Analisi vettoriale della velocità in sistema non inerziale
Ciao a tutti apro questo post per chiedervi se questi ragionamenti da me fatti sono corretti (è incredibile ma non trovo da nessuna parte qualcosa su questo argomento).
Allora la situazione è questa:
-supponiamo di avere una di quelle giostre che si trovano ai parchetti che possono girare intorno a un asse centrale;
-non consideriamo la forza di gravità che renderebbe il moto tridimensionale;
-sopra la giostra ci sono due bambini: $A$ con la palla in mano nel centro della giostra,$B$ che riceve la palla all'estremità;
-supponiamo che la giostra abbia velocità angolare $vec omega = vec omega_0$ costante e ruoti in senso antiorario;
-consideriamo un sistema $S$ inerziale e un sitema $S'$ solidale con la giostra;
Il mio scopo è stabilire in prima approsimazione la traiettoria della palla nel caso il bambino $A$ la lanci di fronte a sè con velocità $vec v= vec v_0$ costante.
Situazione iniziale:
Dal momento che quando viene lanciata la palla con velocità $vec v$ di fronte a sè, questa si trova nel centro di rotazione della giostra non ha alcuna componente tangenziale: infatti $vec v_t = vec omega ^^ vec r$ e all'inizio $vec r= vec 0$.
Quindi un osservatore in un sistema inerziale $S$ vedrà, per tutto il moto (che noi consideriamo fino a quando la palla non supera i bordi della giostra), la palla avere un'unica velocità identica a quella di lancio $vec v_0$: il moto è rettilineo uniforme.
Traiettoria rispetto al sistema $S$:
Per il bambino $A$ la situazione è molto diversa:
Infatti istante per istante vale la legge di trasformazione $vec v(t) = vec v'(t) + vec v_t$ e dal momento che non c'è traslazione $vec v_t = vec omega ^^ vec r(t)$.
$vec v(t)$ la conosciamo: è la velocità rispetto al sistema inerziale $S$ e quindi ad ogni istante $vec v'(t) = vec v(t) - vec omega ^^ vec r(t)$.
$vec omega$ è costante per ipotesi: non è costante invece $vec r(t)$ che dipende dalla posizione in cui punto per punto si trova la palla sulla circonferenza.
Naturalmente gli istanti sono infinitesimi io ne ho presi quattro calcolando le $vec v'(t_i)$ corrispettive per ogni istante facendo la somma vettoriale $vec v(t) + (- vec omega ^^ vec r(t_i))$:
Il moto rispetto al sistema $S'$ rotante non è rettilineo uniforme : la velocità non è costante e questo è dovuto alla forza APPARENTE di Coriolis. Apparente appunto perchè per un osservatore in un sistema inerziale $S$ questa è inesistente!
Quindi disegnando entrambe le traiettorie sullo stesso "disegno" ottengo:
Dove quella rossa è la traiettoria percepita in $S'$ e quella nera è la traiettoria osservata da un osservatore in $S$.
Che dite, può andare?
Allora la situazione è questa:
-supponiamo di avere una di quelle giostre che si trovano ai parchetti che possono girare intorno a un asse centrale;
-non consideriamo la forza di gravità che renderebbe il moto tridimensionale;
-sopra la giostra ci sono due bambini: $A$ con la palla in mano nel centro della giostra,$B$ che riceve la palla all'estremità;
-supponiamo che la giostra abbia velocità angolare $vec omega = vec omega_0$ costante e ruoti in senso antiorario;
-consideriamo un sistema $S$ inerziale e un sitema $S'$ solidale con la giostra;
Il mio scopo è stabilire in prima approsimazione la traiettoria della palla nel caso il bambino $A$ la lanci di fronte a sè con velocità $vec v= vec v_0$ costante.
Situazione iniziale:
Dal momento che quando viene lanciata la palla con velocità $vec v$ di fronte a sè, questa si trova nel centro di rotazione della giostra non ha alcuna componente tangenziale: infatti $vec v_t = vec omega ^^ vec r$ e all'inizio $vec r= vec 0$.
