Anello circolare con induttanza
Salve qualcuno mi può aiutare con un esercizio di fisica 2?
E' dato un anello circolare nel vuoto di raggio $a=0.0662 m$, ove si ha un campo magnetico $B(t)=B_0t/ \tau$ parallelo al suo asse con $B_0=1.93 T$ e $\tau=3.59 \cdot 10^{-3} s$. L'anello può ruotare attorno al suo asse senza attriti e possiede carica $Q=1.84 mC$ distribuita uniformemente sulla circonferenza, inoltre la sua massa vale $M=0.0114 kg$. Il coefficiente di autoinduttanza vale $L=1.50 \cdot 10^3$ henry. Determinare la velocità angolare dell'anello in (rad/s)*10^(-3) all'istante $t=\tau$, sapendo che trascurando l'induttanza la velocità angolare nel medesimo istante vale $\omega_0=156$ (rad/s)*10^(-3).
Risultati possibili: A) 0 B) 25.6 C)43.6 D) 61.6 E) 79.6 F)97.6
Tentativo 1:
Utilizzo una sorta di conservazione dell'energia, sapendo che il momento di inerzia di un anello vale $I=Ma^2$ e che, per definizione di coefficiente di autoinduzione, si deve avere $i(t)=\frac{\Phi(B)}{L}=\frac{\pi a^2 B_0 t}{\tau L} \Rightarrow i(\tau)=\frac{\pi a^2 B_0 }{L}$:
\[ \frac{1}{2}I \omega_1^2 + \frac{1}{2}Li^2=\frac{1}{2}I \omega_0^2 \]
Risolvendo mi esce $\omega_1=122$ (rad/s)*10^{-3}.
Tentativo 2:
Imposto la seguente uguaglianza, $i(\tau)=\frac{\pi a^2 B_0 }{L}=\frac{Q }{2 \pi/\omega_1}$
Ricavo $\omega_1=60.49$ (rad/s)*10^{-3}.
Purtroppo entrambe le idee evidentemente hanno dei difetti, qualcuno ne ha pensate di migliori?
Grazie per aver letto!
E' dato un anello circolare nel vuoto di raggio $a=0.0662 m$, ove si ha un campo magnetico $B(t)=B_0t/ \tau$ parallelo al suo asse con $B_0=1.93 T$ e $\tau=3.59 \cdot 10^{-3} s$. L'anello può ruotare attorno al suo asse senza attriti e possiede carica $Q=1.84 mC$ distribuita uniformemente sulla circonferenza, inoltre la sua massa vale $M=0.0114 kg$. Il coefficiente di autoinduttanza vale $L=1.50 \cdot 10^3$ henry. Determinare la velocità angolare dell'anello in (rad/s)*10^(-3) all'istante $t=\tau$, sapendo che trascurando l'induttanza la velocità angolare nel medesimo istante vale $\omega_0=156$ (rad/s)*10^(-3).
Risultati possibili: A) 0 B) 25.6 C)43.6 D) 61.6 E) 79.6 F)97.6
Tentativo 1:
Utilizzo una sorta di conservazione dell'energia, sapendo che il momento di inerzia di un anello vale $I=Ma^2$ e che, per definizione di coefficiente di autoinduzione, si deve avere $i(t)=\frac{\Phi(B)}{L}=\frac{\pi a^2 B_0 t}{\tau L} \Rightarrow i(\tau)=\frac{\pi a^2 B_0 }{L}$:
\[ \frac{1}{2}I \omega_1^2 + \frac{1}{2}Li^2=\frac{1}{2}I \omega_0^2 \]
Risolvendo mi esce $\omega_1=122$ (rad/s)*10^{-3}.
Tentativo 2:
Imposto la seguente uguaglianza, $i(\tau)=\frac{\pi a^2 B_0 }{L}=\frac{Q }{2 \pi/\omega_1}$
Ricavo $\omega_1=60.49$ (rad/s)*10^{-3}.
Purtroppo entrambe le idee evidentemente hanno dei difetti, qualcuno ne ha pensate di migliori?
Grazie per aver letto!
Risposte
"fede_1_1":
... un anello circolare nel vuoto di raggio $a=0.0662 m$, ... Il coefficiente di autoinduttanza vale $L=1.50 \cdot 10^3$ henry. ...
Credo di continuare a non capire 
Credo che Renzo intenda semplicemente che i numeri di questo esercizio sembrano inverosimili. In particolare che l'induttanza di un anello circolare di raggio 6 cm nel vuoto sia 1500 H.
A tal proposito è realmente quello il numero?
A tal proposito è realmente quello il numero?
Effettivamente i numeri son quelli, ma mi sono accorto di aver aggiunto io di sana pianta "nel vuoto"
Tralasciando i valori bizzarri, quale procedimento avrebbe senso?
