Anello che scorre su guida parabolica

[Nexus991]

Un anello di massa $m$ scorre sulla guida parabolica liscia in figura. L'equazione della parabola è $y = frac{x^2}{R}$, ove $x$ e $y$ rappresentano le coordinate di un punto generico della guida nelle unità del SI e $R$ è una lunghezza nota. Sull'anello agiscono anche le forze $vec{f_1} = -F1frac{r^3}{R^3}\hat{u_r}$ e $vec{f_2}- frac{F_2}{R^2}(x^2\hat{i} + xy\hat{j})$, ove $F_1$ e $F_2$ hanno le dimensioni di una forza e $r\hat{u_r}$ è il vettore posizione dell'anello rispetto al punto 0. All'istante t = 0 l'anello passa nel punto P di coordinate (R,R) con velocità indicata in figura di modulo $v_p$. Stabilire se le forze $vec{f}_1, vec{f}_2$ sono conservative, e, determinare in termini delle grandezze note, la velocità dell'anello nell'istante in cui esso passa per la prima volta nel punto O e valutarne il modulo nel SI, per $R= 1 m$, $F1 = F2 = 0.1 N, m = 20g, vp = 2frac{m}{s}$






Tralasciano la prima richiesta, ho un problema nella seconda:

$L_((F_1)_(PO)) = F_1R$
$L_((F_2)_(PO)) = frac{11}{15} F_2R$

Applicando la legge di conservazione dell'energia meccanica abbiamo che:
$mgR + F_1R + frac{11}{15} F_2R = frac{1}{2}mv0^2 - frac{1}{2}mv_p^2$
Da cui:
$v0 = sqrt[ 2gR + (frac{2R}{m})(F_1 + frac{11}{15}F_2) + v_p^2]$

il risultato del libro è però:

$v0 = sqrt[(frac{2R}{m})(F_1 + frac{11}{15}F_2) + v_p^2]= 4.62 frac{m}{s}$

Come mai non è presente la forza peso? non fa lavoro?

[mgrau]

Non ho guardato i conti, ma direi, leggendo il testo, che si suppone che quelle indicate siano TUTTE le forze, niente peso.

[Nexus991]

Umm, capito ha senso. In effetti tra tutti i problemi con le figure questa era l'unica che non aveva disegnato il vettore dell'accelerazione di gravità. Grazie

[Lucacs1]

Mi sembra un testo volutamente complicato, per niente chiaro.
Comunque mgR non dovrebbe esserci nella conservazione dell'energia