Quindi un osservatore in un sistema inerziale $S$ vedrà, per tutto il moto (che noi consideriamo fino a quando la palla non supera i bordi della giostra), la palla avere un'unica velocità identica a quella di lancio $vec v_0$: il moto è rettilineo uniforme.
Traiettoria rispetto al sistema $S$:
Per il bambino $A$ la situazione è molto diversa:
Infatti istante per istante vale la legge di trasformazione $vec v(t) = vec v'(t) + vec v_t$ e dal momento che non c'è traslazione $vec v_t = vec omega ^^ vec r(t)$.
$vec v(t)$ la conosciamo: è la velocità rispetto al sistema inerziale $S$ e quindi ad ogni istante $vec v'(t) = vec v(t) - vec omega ^^ vec r(t)$.
$vec omega$ è costante per ipotesi: non è costante invece $vec r(t)$ che dipende dalla posizione in cui punto per punto si trova la palla sulla circonferenza.
Naturalmente gli istanti sono infinitesimi io ne ho presi quattro calcolando le $vec v'(t_i)$ corrispettive per ogni istante facendo la somma vettoriale $vec v(t) + (- vec omega ^^ vec r(t_i))$:
Il moto rispetto al sistema $S'$ rotante non è rettilineo uniforme : la velocità non è costante e questo è dovuto alla forza APPARENTE di Coriolis. Apparente appunto perchè per un osservatore in un sistema inerziale $S$ questa è inesistente!
Quindi disegnando entrambe le traiettorie sullo stesso "disegno" ottengo:
Dove quella rossa è la traiettoria percepita in $S'$ e quella nera è la traiettoria osservata da un osservatore in $S$.
Che dite, può andare?
Risposte
senza addentrarmi nei calcoli, direi che è il contrario di quello che dici, se il sistema $S'$ è solidale alla giostra significa che ruota insieme a tutto il sistema composto dalla giostra e dai due punti (bambini), quindi per un osservatore $S'$ che si trova sulla giostra, non c'è nessun moto apparente ma vede la palla lanciata dal bambino arrivare in moto rettilineo verso l'altro.
L'osservatore $S$ esterno alla giostra vedrà la palla partire dal centro e raggiungere il bambino $b$ che si trova sull'estremità della circonferenza, e che quindi si muove con una velocità angolare, con una traiettoria a spirale con direzione di rotazione uguale a quella della giostra, e lo spiegherà con una forza apparente tangenziale alla rotazione.
I giri che farà la spirale saranno dipendenti dalla velocità del lancio del bambino in $a$, se la velocità è infinitamente alta $S$ percepirà una traiettoria quasi rettilinea, se la velocità fosse infinitamente bassa, $S$ percepirebbe una traiettoria a spirale molto lunga nel tempo.
almeno così credo io
L'osservatore $S$ esterno alla giostra vedrà la palla partire dal centro e raggiungere il bambino $b$ che si trova sull'estremità della circonferenza, e che quindi si muove con una velocità angolare, con una traiettoria a spirale con direzione di rotazione uguale a quella della giostra, e lo spiegherà con una forza apparente tangenziale alla rotazione.
I giri che farà la spirale saranno dipendenti dalla velocità del lancio del bambino in $a$, se la velocità è infinitamente alta $S$ percepirà una traiettoria quasi rettilinea, se la velocità fosse infinitamente bassa, $S$ percepirebbe una traiettoria a spirale molto lunga nel tempo.
almeno così credo io
Ciao,innanzi tutto grazie per la risposta!
Io comunque mi trovo in disaccordo per i seguenti motivi:
- la palla, se lanciata radialmente da $A$, non può raggiugere il bambino $B$ per il semplice fatto che se $A$ si trova al centro
di rotazione il modulo della sua velocità tangenziale è $ ||vec v_(tan)|| = omega*R = omega*0 =0$ e questo si riflette
chiaramente sulla velocità della palla che neppure avrà componente tangenziale.
-l'accelerazione fittizia di Coriolis serve appunto per un osservatore in un sistema con rotazione per dare una giustificazione ad alcuni fenomeni (es. deviazione dei gravi verso est) che chiaramente se egli fosse in un sistema inerziale non accadrebbero, quindi non il contrario.
Non sei d'accordo?