Tralasciando i valori bizzarri, quale procedimento avrebbe senso?
"fede_1_1":
Effettivamente i numeri son quelli, ...
In tal caso, ci puoi dire da dove arriva questo problema?
Pisa?
Dovrebbe essere addirittura derivante da un esame di fisica 2 di ingegneria chimica unipi, però non so quale sia perché l'ho reperito da una foto
Giuro che ho scritto Pisa prima di leggere la tua risposta.
... solo lì riescono a spararle di questo "calibro".
... solo lì riescono a spararle di questo "calibro".
Se può essere utile una precedente richiesta era calcolare il campo elettrico lungo la circonferenza (l'ho supposto azimutale) e l'ho risolto utilizzando:
\[ \int_lE\cdot dl=-\frac{d}{dt}(\Phi(B)) \]
Quindi $E2\pia=-\frac{d}{dt}(\Phi(B))$ che dava in modulo $E=17.8 V/m$
\[ \int_lE\cdot dl=-\frac{d}{dt}(\Phi(B)) \]
Quindi $E2\pia=-\frac{d}{dt}(\Phi(B))$ che dava in modulo $E=17.8 V/m$
"RenzoDF":
Giuro che ho scritto Pisa prima di leggere la tua risposta.
... solo lì riescono a spararle di questo "calibro".
Ahahah chiaro segno distintivo
In assenza di L
In presenza di L si avrà che l'autoinduttanza si opporrà con una forza controelettromotrice
$-L(dI)/dt = -LQ/(2*pi)(d omega)/dt$
ed quindi il nuovo campo sarà
$E_1*2*pi*a=E*2*pi*a-LQ/(2*pi)(d omega)/dt=$
$E_1=E-(LQ)/(a*4*pi^2)(d omega)/dt$
e la coppia
$E_1*Q*a=(a^2*Q)/2*B_0/tau-(LQ^2)/(4*pi^2)(d omega)/dt$
da cui deriva:
$(Ma^2+(LQ^2)/(4*pi^2))(d omega)/dt=(a^2*Q)/2*B_0/tau$
per cui è come se l'inerzia fosse aumentata di $(LQ^2)/(4*pi^2)$
Pertanto la velocità angolare sarà
$omega_1 = omega_0 *(Ma^2)/(Ma^2+(LQ^2)/(4*pi^2))=43.6*10^(-3) (rad)/s$
In presenza di L si avrà che l'autoinduttanza si opporrà con una forza controelettromotrice
$-L(dI)/dt = -LQ/(2*pi)(d omega)/dt$
ed quindi il nuovo campo sarà
$E_1*2*pi*a=E*2*pi*a-LQ/(2*pi)(d omega)/dt=$
$E_1=E-(LQ)/(a*4*pi^2)(d omega)/dt$
e la coppia
$E_1*Q*a=(a^2*Q)/2*B_0/tau-(LQ^2)/(4*pi^2)(d omega)/dt$
da cui deriva:
$(Ma^2+(LQ^2)/(4*pi^2))(d omega)/dt=(a^2*Q)/2*B_0/tau$
per cui è come se l'inerzia fosse aumentata di $(LQ^2)/(4*pi^2)$
Pertanto la velocità angolare sarà
$omega_1 = omega_0 *(Ma^2)/(Ma^2+(LQ^2)/(4*pi^2))=43.6*10^(-3) (rad)/s$
Che l'inerzia equivalente fosse quella si poteva anche desumere più facilmente da un discorso energetico confrontando l'energia senza L
$1/2 ma^2 omega_1^2$
con quella con L
$1/2 Ma^2 omega_2^2 + 1/2 LI^2 = 1/2 Ma^2 omega_2^2 + 1/2 L(Q*omega_2/(2pi))^2$
$I_(eq)=Ma^2 + (LQ^2)/(4pi^2)$
Però ho preferito l'approccio dinamico per maggiore sicurezza.
$1/2 ma^2 omega_1^2$
con quella con L
$1/2 Ma^2 omega_2^2 + 1/2 LI^2 = 1/2 Ma^2 omega_2^2 + 1/2 L(Q*omega_2/(2pi))^2$
$I_(eq)=Ma^2 + (LQ^2)/(4pi^2)$
Però ho preferito l'approccio dinamico per maggiore sicurezza.
Grazie ragazzi! Questo era, almeno per i miei standard, decisamente un pochetto ostico. Però la tua spiegazione è stata molto efficace
Credo che sia ostico in generale per un esercizio di Fisica 2!
E mi raccomando ... avvisa in futuro quando un esercizio proposto è marchiato Pisa
E mi raccomando ... avvisa in futuro quando un esercizio proposto è marchiato Pisa
"ingres":
Credo che sia ostico in generale per un esercizio di Fisica 2!
E mi raccomando ... avvisa in futuro quando un esercizio proposto è marchiato Pisa
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