Applicazione cardinali esercizio
Ciao a tutti,
ho un dubbio sull'applicazione delle cardinali in un esercizio.
Si ha un corpo appoggiato ad una parete e su un pavimento, entrambi lisci.
Si tratta di un disco di massa $M$ e di un punto materiale di eguale massa $M$ saldato sulla circonferenza del disco.
La posizione del punto materiale si può descrivere utilizzando l'angolo che il segmento (congiungente il punto materiale con il centro del disco) forma con la verticale.
Nel disegno si possono notare tutte le forze in gioco.
$N_w$= reazione vincolare della parete
$N_f$= reazione vincolare del pavimento
L'obiettivo è quello di calcolare le reazioni vincolari.
Nota: ho posto un sistema di riferimento a terra con $x$ crescente lungo destra, $y$ crescente lungo il basso, $z$ entrante nel piano.
Io ho scritto le equazioni cardinali in tal modo (la seconda equazione cardinale è calcolata con polo in $G$):
$2M(d^2x_G)/(dt^2)= N_w$
$2M(d^2y_G)/(dt^2)= 2Mg-N_f$
$I_G (d^2vartheta)/(dt^2)= -R/2 sin(vartheta) N_f + R/2 sin(90- vartheta) N_w $
Mi è stato detto che:
1) ho fatto una pessima scelta per quanto riguarda il polo;
2) c'è un errore nelle cardinali.
Non capisco il perché di queste due affermazioni.
Qualcuno saprebbe illuminarmi??
ho un dubbio sull'applicazione delle cardinali in un esercizio.
Si ha un corpo appoggiato ad una parete e su un pavimento, entrambi lisci.
Si tratta di un disco di massa $M$ e di un punto materiale di eguale massa $M$ saldato sulla circonferenza del disco.
La posizione del punto materiale si può descrivere utilizzando l'angolo che il segmento (congiungente il punto materiale con il centro del disco) forma con la verticale.
Nel disegno si possono notare tutte le forze in gioco.
$N_w$= reazione vincolare della parete
$N_f$= reazione vincolare del pavimento
L'obiettivo è quello di calcolare le reazioni vincolari.
Nota: ho posto un sistema di riferimento a terra con $x$ crescente lungo destra, $y$ crescente lungo il basso, $z$ entrante nel piano.
Io ho scritto le equazioni cardinali in tal modo (la seconda equazione cardinale è calcolata con polo in $G$):
$2M(d^2x_G)/(dt^2)= N_w$
$2M(d^2y_G)/(dt^2)= 2Mg-N_f$
$I_G (d^2vartheta)/(dt^2)= -R/2 sin(vartheta) N_f + R/2 sin(90- vartheta) N_w $
Mi è stato detto che:
1) ho fatto una pessima scelta per quanto riguarda il polo;
2) c'è un errore nelle cardinali.
Non capisco il perché di queste due affermazioni.
Qualcuno saprebbe illuminarmi??
Risposte
Concordo pienamente con 1. Si hanno 2 forze su 3 passanti per il centro geometrico del disco (o 3 su 4 se consideriamo separatamente i pesi del disco e del punto materiale), ed inoltre la tendenza iniziale del disco e di ruotare attorno al suo centro. Rispetto ad O c'è un unico momento, quello del peso di P che fa girare il disco con un'accelerazione angolare iniziale $\epsilon$ calcolabile da $I*\epsilon = MgR sin(\theta)$. Si calcolano le accelerazioni secondo $x$ e $y$ di $G$ e risultano le reazioni.
"mmdem":
Concordo pienamente con 1. Si hanno 2 forze su 3 passanti per il centro geometrico del disco (o 3 su 4 se consideriamo separatamente i pesi del disco e del punto materiale), ed inoltre la tendenza iniziale del disco e di ruotare attorno al suo centro. Rispetto ad O c'è un unico momento, quello del peso di P che fa girare il disco con un'accelerazione angolare iniziale $\epsilon$ calcolabile da $I*\epsilon = MgR sin(\theta)$. Si calcolano le accelerazioni secondo $x$ e $y$ di $G$ e risultano le reazioni.
Conviene quindi, in questo caso,
1) trovare prima di tutto l'accelerazione angolare
2) dalla quale ricavo poi l'accelerazione lungo x e y grazie alla relazione cinematica
3) per trovare poi le reazioni vincolari grazie alla prima cardinale
giusto?
Sì
Ma la relazione che usate è la solita $vec a= -rho (dot theta)^2hat e_rho +rho ddot theta hat e_theta $?
"Brufus":
Ma la relazione che usate è la solita $vec a= -rho (dot theta)^2hat e_rho +rho ddot theta hat e_theta $?