Io comunque mi trovo in disaccordo per i seguenti motivi:
- la palla, se lanciata radialmente da $A$, non può raggiugere il bambino $B$ per il semplice fatto che se $A$ si trova al centro
di rotazione il modulo della sua velocità tangenziale è $ ||vec v_(tan)|| = omega*R = omega*0 =0$ e questo si riflette
chiaramente sulla velocità della palla che neppure avrà componente tangenziale.
-l'accelerazione fittizia di Coriolis serve appunto per un osservatore in un sistema con rotazione per dare una giustificazione ad alcuni fenomeni (es. deviazione dei gravi verso est) che chiaramente se egli fosse in un sistema inerziale non accadrebbero, quindi non il contrario.
Non sei d'accordo?
si in effetti non avevo pensato che la palla lanciata dal bambino in $A$ non subisce attrito da parte della giostra rotante, quindi sono d'accordo con te, il bambino $A$ lancia la palla dal centro, ma nel momento che raggiunge la posizione iniziale del bambino $B$ questo si sarà spostato, nel verso di rotazione della giostra, di uno spazio dipendente dalla velocità di rotazione della giostra.
quindi per far arrivare la palla al bambino $B$, il bambino in $A$ dovrà calcolare tramite la velocità di rotazione e la velocita del lancio e la distanza tra i due bambini, quale sarà la posizione di $B$ e quindi lanciare la palla nella direzione della posizione futura di $B$ ... povero bambino, non riceverà mai la palla almeno che il suo compagno non abbia gia sostenuto fisica1 ahah
quindi per far arrivare la palla al bambino $B$, il bambino in $A$ dovrà calcolare tramite la velocità di rotazione e la velocita del lancio e la distanza tra i due bambini, quale sarà la posizione di $B$ e quindi lanciare la palla nella direzione della posizione futura di $B$ ... povero bambino, non riceverà mai la palla almeno che il suo compagno non abbia gia sostenuto fisica1 ahah
Il ragionamento di lordb è corretto , il disegnino un pò meno...
Senza formule ....è un pò difficile, comunque ho trovato un esempio che calza a pennello , nel testo di Goldstein: "MEccanica Classica" .
Supponiamo che ci sia una nave da guerra al polo Nord , che chiamiamo A , la quale deve sparare una cannonata verso un bersaglio $B_0$ fermo ad una certa distanza , supponiamo 1000 m . Trascuriamo la gravità , e ogni resistenza dell'aria . Trascuriamo anche la forza centrifuga , che a quelle distanze è piccola .
Esaminiamo le cose da due punti di vista :
1) un osservatore inerziale $O$ , esterno alla Terra , vede la Terra ruotare da Ovest verso Est . Egli dice : quando A spara , il proiettile che esce dal cannone con velocità assoluta $V_a$ non è soggetto a forze durante il volo , quindi nel mio riferimento inerziale viaggia in linea retta . ( ripeto che trascuro $g$ ) . Nel tempo di volo del proiettile la rotazione terrestre fa ruotare la nave sotto il proiettile stesso , e il bersaglio si porterà in un punto $B$ diverso da $B_0$ . Perciò il cannone deve essere puntato " in avanti" rispetto alla posizione di $B_0$ , se si vuole che proiettile e bersaglio arrivino insieme ....all'appuntamento .
2) un osservatore non inerziale $O'$ , ruotante con la Terra , vede $A$ e $B_0$ immobili rispetto a lui . Il proiettile è sparato con velocità relativa $V_r$ , che nell'istante iniziale è uguale alla $V_a$ . Quindi la direzione di sparo è puntata in avanti rispetto al bersaglio, anche per $O'$ . Ma la forza di Coriolis devia il proiettile verso destra ( linea rossa del disegno allegato) , quindi in definitiva il proiettile colpirà il bersaglio seguendo la traiettoria incurvata . Ne frattempo , tutto il sistema è ruotato , compreso $O'$ , e il punto $B_0$ si è portato in B .
