Ancora moto circolare uniforme
Un punto materiale partendo da fermo si muove di moto circolare con accelerazione costante, il raggio della circonferenza che percorrere e' R=3.64m, in un istante $t_1$ la sua velocita' vale in modulo 17.4m/s.
L'accelerazione forma con il raggio un angolo di 22°
Quanto vale l'accelerazione angolare?
Di quanto aumenta dopo mezzo secondo il modulo di v?
Io l'ho risolto cosi' :
Si tratta di un moto uniformemente accelerato per cui la sua equazione oraria sara' :
$theta(t)=1/2alphat^2$
Converto la velocita' al confine in velocita' angolare per cui $omega(t_1)=(v(t_1))/R$
$omega(t_1)=4.78(rad)/s$
$a_c=omega^2R$ dunque l'accelerazione centripeta vale $a_c=83.13m/s^2$
$a_t=a_ctg(theta)$ per cui l'accelerazione tangenziale vale $a_t=33.25m/s^2$
l'accelerazione angolare e' uguale a
$alpha=a_t/R$ dunque $alpha=9.13(rad)/s^2 $
a questo punto posso scoprire quanto vale $t_1$ in quanto $omega(t_1)=alphat_1$ $t_1=0.52 s$
dopo mezzo secondo mi trovero' all'istante
$t_2=t_1+1/2s$ $t_2=1s$
la velocita' angolare dopo 1s e' uguale a
$omega(t_2)=alpha(1s)=9.13 (Rad)/s$
la rispettiva velocita' al confine sara'
$v(t_2)=omega(t_1)R=33.23m/s$
la differenza tra le due velocita' e':
$v(t_2)-v(t_1)=15.83$ quindi dopo mezzo secondo il modulo della velocita' aumenta di $15.83m/s$
che ne pensate? va bene oppure ho commesso qualche errore? in particolare sono in dubbio sul rapporto tra l'espressione delle accelerazioni in Rad/s oppure m/s..
PS non ho il risultato del problema per controllare la bonta' dei miei ragionamenti
L'accelerazione forma con il raggio un angolo di 22°
Quanto vale l'accelerazione angolare?
Di quanto aumenta dopo mezzo secondo il modulo di v?
Io l'ho risolto cosi' :
Si tratta di un moto uniformemente accelerato per cui la sua equazione oraria sara' :
$theta(t)=1/2alphat^2$
Converto la velocita' al confine in velocita' angolare per cui $omega(t_1)=(v(t_1))/R$
$omega(t_1)=4.78(rad)/s$
$a_c=omega^2R$ dunque l'accelerazione centripeta vale $a_c=83.13m/s^2$
$a_t=a_ctg(theta)$ per cui l'accelerazione tangenziale vale $a_t=33.25m/s^2$
l'accelerazione angolare e' uguale a
$alpha=a_t/R$ dunque $alpha=9.13(rad)/s^2 $
a questo punto posso scoprire quanto vale $t_1$ in quanto $omega(t_1)=alphat_1$ $t_1=0.52 s$
dopo mezzo secondo mi trovero' all'istante
$t_2=t_1+1/2s$ $t_2=1s$
la velocita' angolare dopo 1s e' uguale a
$omega(t_2)=alpha(1s)=9.13 (Rad)/s$
la rispettiva velocita' al confine sara'
$v(t_2)=omega(t_1)R=33.23m/s$
la differenza tra le due velocita' e':
$v(t_2)-v(t_1)=15.83$ quindi dopo mezzo secondo il modulo della velocita' aumenta di $15.83m/s$
che ne pensate? va bene oppure ho commesso qualche errore? in particolare sono in dubbio sul rapporto tra l'espressione delle accelerazioni in Rad/s oppure m/s..
PS non ho il risultato del problema per controllare la bonta' dei miei ragionamenti
Risposte
Non ho controllato i calcoli, ma i passaggi e il ragionamento sono giusti.
L'accelerazione angolare è in $(rad)/s^2$ ( non $(rad)/s ! $ ) , mentre le accelerazioni tangenziale e centripeta sono in $m/s^2$ ( non $m/s !$ ).
L'accelerazione angolare è in $(rad)/s^2$ ( non $(rad)/s ! $ ) , mentre le accelerazioni tangenziale e centripeta sono in $m/s^2$ ( non $m/s !$ ).
