec{h} \times sqrt{\frac{l^2}{4}+\frac{h^2}{4}}} {{\frac{l^2}{4} + \frac{h^2}{4} }^(\frac{3}{2})}$ Svolgendo il prodotto vettoriale ho ..
$B(O)=\frac{\mu_0 i}{4\pi} \int_0^(2\pi) \frac{dh sqrt{\frac{l^2}{4}+\frac{h^2}{4}} \sin\psi} {{\frac{l^2}{4} + \frac{h^2}{4} }^(\frac{3}{2})}$
Ipotizzando che i miei ragionamenti siano corretti , non ne sono sicurissimo , come posso procedere?
Purtroppo ancora non ho fatto gli integrali multipli , credo che bisogna effettuare un cambio di coordinate...
Risposte
Vettori uguali a scalari? Devi essere preciso nel formalismo...
Integrali multipli? Non ne vedo...
Comunque, perché non usi la formula del campo generato da un segmento in un punto che si proietta nel centro e fai un po' di normali somme?
Integrali multipli? Non ne vedo...
Comunque, perché non usi la formula del campo generato da un segmento in un punto che si proietta nel centro e fai un po' di normali somme?
Premesso che potrebbe essere più conveniente scegliere come origine del sistema di riferimento il baricentro della spira, lascerei $\vecr$ e $d\vec l$ in forma vettoriale, andando ad integrare separatamente sui due semilati.
Forse questo vecchio thread
viewtopic.php?f=19&t=143880
può risultarti utile.
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@anonymous_ad4c4b Il prodotto fra due vettori può essere espresso come il prodotto dei moduli per il seno dell'angolo compreso.. a che formula ti riferisci?
@RenzoDF Applicando in modo corretto i ragionamenti fatti da te il quel Thread arriverei alla giusta conclusione?
@RenzoDF Applicando in modo corretto i ragionamenti fatti da te il quel Thread arriverei alla giusta conclusione?
Il prodotto fra due vettori è un vettore! Occorre essere molto accurati nel formalismo. Non puoi scrivere che $\vec{B}$ è uguale ad uno scalare.
Opps... mi è partito l'invio...
Dicevo anche che in letteratura trovi la formula del campo magnetico prodotto da un segmento di filo percorso da corrente (campo calcolato in un punto la cui proiezione ortogonale sul filo cade nel suo punto medio) . Usando quella formula, fai la somma dei quattro contributi (uno per ogni lato) e trovi il risultato senza integrare.
Altrimenti, ti ricavi (integrando) preventivamente detta formula (è facile) e poi fai le somme.
Dicevo anche che in letteratura trovi la formula del campo magnetico prodotto da un segmento di filo percorso da corrente (campo calcolato in un punto la cui proiezione ortogonale sul filo cade nel suo punto medio) . Usando quella formula, fai la somma dei quattro contributi (uno per ogni lato) e trovi il risultato senza integrare.
Altrimenti, ti ricavi (integrando) preventivamente detta formula (è facile) e poi fai le somme.
Hai ragione, ho corretto il precedente messaggio.
Mmm in effetti posso ragionare in questo modo.
Mmm in effetti posso ragionare in questo modo.
Su wikipedia la formula è sbagliata. Te la do giusta:
$B=\frac{\mu I}{2 \pi a} \frac{L}{sqrt{L^2+4a^2}}$.
$L$ è la lunghezza del conduttore, $a$ è la distanza del punto in cui si misura il campo dal conduttore (il punto deve essere sull'asse del conduttore).
$B=\frac{\mu I}{2 \pi a} \frac{L}{sqrt{L^2+4a^2}}$.
$L$ è la lunghezza del conduttore, $a$ è la distanza del punto in cui si misura il campo dal conduttore (il punto deve essere sull'asse del conduttore).
Credo di esser giunto alla soluzione,pomeriggio faccio tutti i calcoli , li controllo , e se tutto risulta pubblico il tutto in modo tale che un giorno possa servire a qualcuno . Grazie di tutto ragazzi 
Ecco qui il problema completo :
Suddivido la spira in 4 lati $AB$ , $BD$ ,$DC$ e $CA$ . $B(O)=B_{AB}(O)+B_{BD}(O)+B_{DC}(O)+B_{CA}(O)$
Noto che $B_{AB}(O)=B_{DC}(O)$ e $B_{BD}(O)=B_{CA}(O)$ quindi basta calcolare $B_{AB}(O)$ e $B_{BD}(O)$
$\vec{B}_{AB}(O)=\frac{\mu_0 i}{4\pi}\int_{\gamma} \frac{dx \times \vec{r}}{r^3}$ $\qquad$ dove $r=\sqrt(x^2 + (\frac{l}{2})^2)$
${B}_{AB}(O)=\frac{\mu_0 i}{4\pi}\int_{\gamma} \frac{r\sin\psi dx}{r^3}=\frac{\mu_0 i}{4\pi}\int_{\gamma} \frac{\sin\psi dx}{r^2}=\frac{\mu_0 i}{4\pi}\int_{\frac{-h}{2}}^{\frac{h}{2}} \frac{\frac{l}{2}dx}{((\frac{h}{2})^2 + x^2)^(\frac{3}{2}})$ $\qquad$ essendo $\sin\psi=\frac{l}{2r}$
$=\frac{\mu_0 il}{8\pi} [ \frac{8x}{l^2 \sqrt(l^2 +4x^2)}]_{\frac{-h}{2}}^{\frac{h}{2}}=\frac{\mu_0 ih}{\pi l \sqrt(l^2 +h^2} $
$\vec{B}_{BD}(O)=\frac{\mu_0 i}{4\pi}\int_{\gamma} \frac{dy \times \vec{r}}{r^3}$ $\qquad$ dove $r=\sqrt(y^2 + (\frac{h}{2})^2)$
$B_{BD}(O)=\frac{\mu_0 i}{4\pi}\int_{\gamma} \frac{r\sin\psi dy}{r^3}=\frac{\mu_0 i}{4\pi}\int_{\gamma} \frac{\sin\psi dy}{r^2}=\frac{\mu_0 i}{4\pi}\int_{\frac{-l}{2}}^{\frac{l}{2}} \frac{\frac{h}{2}dy}{((\frac{h}{2})^2 + x^2)^(\frac{3}{2}})$ $\qquad$ essendo $\sin\psi=\frac{h}{2r}$
$=\frac{\mu_0 ih}{8\pi} [ \frac{8y}{h^2 \sqrt(h^2 +4x^2)}]_{\frac{-h}{2}}^{\frac{h}{2}}=\frac{\mu_0 il}{\pi h \sqrt(l^2 +h^2} $
Sommando i vari contributi avrò :
$B(O)=2B_{AB}(O)+2B_{BD}(O)=\frac{2\mu_0 i \sqrt(l^2 + h^2)}{\pi l h}$
In modulo : $\vec{B}(O)=\frac{2\mu_0 i \sqrt(l^2 + h^2)}{\pi l h} \hat{z}$ $\qquad$ normale al piano che contiene la spira , uscente dal "foglio" .
Suddivido la spira in 4 lati $AB$ , $BD$ ,$DC$ e $CA$ . $B(O)=B_{AB}(O)+B_{BD}(O)+B_{DC}(O)+B_{CA}(O)$
Noto che $B_{AB}(O)=B_{DC}(O)$ e $B_{BD}(O)=B_{CA}(O)$ quindi basta calcolare $B_{AB}(O)$ e $B_{BD}(O)$
$\vec{B}_{AB}(O)=\frac{\mu_0 i}{4\pi}\int_{\gamma} \frac{dx \times \vec{r}}{r^3}$ $\qquad$ dove $r=\sqrt(x^2 + (\frac{l}{2})^2)$
${B}_{AB}(O)=\frac{\mu_0 i}{4\pi}\int_{\gamma} \frac{r\sin\psi dx}{r^3}=\frac{\mu_0 i}{4\pi}\int_{\gamma} \frac{\sin\psi dx}{r^2}=\frac{\mu_0 i}{4\pi}\int_{\frac{-h}{2}}^{\frac{h}{2}} \frac{\frac{l}{2}dx}{((\frac{h}{2})^2 + x^2)^(\frac{3}{2}})$ $\qquad$ essendo $\sin\psi=\frac{l}{2r}$
$=\frac{\mu_0 il}{8\pi} [ \frac{8x}{l^2 \sqrt(l^2 +4x^2)}]_{\frac{-h}{2}}^{\frac{h}{2}}=\frac{\mu_0 ih}{\pi l \sqrt(l^2 +h^2} $
$\vec{B}_{BD}(O)=\frac{\mu_0 i}{4\pi}\int_{\gamma} \frac{dy \times \vec{r}}{r^3}$ $\qquad$ dove $r=\sqrt(y^2 + (\frac{h}{2})^2)$
$B_{BD}(O)=\frac{\mu_0 i}{4\pi}\int_{\gamma} \frac{r\sin\psi dy}{r^3}=\frac{\mu_0 i}{4\pi}\int_{\gamma} \frac{\sin\psi dy}{r^2}=\frac{\mu_0 i}{4\pi}\int_{\frac{-l}{2}}^{\frac{l}{2}} \frac{\frac{h}{2}dy}{((\frac{h}{2})^2 + x^2)^(\frac{3}{2}})$ $\qquad$ essendo $\sin\psi=\frac{h}{2r}$
$=\frac{\mu_0 ih}{8\pi} [ \frac{8y}{h^2 \sqrt(h^2 +4x^2)}]_{\frac{-h}{2}}^{\frac{h}{2}}=\frac{\mu_0 il}{\pi h \sqrt(l^2 +h^2} $
Sommando i vari contributi avrò :
$B(O)=2B_{AB}(O)+2B_{BD}(O)=\frac{2\mu_0 i \sqrt(l^2 + h^2)}{\pi l h}$
In modulo : $\vec{B}(O)=\frac{2\mu_0 i \sqrt(l^2 + h^2)}{\pi l h} \hat{z}$ $\qquad$ normale al piano che contiene la spira , uscente dal "foglio" .
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