E' nel riferimento relativo rotante , che si avvertono le forze inerziali ( dette anche "apparenti" , il che secondo me significa che "appaiono" nel riferimento non inerziale , non che " non esistono" ! Comunque è un brutto attributo) : io avverto la forza centrifuga se sto in un' auto e entro in una curva della strada . Oppure se vado nel "rotor" delle giostre , e mi attacco alla parete che ruota , e mi tolgono il pavimento di sotto ....
E' chiaro che anche un passante sulla strada vede che entro in curva , o uno che guarda le giostre vede che rimango attaccato al rotor .... ma chi sente le forze inerziali sono io , non lui .
Se la palla del bambino fosse poggiata sulla piattaforma , e anzichè lanciata con le mani fosse calciata coi piedi , e se fosse rivestita di inchiostro rosso , lascerebbe la traccia rossa sulla piattaforma .
La forza di Coriolis , pur essendo "apparente" , ha degli effetti reali : ai mai provato a camminare su una giostra di bambini in movimento ? Si casca.
Comunque , tutto si calcola , anche l'equazione della traiettoria , che è qualitativamente corretta .
Ecco il disegno . Ciao .
Senza formule ....è un pò difficile, comunque ho trovato un esempio che calza a pennello , nel testo di Goldstein: "MEccanica Classica" .
Supponiamo che ci sia una nave da guerra al polo Nord , che chiamiamo A , la quale deve sparare una cannonata verso un bersaglio $B_0$ fermo ad una certa distanza , supponiamo 1000 m . Trascuriamo la gravità , e ogni resistenza dell'aria . Trascuriamo anche la forza centrifuga , che a quelle distanze è piccola .
Esaminiamo le cose da due punti di vista :
1) un osservatore inerziale $O$ , esterno alla Terra , vede la Terra ruotare da Ovest verso Est . Egli dice : quando A spara , il proiettile che esce dal cannone con velocità assoluta $V_a$ non è soggetto a forze durante il volo , quindi nel mio riferimento inerziale viaggia in linea retta . ( ripeto che trascuro $g$ ) . Nel tempo di volo del proiettile la rotazione terrestre fa ruotare la nave sotto il proiettile stesso , e il bersaglio si porterà in un punto $B$ diverso da $B_0$ . Perciò il cannone deve essere puntato " in avanti" rispetto alla posizione di $B_0$ , se si vuole che proiettile e bersaglio arrivino insieme ....all'appuntamento .
2) un osservatore non inerziale $O'$ , ruotante con la Terra , vede $A$ e $B_0$ immobili rispetto a lui . Il proiettile è sparato con velocità relativa $V_r$ , che nell'istante iniziale è uguale alla $V_a$ . Quindi la direzione di sparo è puntata in avanti rispetto al bersaglio, anche per $O'$ . Ma la forza di Coriolis devia il proiettile verso destra ( linea rossa del disegno allegato) , quindi in definitiva il proiettile colpirà il bersaglio seguendo la traiettoria incurvata . Ne frattempo , tutto il sistema è ruotato , compreso $O'$ , e il punto $B_0$ si è portato in B .
E' nel riferimento relativo rotante , che si avvertono le forze inerziali ( dette anche "apparenti" , il che secondo me significa che "appaiono" nel riferimento non inerziale , non che " non esistono" ! Comunque è un brutto attributo) : io avverto la forza centrifuga se sto in un' auto e entro in una curva della strada . Oppure se vado nel "rotor" delle giostre , e mi attacco alla parete che ruota , e mi tolgono il pavimento di sotto ....
E' chiaro che anche un passante sulla strada vede che entro in curva , o uno che guarda le giostre vede che rimango attaccato al rotor .... ma chi sente le forze inerziali sono io , non lui .
Se la palla del bambino fosse poggiata sulla piattaforma , e anzichè lanciata con le mani fosse calciata coi piedi , e se fosse rivestita di inchiostro rosso , lascerebbe la traccia rossa sulla piattaforma .
La forza di Coriolis , pur essendo "apparente" , ha degli effetti reali : ai mai provato a camminare su una giostra di bambini in movimento ? Si casca.
Comunque , tutto si calcola , anche l'equazione della traiettoria , che è qualitativamente corretta .
Ecco il disegno . Ciao .
lex mi fa piacere che tu sia d'accordo con me 
navigatore ti rigrazio tantissimo, in effetti hai ragione mi sono espresso male dicendo che le forze apparenti fossero "inesistenti" rispetto ad un osservatore in un sistema di riferimento inerziale.
Mi potresti dire, per piacere, come mai i miei disegni non sono corretti?
navigatore ti rigrazio tantissimo, in effetti hai ragione mi sono espresso male dicendo che le forze apparenti fossero "inesistenti" rispetto ad un osservatore in un sistema di riferimento inerziale.
Mi potresti dire, per piacere, come mai i miei disegni non sono corretti?
lordb,
E' un pò pasticciato così , non dire che ti sei espresso male : le forze inerziali si "sentono" , cioè "compaiono" , nel riferimento "non inerziale" , proprio a causa della "non inerzialità" del sistema . Ti ho fatto l'esempio di quando vado in auto ed entro in una curva della strada : sento la forza centrifuga perchè il mio riferimento sta curvando , non è più in moto rettilineo uniforme . Un osservatore esterno , un passante , nota che sto curvando , e attribuisce questo fatto alla "accelerazione centripeta" che fa cambiare la traiettoria da rettilinea a curva . Ma l'ossevatore esterno , non "avverte" la forza centrifuga , la avverto io .
Per quanto riguarda i disegni , guarda l'ultimo disegno tuo , e l'ultimo mio : siccome all'inizio del moto del proiettile $\vecV_a = \vecV_r $ , in quanto la velocità di trascinamento iniziale è nulla , la traiettoria rettilinea , vista dall'osservatore inerziale $O$ , deve essere tangente , in $A$ , alla traiettoria curva , rossa , vista dall'osservatore rotante $O'$ . Così io l'ho disegnata . Se sovrapponi i miei due disegnini , lo vedi meglio , forse .
Come l'hai disegnata tu , non c'è questa tangenza iniziale: tutto qua .
Il fenomeno fisico deve dare gli stessi risultati , ovviamente , pur visto da due osservatori diversi .
.... in effetti hai ragione mi sono espresso male dicendo che le forze apparenti fossero "inesistenti" rispetto ad un osservatore in un sistema di riferimento inerziale
E' un pò pasticciato così , non dire che ti sei espresso male : le forze inerziali si "sentono" , cioè "compaiono" , nel riferimento "non inerziale" , proprio a causa della "non inerzialità" del sistema . Ti ho fatto l'esempio di quando vado in auto ed entro in una curva della strada : sento la forza centrifuga perchè il mio riferimento sta curvando , non è più in moto rettilineo uniforme . Un osservatore esterno , un passante , nota che sto curvando , e attribuisce questo fatto alla "accelerazione centripeta" che fa cambiare la traiettoria da rettilinea a curva . Ma l'ossevatore esterno , non "avverte" la forza centrifuga , la avverto io .
Per quanto riguarda i disegni , guarda l'ultimo disegno tuo , e l'ultimo mio : siccome all'inizio del moto del proiettile $\vecV_a = \vecV_r $ , in quanto la velocità di trascinamento iniziale è nulla , la traiettoria rettilinea , vista dall'osservatore inerziale $O$ , deve essere tangente , in $A$ , alla traiettoria curva , rossa , vista dall'osservatore rotante $O'$ . Così io l'ho disegnata . Se sovrapponi i miei due disegnini , lo vedi meglio , forse .
Come l'hai disegnata tu , non c'è questa tangenza iniziale: tutto qua .
Il fenomeno fisico deve dare gli stessi risultati , ovviamente , pur visto da due osservatori diversi .
Si ho capito cosa intendi, la tangenza della traiettoria all'istante iniziale si vede quando ho costruito i vettori velocità $vec v'(t_i)$ nello schema 3.
Alla fine però poi ho ruotato la traiettoria rossa in modo da far vedere che le posizioni finali effettivamente coincidessero.
Alla fine però poi ho ruotato la traiettoria rossa in modo da far vedere che le posizioni finali effettivamente coincidessero.
PErfetto, si può vedere anche così ! L'importante è chiarirsi . Ciao
Ok grazie mille, sei stato utilissimo
Ciao
Ciao
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