Meno male xD
lo so che era secondi al quadrato ma non e' venuto scritto a causa del fatto che ho dimenticato l'accento circonflesso..comunque volevo chiederti un'altra cosa
Se io voglio studiare il moto con le ascisse Curvilinee, l'accelerazione del moto uniformemente accelerato non e' piu quella angolare dunque come la ottengo? Devo usare l'accelerazione tangenziale per scrivere la legge del moto uniformemente accelerato con le ascisse Curvilinee?
lo so che era secondi al quadrato ma non e' venuto scritto a causa del fatto che ho dimenticato l'accento circonflesso..comunque volevo chiederti un'altra cosa
Se io voglio studiare il moto con le ascisse Curvilinee, l'accelerazione del moto uniformemente accelerato non e' piu quella angolare dunque come la ottengo? Devo usare l'accelerazione tangenziale per scrivere la legge del moto uniformemente accelerato con le ascisse Curvilinee?
Si vede che non hai ancora affrontato questo tipo di problemi.
Se hai una traiettoria curva qualsiasi, che ora per semplicità supponiamo piana (ma il discorso si estende a traiettorie curve nello spazio tridimensionale), in un punto P della traiettoria, variabile col tempo : $P = P(t)$, si definiscono due versori, uno tangente alla curva, $hatt$, e un altro normale alla curva stessa, $hatn$, orientato quindi perpendicolarmente al precedente verso il centro di curvatura della curva in quel punto (che poi è il centro di un cerchio particolare, il "cerchio osculatore" alla curva in $P$ : ne hai sentito parlare?).
Evidentemente questo due versori si spostano sulla curva insieme col punto $P$, per cui si può dire che : $hatt = hatt(t)$ , e anche : $hatn = hatn(t)$. ( se la curva e nello spazio 3D, si aggiunge un altro versore, perpendicolare ai primi due, che si chiama "versore binormale $hatb = hatb(t)$. La terna di versori si chiama "terna intrinseca", e si muove col punto).
Ma torniamo alla curva piana. Assumendo una ascissa curvilinea $s$ sulla curva a partire da una certa origine, si può dire che i due versori tangente e normale sono funzioni dell'ascissa curvilinea, la quale a sua volta è funzione del tempo :
$hatt = hatt(s)$ e $hatn = hatn(s)$ , dove bisogna intendere che $s = s(t)$.
Nello studio della geometria differenziale delle curve, si dimostra che :
$(dhatt)/(ds) = khatn = 1/r*hatn$
cioè derivando il versore tangente rispetto all'ascissa curvilinea si ottiene un vettore, ruotato a 90º verso il centro di curvatura, di modulo uguale alla curvatura della curva in quel punto : $k = 1/r$ (la curvatura è l'inverso del raggio di curvatura $r$) .
Considera ora il vettore velocità in $P$, che è tangente alla curva. Al variare di $P$, il vettore velocità varia sia in modulo che in direzione, ovviamente. Scrivendo che : $vecv = v*hatt$, e derivando rispetto al tempo per trovare l'accelerazione, si ha :
$veca = (dvecv)/(dt) = (d(vhatt))/(dt) = (dv)/(dt)*hatt + v (dhatt)/(dt) = (dv)/(dt)*hatt + v (dhatt)/(ds)*(ds)/(dt)$
Cioe :
$ veca = (dv)/(dt)*hatt + v^2 (dhatt)/(ds) = a_t*hatt + v^2/r*hatn = a_t*hatt + a_c*hatn$
dove riconosci che $a_t = (dv)/(dt) $ è il modulo dell'accelerazione tangenziale, mentre $a_c = v^2/r$ è il modulo dell'accelerazione centripeta. La prima è diretta tangenzialmente alla curva, come $vecv$, e ne fa cambiare il modulo. LA seconda è diretta verso il centro di curvatura istantaneo, e fa cambiare la direzione del vettore $vecv$. Naturalmente, cambiando il modulo di $vecv$, cambia pure il valore di $a_c$.
Ma è importante sottolineare che nel moto curvilineo sono presenti in generale entrambe le componenti del vettore accelerazione.
Se hai una traiettoria curva qualsiasi, che ora per semplicità supponiamo piana (ma il discorso si estende a traiettorie curve nello spazio tridimensionale), in un punto P della traiettoria, variabile col tempo : $P = P(t)$, si definiscono due versori, uno tangente alla curva, $hatt$, e un altro normale alla curva stessa, $hatn$, orientato quindi perpendicolarmente al precedente verso il centro di curvatura della curva in quel punto (che poi è il centro di un cerchio particolare, il "cerchio osculatore" alla curva in $P$ : ne hai sentito parlare?).
Evidentemente questo due versori si spostano sulla curva insieme col punto $P$, per cui si può dire che : $hatt = hatt(t)$ , e anche : $hatn = hatn(t)$. ( se la curva e nello spazio 3D, si aggiunge un altro versore, perpendicolare ai primi due, che si chiama "versore binormale $hatb = hatb(t)$. La terna di versori si chiama "terna intrinseca", e si muove col punto).
Ma torniamo alla curva piana. Assumendo una ascissa curvilinea $s$ sulla curva a partire da una certa origine, si può dire che i due versori tangente e normale sono funzioni dell'ascissa curvilinea, la quale a sua volta è funzione del tempo :
$hatt = hatt(s)$ e $hatn = hatn(s)$ , dove bisogna intendere che $s = s(t)$.
Nello studio della geometria differenziale delle curve, si dimostra che :
$(dhatt)/(ds) = khatn = 1/r*hatn$
cioè derivando il versore tangente rispetto all'ascissa curvilinea si ottiene un vettore, ruotato a 90º verso il centro di curvatura, di modulo uguale alla curvatura della curva in quel punto : $k = 1/r$ (la curvatura è l'inverso del raggio di curvatura $r$) .
Considera ora il vettore velocità in $P$, che è tangente alla curva. Al variare di $P$, il vettore velocità varia sia in modulo che in direzione, ovviamente. Scrivendo che : $vecv = v*hatt$, e derivando rispetto al tempo per trovare l'accelerazione, si ha :
$veca = (dvecv)/(dt) = (d(vhatt))/(dt) = (dv)/(dt)*hatt + v (dhatt)/(dt) = (dv)/(dt)*hatt + v (dhatt)/(ds)*(ds)/(dt)$
Cioe :
$ veca = (dv)/(dt)*hatt + v^2 (dhatt)/(ds) = a_t*hatt + v^2/r*hatn = a_t*hatt + a_c*hatn$
dove riconosci che $a_t = (dv)/(dt) $ è il modulo dell'accelerazione tangenziale, mentre $a_c = v^2/r$ è il modulo dell'accelerazione centripeta. La prima è diretta tangenzialmente alla curva, come $vecv$, e ne fa cambiare il modulo. LA seconda è diretta verso il centro di curvatura istantaneo, e fa cambiare la direzione del vettore $vecv$. Naturalmente, cambiando il modulo di $vecv$, cambia pure il valore di $a_c$.
Ma è importante sottolineare che nel moto curvilineo sono presenti in generale entrambe le componenti del vettore accelerazione.
Ma se per esempio un esercizio parla di accelerazione TOTALE e non di accelerazione tangenziale o centripeta devo intendere tale accelerazione come la somma delle due componenti?
E sopratutto se l'accelerazione totale di un moto circolare è costante che si può concludere su di esso?
E sopratutto se l'accelerazione totale di un moto circolare è costante che si può concludere su di esso?
Se hai seguito tutto il ragionamento che ti ho fatto, hai già la risposta: l'accelerazione totale è il vettore somma dei due vettori : accelerazione tangenziale e accelerazione centripeta.
Un esempio di moto piano curvo, con accelerazione (vettoriale) totale costante è il moto parabolico dei proiettili, sempre che si possa assumere $vecg = "costante"$.
Ma la traiettoria dei missili balistici intercontinentali non è una parabola, ma un arco di ellisse, perché $vecg$ non è costante.
" Accelerazione totale di un moto circolare costante" mi lascia molto perplesso....Si può intendere solo che è costante il modulo della accelerazione risultante in un moto circolare uniforme, poiché sono costanti i moduli della accelerazione tangenziale e della accelerazione centripeta. MA non è certo costante la direzione del vettore accelerazione totale $veca$ !
Un esempio di moto piano curvo, con accelerazione (vettoriale) totale costante è il moto parabolico dei proiettili, sempre che si possa assumere $vecg = "costante"$.
Ma la traiettoria dei missili balistici intercontinentali non è una parabola, ma un arco di ellisse, perché $vecg$ non è costante.
" Accelerazione totale di un moto circolare costante" mi lascia molto perplesso....Si può intendere solo che è costante il modulo della accelerazione risultante in un moto circolare uniforme, poiché sono costanti i moduli della accelerazione tangenziale e della accelerazione centripeta. MA non è certo costante la direzione del vettore accelerazione totale $veca$ !
wow non ci avevo pensato al moto dei proiettili! era una cosa che mi ronzava in testa da un po'
Perfetto quindi in un moto circolare l'accelerazione totale non potrà mai essere costante a meno che il moto non sia circolare uniforme, in tal caso anche l'accelerazione tangenziale e l'accelerazione centripeta saranno costanti..
Grazie per aver sciolto ancora una volta i miei dubbi sui moti circolari
era una cosa che mi ronzava in testa da un po'Perfetto quindi in un moto circolare l'accelerazione totale non potrà mai essere costante a meno che il moto non sia circolare uniforme, in tal caso anche l'accelerazione tangenziale e l'accelerazione centripeta saranno costanti..
Grazie per aver sciolto ancora una volta i miei dubbi sui moti circolari
Moduli costanti, devi dire nell' ultima parte della tua risposta! Moduli, non vettori! 
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