Applicazione Equazione di Poisson
Ciao a tutti. Il Professore mi ha proposto questo esercizio alla lavagna:
Ho dell'aria (considero 1 mole) a 293 K e 1 atm. La comprimo fino a una pressione di 40 atm. Il prof ha detto che ci troviamo all'interno di un motore e questa compressione è eseguita molto velocemente da un pistone quindi possiamo considerare la trasformazione ADIABATICA in quanto il calore non fa in tempo a trasmettersi attraverso le pareti. Devo trovare la Temperatura finale. Il $gamma$ dell'aria è $1,4$.
Trovandoci di fronte a una trasformazione adiabatica valgono le leggi di Poisson $ p \cdot V^gamma = $ costante
Io ho operato così:
Mi sono prima trovato il Volume iniziale del gas con l'equazione $ p\cdot V=n\cdot R\cdot T $ e mi viene $ 24,05 $ litri. Poi dall'equazione $ p$[size=85]i[/size]$\cdot V^gamma $[size=85]i[/size]$=p$[size=85]f[/size]$\cdot V^gamma $[size=85]f[/size] ho ricavato il $V$ [size=85]f[/size] che mi viene $ 1,73 $ litri. Avendo ora il volume finale mi sono trovato sempre con l'equazione fondamentale dei gas la Temperatura finale di $841$ K. Ho operato nel modo giusto?
Il prof invece ha agito diversamente:
Indicherç con $p$, $T$ e $V$ la pressione, temperatura e volume iniziale e con $ vec(p) $, $vec(T)$ e $ vec(V) $ la pressione, temperatura e volume finali.
Partendo dall'equazione $ p\cdot V^gamma =vec(p) \cdot vec(V) ^gamma $ ha sostituito, da entrambe le parti dell'equazione, $ V=(nRT)/p $ e poi semplificato $n$ e $R$ perchè costanti presenti in entrambi i membri dell'equazione. Ha ottenuto $ p\cdot (T/p)^gamma =vec(p) \cdot (vec(T)/ vec(p))^gamma $ poi con vari passaggi è arrivato a $ vec(T) = (vec(p)/p )^((gamma -1)/gamma)\cdot T^gamma $ e gli viene $815$K
Secondo me ha sbagliato lui l'ultimo passaggio matematico in cui da $ vec(T)^gamma=p^(1-gamma) cdotT^gamma cdot vec(p)^(1-gamma) $ ha elevato tutto alla $gamma$ e lui ha scritto $ vec(T)=p^((1-gamma)/gamma) cdotT^gamma cdot vec(p)^((1-gamma)/gamma) $ . Secondo me ha dimenticato di semplificare il $gamma$ della $T$. In effetti correggendo quell'errore i risultati coincidono.
Spero di essere stato chiaro nella spiegazione se necessario posto i passaggi matematici del professore uno per uno. Comunque dove è sbagliato il mio procedimento?
Già che ci siete mi spiegate come faccio a mettere il pedice alle lettere all'interno di una formula?
Ho dell'aria (considero 1 mole) a 293 K e 1 atm. La comprimo fino a una pressione di 40 atm. Il prof ha detto che ci troviamo all'interno di un motore e questa compressione è eseguita molto velocemente da un pistone quindi possiamo considerare la trasformazione ADIABATICA in quanto il calore non fa in tempo a trasmettersi attraverso le pareti. Devo trovare la Temperatura finale. Il $gamma$ dell'aria è $1,4$.
Trovandoci di fronte a una trasformazione adiabatica valgono le leggi di Poisson $ p \cdot V^gamma = $ costante
Io ho operato così:
Mi sono prima trovato il Volume iniziale del gas con l'equazione $ p\cdot V=n\cdot R\cdot T $ e mi viene $ 24,05 $ litri. Poi dall'equazione $ p$[size=85]i[/size]$\cdot V^gamma $[size=85]i[/size]$=p$[size=85]f[/size]$\cdot V^gamma $[size=85]f[/size] ho ricavato il $V$ [size=85]f[/size] che mi viene $ 1,73 $ litri. Avendo ora il volume finale mi sono trovato sempre con l'equazione fondamentale dei gas la Temperatura finale di $841$ K. Ho operato nel modo giusto?
