Analisi qualitativa
Ciao a tutti, sto studiando l'analisi qualitativa dei moti unidimensionali, e non mi è chiara una cosa...
Generalmente, negli esercizi che dà il prof, viene dato un potenziale $U(x)$ e bisogna disegnare quindi il potenziale e il ritratto in fase $x,dotx$.
Poi vengono fatte richieste del tipo "determinare per quali valori iniziali $(x_0,v_0)$ il moto è di un certo tipo (periodico, illimitato, ecc)", e richieste del tipo "stimare il periodo dell'orbita con dati iniziali fissati", e fin qua so fare tutto basandomi sul grafico delle curve $(x(t),dotx(t))$.
Il problema è l'ultima tipologia di esercizio, in cui si chiede di effettuare dei calcoli su $x(t)$ (o su $dotx(t)$), per esempio trovare $lim_(t->+oo)x(t)$, oppure di dire per quali $t$ risulta $x(t)>k$, ecc. Ora, io non so come determinare $x(t)$. In teoria, partendo dalla conservazione dell'energia $1/2mdotx^2+U(x)=E$ con $E$ fissato dai dati iniziali, calcolerei $x(t)$ risolvendo l'equazione differenziale $int_(x(0))^(x(t)) +-(dx)/sqrt(2/m(E-U(x))) = int_0^t dt$
Ma, apparte per qualche caso fortuito per qualche $U(x)$ particolarmente carino, non riesco in nessun modo a calcolare quell'integrale.
Mi chiedevo quindi, c'è un modo per avere indicazioni anche implicite su $x(t)$ per poter rispondere all'esercizio?
Esempio di esercizio:
Sia $U(x):=x/(1+x^2)$
4) Si consideri il generico moto $x(t)$ con le condizioni iniziali $x(0)=x_0$ e $dotx(0)=v_0$, con $v_0$ tale che l'insieme ${x(t) : t>=0}$ sia illimitato $AA x_0 in RR$. Calcolare il valore di $lim_(t-+oo)dotx(t)$
Come posso procedere?
Grazie!
Generalmente, negli esercizi che dà il prof, viene dato un potenziale $U(x)$ e bisogna disegnare quindi il potenziale e il ritratto in fase $x,dotx$.
Poi vengono fatte richieste del tipo "determinare per quali valori iniziali $(x_0,v_0)$ il moto è di un certo tipo (periodico, illimitato, ecc)", e richieste del tipo "stimare il periodo dell'orbita con dati iniziali fissati", e fin qua so fare tutto basandomi sul grafico delle curve $(x(t),dotx(t))$.
Il problema è l'ultima tipologia di esercizio, in cui si chiede di effettuare dei calcoli su $x(t)$ (o su $dotx(t)$), per esempio trovare $lim_(t->+oo)x(t)$, oppure di dire per quali $t$ risulta $x(t)>k$, ecc. Ora, io non so come determinare $x(t)$. In teoria, partendo dalla conservazione dell'energia $1/2mdotx^2+U(x)=E$ con $E$ fissato dai dati iniziali, calcolerei $x(t)$ risolvendo l'equazione differenziale $int_(x(0))^(x(t)) +-(dx)/sqrt(2/m(E-U(x))) = int_0^t dt$
Ma, apparte per qualche caso fortuito per qualche $U(x)$ particolarmente carino, non riesco in nessun modo a calcolare quell'integrale.
Mi chiedevo quindi, c'è un modo per avere indicazioni anche implicite su $x(t)$ per poter rispondere all'esercizio?
Esempio di esercizio:
Sia $U(x):=x/(1+x^2)$
4) Si consideri il generico moto $x(t)$ con le condizioni iniziali $x(0)=x_0$ e $dotx(0)=v_0$, con $v_0$ tale che l'insieme ${x(t) : t>=0}$ sia illimitato $AA x_0 in RR$. Calcolare il valore di $lim_(t-+oo)dotx(t)$
Come posso procedere?
Grazie!
Risposte
Non so se ho capito (questo punto di vista mi è poco familiare), ma provo a ragionare.
La funzione potenziale nell'esercizio che proponi direi che è una funzione dispari con massimo relativo nel punto x=1 di valore 1/2 e minimo relativo nel punto x=-1 di valore -1/2.
Allora tutto dipende da x0 e v0, mi sembra che si debba fare una discussione su vari casi. Se ad esempoi x0 fosse >1 e v0 qualsiasi ma positiva, si vede che per tempo tendente a infinito il punto si muoverebbe verso x tendente a +infinito, perché la velocità è sempre diretta nel verso del potenziale decrescente. Allora la v limite sarebbe $v_lim=\sqrt(2/mx_0/(1+x_0^2)+v_o^2)$.
Viceversa se v0 fosse 0 e x0<0, il punto rimarrebbe intrappolato e oscillerebbe indefinitamente attorno al punto di equilibrio stabile x=-1.
Ma non so se ho colto...
La funzione potenziale nell'esercizio che proponi direi che è una funzione dispari con massimo relativo nel punto x=1 di valore 1/2 e minimo relativo nel punto x=-1 di valore -1/2.
Allora tutto dipende da x0 e v0, mi sembra che si debba fare una discussione su vari casi. Se ad esempoi x0 fosse >1 e v0 qualsiasi ma positiva, si vede che per tempo tendente a infinito il punto si muoverebbe verso x tendente a +infinito, perché la velocità è sempre diretta nel verso del potenziale decrescente. Allora la v limite sarebbe $v_lim=\sqrt(2/mx_0/(1+x_0^2)+v_o^2)$.
Viceversa se v0 fosse 0 e x0<0, il punto rimarrebbe intrappolato e oscillerebbe indefinitamente attorno al punto di equilibrio stabile x=-1.
Ma non so se ho colto...
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