Angolo minimo per equilibrio aste
Ciao,
ho un dubbio di impostazione di un esercizio sulle forze.
Il testo è il seguente:
un asta B omogenea di massa $m_b$ e lunghezza $l_b$ è appoggiata contro un altra asta A omogenea di massa $m_a$ e lunghezza $l_a$. L'angolo nell'incontro è retto mentre l'asta B forma un angolo $\theta$ con il suolo.
L'asta si estende per un tratto di lunghezza trascurabile oltre il punto di incontro e il coefficiente d attrito tra le due aste è $\mu$ ed entrambe sono fissate al suolo per un estremo.
Qual è l'angolo $\theta$ minimo per cui le aste non cadono?
Ho impostato il problema spezzando il sistema e:
siccome c'è incastro con suolo avrò tre reazioni vincolari incognite e nel punti di incastro ho introdotto le due forze $H_H$ e $V_H$
A questo punto impongo equilibrio in ognuna delle due aste:
in A: risultante dei momenti=0 => $M_a + V_h l_a + m_a g l_a/2 sin\theta =0 $
risultante verticale=0 => $V_a -m_a g +H_h cos\theta +V_h sin\theta =0$
risultante orizzontale =0 >= $H_a + H_h sin\theta + V_h cos\theta =0$
analogamente faccio per B
Domanda: come introduco la forza d'attrito di coefficiente $\mu$ tra le due aste??
C'è forse un modo più veloce per risolvere l'esercizio?
Grazie a tutti
ho un dubbio di impostazione di un esercizio sulle forze.
Il testo è il seguente:
un asta B omogenea di massa $m_b$ e lunghezza $l_b$ è appoggiata contro un altra asta A omogenea di massa $m_a$ e lunghezza $l_a$. L'angolo nell'incontro è retto mentre l'asta B forma un angolo $\theta$ con il suolo.
L'asta si estende per un tratto di lunghezza trascurabile oltre il punto di incontro e il coefficiente d attrito tra le due aste è $\mu$ ed entrambe sono fissate al suolo per un estremo.
Qual è l'angolo $\theta$ minimo per cui le aste non cadono?
Ho impostato il problema spezzando il sistema e:
siccome c'è incastro con suolo avrò tre reazioni vincolari incognite e nel punti di incastro ho introdotto le due forze $H_H$ e $V_H$
A questo punto impongo equilibrio in ognuna delle due aste:
in A: risultante dei momenti=0 => $M_a + V_h l_a + m_a g l_a/2 sin\theta =0 $
risultante verticale=0 => $V_a -m_a g +H_h cos\theta +V_h sin\theta =0$
risultante orizzontale =0 >= $H_a + H_h sin\theta + V_h cos\theta =0$
analogamente faccio per B
Domanda: come introduco la forza d'attrito di coefficiente $\mu$ tra le due aste??
C'è forse un modo più veloce per risolvere l'esercizio?
Grazie a tutti
Risposte
Hai impostato male.
Se ammetti che nei vincoli esiste un momento di reazione, le aste non cadono mai. Stanno su anche se non c'e' attrito tra le 2 aste: sono incastrate!
Le aste sono ancorate a terra con un cerniera. Risolvi ora?
Se ammetti che nei vincoli esiste un momento di reazione, le aste non cadono mai. Stanno su anche se non c'e' attrito tra le 2 aste: sono incastrate!
Le aste sono ancorate a terra con un cerniera. Risolvi ora?
Grazie del suggerimento!
A questo punto basta imporre rotazione nulla per le aste A e B (con poli gli estremi incernierati) e ricavo:
asta A: $V_h l_a + m_a g l_a /2 sin\theta =0 => V_h=-m_a g/2 sin\theta$
asta B: $H_h l_b + m_b g l_b /2 cos\theta =0 => H_h=-m_b g/2 cos\theta$
Posso usare la relazione di Coulomb imponendo: $|H_h| <= \mu |V_h|$
e ricavo $m_b g/2 cos\theta <= m_a g/2 sin\theta$ da cui $tan\theta >= m_b / m_a$.
L'angolo minimo è quindi pari a $\theta_min= arctan(m_b/m_a)$.
Ora è corretto il procedimento?
E' possiible risolverlo con la meccanica analitica?
A questo punto basta imporre rotazione nulla per le aste A e B (con poli gli estremi incernierati) e ricavo:
asta A: $V_h l_a + m_a g l_a /2 sin\theta =0 => V_h=-m_a g/2 sin\theta$
asta B: $H_h l_b + m_b g l_b /2 cos\theta =0 => H_h=-m_b g/2 cos\theta$
Posso usare la relazione di Coulomb imponendo: $|H_h| <= \mu |V_h|$
e ricavo $m_b g/2 cos\theta <= m_a g/2 sin\theta$ da cui $tan\theta >= m_b / m_a$.
L'angolo minimo è quindi pari a $\theta_min= arctan(m_b/m_a)$.
Ora è corretto il procedimento?
E' possiible risolverlo con la meccanica analitica?
Corretto.
Cosa intendi per meccanica analitica?
Cosa intendi per meccanica analitica?
Intendo.. si può risolvere anche con il prinvicipo dei lavori virtuali o equazioni di lagrange?
Direi di no. C'e' attrito.
E poi perche' complicarsi la vita quando 2 equazioni di momento alle cerniere assolvono egregiamente?
E poi perche' complicarsi la vita quando 2 equazioni di momento alle cerniere assolvono egregiamente?
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