Io qua non ho utilizzato coordinate intrinseche, ho posto un sdr fisso a terra con x crescente lungo destra, y crescente lungo il basso e z entrante. Ho descritto la posizione del centro di massa lungo x e lungo y.
Nota:l'angolo cresce in senso orario.
Ok, ma come trovi $a_x $ e $a_y $ a partire da $ddot theta $ ?
Siccome si tratta di accelerazione esclusivamente tangenziale (il disco tende a ruotare intorno al suo centro geometrico partendo dal riposo) , essa è normale sul raggio vettore in $G$, quindi $a_x = \epsilon R/2 cos (\theta)$ e $a_y = - \epsilon R/2 sin (\theta)$.
Ho capito,stai valutando tutto al tempo $t=0$ quindi $dot theta (0)=0$?
Ma quindi le reazioni vincolari che trovi sono quelle al tempo zero?
Oppure rimangono sempre le stesse al variare di $t $ nonostante poi l'accelerazione centripeta diventi non nulla?
Perdona la mia ignoranza
Ma quindi le reazioni vincolari che trovi sono quelle al tempo zero?
Oppure rimangono sempre le stesse al variare di $t $ nonostante poi l'accelerazione centripeta diventi non nulla?
Perdona la mia ignoranza
Ho capito,stai valutando tutto al tempo $t=0$ quindi $dot theta (0)=0$?
Bru, e' statica non e' cinematica, stai applicando il principio dei lavori virtuali
A $t=0$ sara' $dotvartheta_0,$
La posizione del punto materiale si può descrivere utilizzando l'angolo che il segmento (congiungente il punto materiale con il centro del disco) forma con la verticale.
Allora non ho proprio capito niente fin dal principio.Cioè l'angolo $theta $non cambia mai.Scritto così mi sembrava che variasse.
Sto proprio messo male.
Infatti, varia.
Però noi stiamo valutando qui le reazioni al momento iniziale (nel testo non c'è scritto che si debba seguire l'andamento del disco nel tempo).
Se vogliamo valutare le reazioni vincolari ulteriormente si deve integrare l'equazione di movimento (sarebbe una specie di pendolo matematico poco carino per $\theta > 5°$ perché non si può più approssimare $\theta = sin(\theta)$), e poi una traslazione liscia corredata da oscillazioni attorno alla posizione d'equilibrio. Non c'è soluzione analitica semplice.
Però noi stiamo valutando qui le reazioni al momento iniziale (nel testo non c'è scritto che si debba seguire l'andamento del disco nel tempo).
Se vogliamo valutare le reazioni vincolari ulteriormente si deve integrare l'equazione di movimento (sarebbe una specie di pendolo matematico poco carino per $\theta > 5°$ perché non si può più approssimare $\theta = sin(\theta)$), e poi una traslazione liscia corredata da oscillazioni attorno alla posizione d'equilibrio. Non c'è soluzione analitica semplice.
"mmdem":
Infatti, varia.
Però noi stiamo valutando qui le reazioni al momento iniziale (nel testo non c'è scritto che si debba seguire l'andamento del disco nel tempo).
Se vogliamo valutare le reazioni vincolari ulteriormente si deve integrare l'equazione di movimento (sarebbe una specie di pendolo matematico poco carino per $\theta > 5°$ perché non si può più approssimare $\theta = sin(\theta)$), e poi una traslazione liscia corredata da oscillazioni attorno alla posizione d'equilibrio. Non c'è soluzione analitica semplice.
Ahh allora avevo capito bene!!infatti per me il problema era integrare.Io non avevo letto che il problema chiedesse le reazioni al tempo iniziale(ma nemmeno c'è scritto).
"Brufus":
Ho capito,stai valutando tutto al tempo $t=0$ quindi $dot theta (0)=0$?
Ma quindi le reazioni vincolari che trovi sono quelle al tempo zero?
Oppure rimangono sempre le stesse al variare di $t $ nonostante poi l'accelerazione centripeta diventi non nulla?
Perdona la mia ignoranza
Chiedo scusa se non l'ho scritto, comunque sì, si stanno cercando le reazioni vincolari nell'istante INIZIALE,
per cui, come ha fatto notare mmdem, troverò prima l'accelerazione angolare grazie alla seconda cardinale con centro di riduzione nel centro del disco,
dopodiché scrivo $x_G$ ed $y_G$ in funzione di $vartheta$, derivo due volte e trovo l'accelerazione lungo $x$ e lungo $y$ in funzione di $vartheta$.
In tal modo troverò il valore delle reazioni vincolari nell'istante iniziale grazie alla prima cardinale.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo