Ancora calcolo vettoriale
"Un aereo viaggia alla velocità costante di 800 km/h, prima verso Sud per un'ora, poi verso Sud - Est sempre per un'ora, ancora per un'ora e mezza in direzione Ovest.
Determina il modulo dello spostamento risultante, e l'angolo da esso formato con la direzione Est-Ovest.
Quanto tempo impiegherà per ritornare in linea retta al punto di partenza, sempre alla velocità di 800 km/h?"
Questo è il quesito che mi lascia un po' perplesso.
Prima di tutto, quando dice che l'aereo va "verso Sud - Est", con quale inclinazione attua la virata? Meglio, qual è l'angolo individuato dal secondo vettore rispetto a quello iniziale?
Inoltre, risultato del libro vuole che lo spostamento risultante sia di 1505,8 km, mentre il risultato cui (con ogni probabilità, erroneamente) sono giunto è di poco più di 1500, ma non certo 1505. E dell'angolo formato con la direzione Est - Ovest che mi dite? (Dovrebbe essere 115,2 gradi, sempre stando al testo).
Grazie anticipatamente.
Determina il modulo dello spostamento risultante, e l'angolo da esso formato con la direzione Est-Ovest.
Quanto tempo impiegherà per ritornare in linea retta al punto di partenza, sempre alla velocità di 800 km/h?"
Questo è il quesito che mi lascia un po' perplesso.
Prima di tutto, quando dice che l'aereo va "verso Sud - Est", con quale inclinazione attua la virata? Meglio, qual è l'angolo individuato dal secondo vettore rispetto a quello iniziale?
Inoltre, risultato del libro vuole che lo spostamento risultante sia di 1505,8 km, mentre il risultato cui (con ogni probabilità, erroneamente) sono giunto è di poco più di 1500, ma non certo 1505. E dell'angolo formato con la direzione Est - Ovest che mi dite? (Dovrebbe essere 115,2 gradi, sempre stando al testo).
Grazie anticipatamente.
Risposte
Ciao Tr0comi, ho fatto un po di calcoli e torna tutto, basta fare attenzione ai segni.
Per risolverlo devi considerare le direzioni verso Sud, Sud-Est e Ovest come tre vettori spostamento e descriverli in termini di componenti (in questo specifico caso il primo vettore avrà la sola componente negativa parallela all'asse $y$, il secondo vettore avrà componenti in $x$ e $y$ rispettivamente positiva e negativa, mentre il terzo avrà la sola componente parallela all'asse $x$ e negativa).
Il testo dell'esercizio non fornisce alcuna informazione circa l'angolo specifico relativo alla direzione Sud-Est, puoi (e devi
) senza troppi problemi considerarlo come l'angolo $theta=-45°$.
Lo spostamento risultante è effettivamente di $1505,8 Km$ approssimato alla prima cifra significativa. Procedi sommando le componenti parallele al piano $x,y$ e una volta ottenute sommale per ricavarti le componenti del vettore somma. Una volta che hai quelle, ragionaci con pitagora e troverai il modulo.
Riguardo l'angolo formato in direzione Est-Ovest: se hai fatto un grafico in scala più o meno preciso, anche senza fare alcun calcolo, dovresti aver visto che $115,2°$ sono un risultato anche ad occhio decisamente plausibile. Per calcolarlo numericamente una volta che hai le componenti del vettore somma risultante, usi, dalla definizione di vettore e dalle proprietà delle componenti, $varphi=tan^-1(s_y)/s_x$ dove $s_y$ e $s_x$ sono le componenti del vettore somma.
Metto su spoiler la mia risoluzione se la vuoi confrontare, o se non ti torna qualcosa
Per risolverlo devi considerare le direzioni verso Sud, Sud-Est e Ovest come tre vettori spostamento e descriverli in termini di componenti (in questo specifico caso il primo vettore avrà la sola componente negativa parallela all'asse $y$, il secondo vettore avrà componenti in $x$ e $y$ rispettivamente positiva e negativa, mentre il terzo avrà la sola componente parallela all'asse $x$ e negativa).
Il testo dell'esercizio non fornisce alcuna informazione circa l'angolo specifico relativo alla direzione Sud-Est, puoi (e devi
) senza troppi problemi considerarlo come l'angolo $theta=-45°$.Lo spostamento risultante è effettivamente di $1505,8 Km$ approssimato alla prima cifra significativa. Procedi sommando le componenti parallele al piano $x,y$ e una volta ottenute sommale per ricavarti le componenti del vettore somma. Una volta che hai quelle, ragionaci con pitagora e troverai il modulo.
Riguardo l'angolo formato in direzione Est-Ovest: se hai fatto un grafico in scala più o meno preciso, anche senza fare alcun calcolo, dovresti aver visto che $115,2°$ sono un risultato anche ad occhio decisamente plausibile. Per calcolarlo numericamente una volta che hai le componenti del vettore somma risultante, usi, dalla definizione di vettore e dalle proprietà delle componenti, $varphi=tan^-1(s_y)/s_x$ dove $s_y$ e $s_x$ sono le componenti del vettore somma.
Metto su spoiler la mia risoluzione se la vuoi confrontare, o se non ti torna qualcosa
Si trova tutto, eccetto la funzione goniometrica arctan... La calcolatrice mi dà tutt'altro risultato, qualcosa come 65,08746612...
Troviamo che $s_y/s_x~~2.1$. Con la calcolatrice si trova che $theta~~65°$. La figura però a noi risulta diversa:
. L'angolo di 65° tuttavia non è qualcosa di totalmente diverso, perchè sia la tangente di $65°$ che la tangente di $-115°$ valgono entrambe $2.1$. Nel nostro caso, però, il vettore risultante è sul terzo quadrante, quindi dobbiamo considerare l'angolo di $-115°$ o quello di $245°$. Riguardando ho visto che nella mia soluzione ho dimenticato il $-$ davanti all'angolo della direzione del vettore finale, ad ogni modo sei sicuro che nel testo la soluzione sia 115° e non -115°? perchè a meno che non siano errate le conclusioni relative al modulo e alle componenti del vettore risultante, è impossibile che l'angolo sia positivo.
. L'angolo di 65° tuttavia non è qualcosa di totalmente diverso, perchè sia la tangente di $65°$ che la tangente di $-115°$ valgono entrambe $2.1$. Nel nostro caso, però, il vettore risultante è sul terzo quadrante, quindi dobbiamo considerare l'angolo di $-115°$ o quello di $245°$. Riguardando ho visto che nella mia soluzione ho dimenticato il $-$ davanti all'angolo della direzione del vettore finale, ad ogni modo sei sicuro che nel testo la soluzione sia 115° e non -115°? perchè a meno che non siano errate le conclusioni relative al modulo e alle componenti del vettore risultante, è impossibile che l'angolo sia positivo.
No, il testo dà un angolo di 115,2, decisamente positivo... E quindi?
Quindi, io da quei dati ne ricavo questo, e penso sia giusto, se anche a te sembra verosimile, allora si sono dimenticati un - davanti al risultato dell'esercizio. In alternativa aspettiamo che qualcuno dica cosa c'è che non va, ma da quei dati, quello che ne esce è -115°. Anche senza il risultato dell'angolo si potrebbe dire che è sicuramente un angolo maggiore di -90°.
Sì, capisco cosa vuoi dire, e mi pare proprio che il tuo ragionamento non faccia una piega... Un errore del testo non è poi cosa improbabile.
Tra l'altro, i vettori non sono mai stati neanche accennati alla nostra classe, abbiamo soltanto dovuto leggerci a casa un paragrafetto con vettori e funzioni goniometriche, di qui tutte le mie (notevolissime) perplessità.
Ed ecco spiegato anche il perchè faccio ricorso al forum così spesso per quest'argomento!
Volevo porti un altro quesito, e scusami per tutto il tempo che ti sto facendo perdere.
Dato il vettore A (4;2) determina un vettore di eguale modulo e direzione perpendicolare. Quante sono le soluzioni al problema? Rappresenta l'esercizio graficamente.
Il testo non dà soluzione, ma ad intuito direi che le soluzioni sono due... come fare però a risolvere il tutto?
Tra l'altro, i vettori non sono mai stati neanche accennati alla nostra classe, abbiamo soltanto dovuto leggerci a casa un paragrafetto con vettori e funzioni goniometriche, di qui tutte le mie (notevolissime) perplessità.
Ed ecco spiegato anche il perchè faccio ricorso al forum così spesso per quest'argomento!
Volevo porti un altro quesito, e scusami per tutto il tempo che ti sto facendo perdere.
Dato il vettore A (4;2) determina un vettore di eguale modulo e direzione perpendicolare. Quante sono le soluzioni al problema? Rappresenta l'esercizio graficamente.
Il testo non dà soluzione, ma ad intuito direi che le soluzioni sono due... come fare però a risolvere il tutto?
Ciao, scusa se rispondo in ritardo, sono venuti amici a casa.
Assolutamente non mi stai facendo perdere del tempo, io provo, dove posso, a rispondere intanto perchè prima che te, aiuta a me, e secondo mi interessa capire i dubbi degli altri, confrontarli con i miei, e ragionarci con altri occhi.
Capisco benissimo che in mancanza di un valido supporto allo studio risulti davvero faticoso capirci qualcosa. Non mi permetto di entrare in merito, ma a seconda del corso di studi, uno superficiale studio dei vettori agli inizi, graverà assai spiacevolmente al procedere degli argomenti. Questo perchè li trovi dalla velocità e accellerazione fino ai campi elettromagnetici. É un pò come cercare di risolvere una disequazione trigonometrica senza aver chiaro il significato di disequazione. Più si restringe il campo degli oggetti su cui focalizzare, più risulterà semplice l'esercizio nel suo svolgimento. Io avevo iniziato guardando con occhi superficiali i vettori e le loro componenti, e già al moto dei proiettili mi ero bloccato (ma per fortuna eh
). Questa community ha molto da offrire, e se hai un minimo dubbio, senza farti alcun problema, ti basta semplicemente esporlo, che sia di carattere teorico che pratico. Per qualunque problema possiamo comunque tenerci in contatto via pm o email.
Riguardo al secondo esercizio, penso anch'io siano corrette due soluzioni: abbiamo il vettore A di componenti $A_x=4$ e $A_y=2$. Il suo modulo è $sqrt(A_x^2+A_y^2)=sqrt20=4.47$. L'angolo che questo vettore forma rispetto all'asse $x$ positivo è: $varphi=tan^-1A_y/A_x=26.6°$. Il testo chiede di trovare i vettori che abbiano lo stesso modulo e siano perpendicolari ad A.
I vettori abbiamo detto che sono due, B e C, e perchè siano perpendicolari è necessario che, da una parte, B, essendo sul semiasse positivo, sia incrementato di 90°, quindi l'angolo risultante sarà $theta=varphi+90°=116.6°$, e dall'altra, C, essendo sul semiasse negativo, risulterà $phi=varphi-90°=-63.4°$. Abbiamo il modulo (|A|=|B|=|C|), abbiamo entrambi gli angoli dei vettori, possiamo dunque calcolarci le componenti: $B_x=|B|cos116.6°=-2$ e $B_y=|B|sin116.6°=4$; $C_x=|C|cos-63.4°=2$ e $C_y=|C|sin-63.4°=-4$.
I tre vettori sono A(4;2), B(-2;4), C(2;-4).
Assolutamente non mi stai facendo perdere del tempo, io provo, dove posso, a rispondere intanto perchè prima che te, aiuta a me, e secondo mi interessa capire i dubbi degli altri, confrontarli con i miei, e ragionarci con altri occhi.
Capisco benissimo che in mancanza di un valido supporto allo studio risulti davvero faticoso capirci qualcosa. Non mi permetto di entrare in merito, ma a seconda del corso di studi, uno superficiale studio dei vettori agli inizi, graverà assai spiacevolmente al procedere degli argomenti. Questo perchè li trovi dalla velocità e accellerazione fino ai campi elettromagnetici. É un pò come cercare di risolvere una disequazione trigonometrica senza aver chiaro il significato di disequazione. Più si restringe il campo degli oggetti su cui focalizzare, più risulterà semplice l'esercizio nel suo svolgimento. Io avevo iniziato guardando con occhi superficiali i vettori e le loro componenti, e già al moto dei proiettili mi ero bloccato (ma per fortuna eh
). Questa community ha molto da offrire, e se hai un minimo dubbio, senza farti alcun problema, ti basta semplicemente esporlo, che sia di carattere teorico che pratico. Per qualunque problema possiamo comunque tenerci in contatto via pm o email.Riguardo al secondo esercizio, penso anch'io siano corrette due soluzioni: abbiamo il vettore A di componenti $A_x=4$ e $A_y=2$. Il suo modulo è $sqrt(A_x^2+A_y^2)=sqrt20=4.47$. L'angolo che questo vettore forma rispetto all'asse $x$ positivo è: $varphi=tan^-1A_y/A_x=26.6°$. Il testo chiede di trovare i vettori che abbiano lo stesso modulo e siano perpendicolari ad A.
I vettori abbiamo detto che sono due, B e C, e perchè siano perpendicolari è necessario che, da una parte, B, essendo sul semiasse positivo, sia incrementato di 90°, quindi l'angolo risultante sarà $theta=varphi+90°=116.6°$, e dall'altra, C, essendo sul semiasse negativo, risulterà $phi=varphi-90°=-63.4°$. Abbiamo il modulo (|A|=|B|=|C|), abbiamo entrambi gli angoli dei vettori, possiamo dunque calcolarci le componenti: $B_x=|B|cos116.6°=-2$ e $B_y=|B|sin116.6°=4$; $C_x=|C|cos-63.4°=2$ e $C_y=|C|sin-63.4°=-4$.
I tre vettori sono A(4;2), B(-2;4), C(2;-4).
Intanto mi viene spontaneo un "Grazie mille" per la disponibilità e per l'aiuto, e non è nulla di retorico.
Il bello è che sono due lezioni che la prof spiega (per lei far leggere sul libro equivale a spiegare) come una matta...
Poi, giustamente, può farlo con tranquillità vista la percentuale di persone che hanno capito gli esercizi di fisica ( 0 su 25!)
Comunque credo proprio che domani ci faremo sentire, perchè o quando spiega i vettori li spiega davvero, oppure non so dove andremo a finire... Se poi i vettori, come credo, sono concetti fisici basilari, siamo a cavallo!
Per quanto riguarda il tuo ultimo post, è ineccepibile. Davvero potresti fare l'insegnante!
Visto che ti trovo però ne approfitto, e ti chiedo come fare a calcolare lo spazio percorso da un ciclista in un'ora su una pista circolare, sapendo che la sua velocità angolare è di 0,1 rad/s e che la pista è lunga 600 m. Anche in questo caso non c'è il risultato sul testo, ma io sono arrivato a 34,4 km (calcolatrice alla mano).
Ci sono arrivato, pur calcolando in modo serio, "a intuito" (non so se sono chiaro) perchè non saprei dire cosa mi ha condotto a questo risultato. Ci sono arrivato in modo logico, non matematico. A me però sembra giusto. Che mi dici?
Il bello è che sono due lezioni che la prof spiega (per lei far leggere sul libro equivale a spiegare) come una matta...
Poi, giustamente, può farlo con tranquillità vista la percentuale di persone che hanno capito gli esercizi di fisica ( 0 su 25!)
Comunque credo proprio che domani ci faremo sentire, perchè o quando spiega i vettori li spiega davvero, oppure non so dove andremo a finire... Se poi i vettori, come credo, sono concetti fisici basilari, siamo a cavallo!
Per quanto riguarda il tuo ultimo post, è ineccepibile. Davvero potresti fare l'insegnante!
Visto che ti trovo però ne approfitto, e ti chiedo come fare a calcolare lo spazio percorso da un ciclista in un'ora su una pista circolare, sapendo che la sua velocità angolare è di 0,1 rad/s e che la pista è lunga 600 m. Anche in questo caso non c'è il risultato sul testo, ma io sono arrivato a 34,4 km (calcolatrice alla mano).
Ci sono arrivato, pur calcolando in modo serio, "a intuito" (non so se sono chiaro) perchè non saprei dire cosa mi ha condotto a questo risultato. Ci sono arrivato in modo logico, non matematico. A me però sembra giusto. Che mi dici?
"TR0COMI":
Intanto mi viene spontaneo un "Grazie mille" per la disponibilità e per l'aiuto, e non è nulla di retorico.
Il bello è che sono due lezioni che la prof spiega (per lei far leggere sul libro equivale a spiegare) come una matta...
Poi, giustamente, può farlo con tranquillità vista la percentuale di persone che hanno capito gli esercizi di fisica ( 0 su 25!)
Comunque credo proprio che domani ci faremo sentire, perchè o quando spiega i vettori li spiega davvero, oppure non so dove andremo a finire... Se poi i vettori, come credo, sono concetti fisici basilari, siamo a cavallo!
Per quanto riguarda il tuo ultimo post, è ineccepibile. Davvero potresti fare l'insegnante!
Visto che ti trovo però ne approfitto, e ti chiedo come fare a calcolare lo spazio percorso da un ciclista in un'ora su una pista circolare, sapendo che la sua velocità angolare è di 0,1 rad/s e che la pista è lunga 600 m. Anche in questo caso non c'è il risultato sul testo, ma io sono arrivato a 34,4 km (calcolatrice alla mano).
Ci sono arrivato, pur calcolando in modo serio, "a intuito" (non so se sono chiaro) perchè non saprei dire cosa mi ha condotto a questo risultato. Ci sono arrivato in modo logico, non matematico. A me però sembra giusto. Che mi dici?
Purtroppo di professori impreparati e' pieno il mondo.
Tu scrivi qui una mano te la diamo noi, l'importante e' il forum non venga usato per avere la risposta all'esercizio specifico, ma come punto per ragionare.
ciclista:
La pista circolare e' lunga 600m. Il che significa che il raggio e' calcolabile (calcolalo tu). Noto il raggio (chiamiamolo R), i radianti percorsi dal cilcista in un ora e' dato da $0.1 (rad)/sec * 3600 sec $ cioe' 360 radianti.
Risulta che lo spazio e' dato da $360*R$ con le opportune unita' di misura.
non ho fatto i calcoli, fammi sapere se il tuo risultato e' giusto.
Non mollare, una professoressa cretina deve spingerti a diventare meglio di lei!
"TR0COMI":
Intanto mi viene spontaneo un "Grazie mille" per la disponibilità e per l'aiuto, e non è nulla di retorico.
Il bello è che sono due lezioni che la prof spiega (per lei far leggere sul libro equivale a spiegare) come una matta...
Poi, giustamente, può farlo con tranquillità vista la percentuale di persone che hanno capito gli esercizi di fisica ( 0 su 25!)
Comunque credo proprio che domani ci faremo sentire, perchè o quando spiega i vettori li spiega davvero, oppure non so dove andremo a finire... Se poi i vettori, come credo, sono concetti fisici basilari, siamo a cavallo!
Per quanto riguarda il tuo ultimo post, è ineccepibile. Davvero potresti fare l'insegnante!
Visto che ti trovo però ne approfitto, e ti chiedo come fare a calcolare lo spazio percorso da un ciclista in un'ora su una pista circolare, sapendo che la sua velocità angolare è di 0,1 rad/s e che la pista è lunga 600 m. Anche in questo caso non c'è il risultato sul testo, ma io sono arrivato a 34,4 km (calcolatrice alla mano).
Ci sono arrivato, pur calcolando in modo serio, "a intuito" (non so se sono chiaro) perchè non saprei dire cosa mi ha condotto a questo risultato. Ci sono arrivato in modo logico, non matematico. A me però sembra giusto. Che mi dici?
Purtroppo di professori impreparati e' pieno il mondo.
Tu scrivi qui una mano te la diamo noi, l'importante e' il forum non venga usato per avere la risposta all'esercizio specifico, ma come punto per ragionare.
ciclista:
La pista circolare e' lunga 600m. Il che significa che il raggio e' calcolabile (calcolalo tu). Noto il raggio (chiamiamolo R), i radianti percorsi dal cilcista in un ora e' dato da $0.1 rad/sec * 3600 sec $ cioe' 360 radianti.
Risulta che lo spazio e' dato da $360*R$ con le opportune unita' di misura.
non ho fatto i calcoli, fammi sapere se il tuo risultato e' giusto.
Non mollare, una professoressa cretina deve spingerti a diventare meglio di lei!
Il primo passaggio di tallyfolly è obbligatorio, la sua risoluzione è la più immediata, poi potevi comunque procedere in tanti modi (io ho impostato la proporzione $600m:2pirad=x:360rad$, oppure, ricavato il raggio avresti potuto ottenere la velocità in $m/s$ da $v=omega*R$ e da li con $s=v*T$ saresti arrivato alla soluzione). Anche a me risultano 34,4km, ora sono curioso di sapere come l'hai risolta tu
Incredibile! Oggi la prof non è neanche venuta a scuola! ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Non che negli ultimi tempi la sua presenza sia così utile...
Tra l'altro, non ho capito se è proprio cretina lei (citando tallyfolly) oppure se manca di allenamento mentale/competenza.
E devo precisare che non lo penserei se in più occasioni non fosse riuscita (sia in matematica che in fisica) a risolvere esercizi che io definisco "banalissimi". E se sono così elementari per me, studente del terzo anno (bravo ma pur sempre allievo), per un' insegnante non dovrebbero essere barzellette?
Per inciso, si parlava di disequazioni fratte di secondo grado in matematica, di moto rettilineo uniforme in fisica.
Per quanto riguarda l'esercizio, devo dire, cari amici, che senza accorgermene avevo impostato proprio una proporzione!
Avevo infatti operato in questo modo:
$(360*600)/(2pi)$ che poi è proprio la logica conseguenza della proporzione impostata da phaphe. Il risultato veniva ovviamente in metri, e io l'ho convertito in chilometri.
Ma d'altronde, cosa pretendete a mezzanotte passata, dopo tre ore di allenamento di basket il pomeriggio (con relativo match)?
Posterò comunque eventuali futuri dubbi, per cercare quantomeno di schiarirmi un po' le idee su argomenti di tal genere.
Non che negli ultimi tempi la sua presenza sia così utile...
Tra l'altro, non ho capito se è proprio cretina lei (citando tallyfolly) oppure se manca di allenamento mentale/competenza.
E devo precisare che non lo penserei se in più occasioni non fosse riuscita (sia in matematica che in fisica) a risolvere esercizi che io definisco "banalissimi". E se sono così elementari per me, studente del terzo anno (bravo ma pur sempre allievo), per un' insegnante non dovrebbero essere barzellette?
Per inciso, si parlava di disequazioni fratte di secondo grado in matematica, di moto rettilineo uniforme in fisica.
Per quanto riguarda l'esercizio, devo dire, cari amici, che senza accorgermene avevo impostato proprio una proporzione!
Avevo infatti operato in questo modo:
$(360*600)/(2pi)$ che poi è proprio la logica conseguenza della proporzione impostata da phaphe. Il risultato veniva ovviamente in metri, e io l'ho convertito in chilometri.
Ma d'altronde, cosa pretendete a mezzanotte passata, dopo tre ore di allenamento di basket il pomeriggio (con relativo match)?
Posterò comunque eventuali futuri dubbi, per cercare quantomeno di schiarirmi un po' le idee su argomenti di tal genere.
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