Il prof invece ha agito diversamente:
Indicherç con $p$, $T$ e $V$ la pressione, temperatura e volume iniziale e con $ vec(p) $, $vec(T)$ e $ vec(V) $ la pressione, temperatura e volume finali.
Partendo dall'equazione $ p\cdot V^gamma =vec(p) \cdot vec(V) ^gamma $ ha sostituito, da entrambe le parti dell'equazione, $ V=(nRT)/p $ e poi semplificato $n$ e $R$ perchè costanti presenti in entrambi i membri dell'equazione. Ha ottenuto $ p\cdot (T/p)^gamma =vec(p) \cdot (vec(T)/ vec(p))^gamma $ poi con vari passaggi è arrivato a $ vec(T) = (vec(p)/p )^((gamma -1)/gamma)\cdot T^gamma $ e gli viene $815$K
Secondo me ha sbagliato lui l'ultimo passaggio matematico in cui da $ vec(T)^gamma=p^(1-gamma) cdotT^gamma cdot vec(p)^(1-gamma) $ ha elevato tutto alla $gamma$ e lui ha scritto $ vec(T)=p^((1-gamma)/gamma) cdotT^gamma cdot vec(p)^((1-gamma)/gamma) $ . Secondo me ha dimenticato di semplificare il $gamma$ della $T$. In effetti correggendo quell'errore i risultati coincidono.
Spero di essere stato chiaro nella spiegazione se necessario posto i passaggi matematici del professore uno per uno. Comunque dove è sbagliato il mio procedimento?
Già che ci siete mi spiegate come faccio a mettere il pedice alle lettere all'interno di una formula?
Risposte
L'ultima la so
Così ... V_f viene $V_f$ ... mentre se il pedice è "lungo" usa le parentesi così ... P_(1f) viene $P_(1f)$ ...
Se necessario puoi mettere anche dei "sottopedici" così ... T_(i_1) viene $T_(i_1)$ ...
Cordialmente, Alex
Così ... V_f viene $V_f$ ... mentre se il pedice è "lungo" usa le parentesi così ... P_(1f) viene $P_(1f)$ ...
Se necessario puoi mettere anche dei "sottopedici" così ... T_(i_1) viene $T_(i_1)$ ...
Cordialmente, Alex
La formula giusta è :
$T*p^((1-\gamma)/\gamma) = "cost" $
Guarda la formula 10 qui , equivalente a quella scritta sopra.
$T*p^((1-\gamma)/\gamma) = "cost" $
Guarda la formula 10 qui , equivalente a quella scritta sopra.
Ok ma il mio procedimento è sbagliato?
E comunque anche sul link che mi hai postato le formule riportate sono $ pcdotV^gamma= k $ e $ TcdotV^(gamma-1)=k $ . Non ho capito cosa intendi con la tua risposta
E comunque anche sul link che mi hai postato le formule riportate sono $ pcdotV^gamma= k $ e $ TcdotV^(gamma-1)=k $ . Non ho capito cosa intendi con la tua risposta
Allora ho applicato la formula che mi hai suggerito. Sia il tuo procedimento, che il mio che correggendo il presunto errore del professore mi riporta $840$ K. Adesso la mia domanda è: il mio procedimento mi pare un pò piu semplice e senza troppi passaggi matematici. E' comunque corretto?
Grazie in anticipo
Grazie in anticipo
Si , è corretto. Comunque i passaggi matematici sono quelli , anche se non li vedi nel tuo procedimento.
Il prof ha fatto un errore di distrazione.
Il prof ha fatto un errore di distrazione.
Grazie mille!
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