Analisi dimensionale di una soluzione.

[igol10]

Vorrei capire come è possibile fare un'analisi dimensionale di una possibile soluzione in un esercizio. La cosa che mi preme sapere è come fare questa analisi velocemente, con pochi calcoli. Ora vi posto un esempio:

$ t = root(4)((mu_s^2(r + I/(mr))^4 - R^2(r+I/(mr))^2) / (g^2R^2)) $

Le dimensioni di ciascun elemento sono:
$ mu_s $ è un coefficiente di attrito statico e come tale è adimensionato
$ t = [T] $ la t è un tempo
$ r = R = [L] $ r e R sono delle lunghezze
$ I = [ ML^2] $ I (momento di inerzia, quindi kg * m^2)
$ m = [M] $ m è una massa
$ g = [LT^-2] $ g è un' accelerazione

Quindi, l'analisi dimensionale consiste nel fare: (non metto le parentesi quadre)
$ T = root(4)(((L + [ML^2]/[ML])^4 - L^2(L + [ML^2]/[ML])^2) / (L^2(LT^-2)^2) $
$ T = root(4)(((L + L)^4 - L^2(L + L)^2) / (L^4T^-4)) $
$ T = root(4)((16L^4 - 4L^4) / (L^4T^-4)) = root(4)((12) / (T^-4)) = root(4)(12)T $

Quella radice quarta di 12 è ininfluente? Cioè questa analisi dimensionale mi conferma la correttezza della soluzione (almeno dal punto di vista dimensionale appunto)? C'è un modo più veloce per fare l'analisi?

Grazie mille per l'attenzione

[professorkappa]

Si fa molto piu velocemente:

$mu$ adimensionale
Primo termine fra parentesi e' r, che sono metri. Quindi anche $I/(mr)$ devono essere metri (altrimenti non potresti sommare).
Siccome I e' $kg*m^2$ che vanno divisi per $kg*m$, siamo sicuri che e; corretto: sono metri.
Quindi il primo termine sono $m^4$.

Per il secondo termine fra parentesi, hai $R^2$ che sono $m^2$ che moltiplicato per la parentesi sono anche essi $m^4$ (altrimenti non sarebbe lecito sottrarre).

In definitiva a numeratore hai $m^4$

Sotto hai $m^2/sec^4*m^2$ che sono $m^4/sec^4$

Il rapporto ti da $m^4/(m^4/sec^4)=sec^4$

La radice quarta di questo ti da secondi.

Molto piu' difficile a scrivere che a calcolarli

[igol10]

Conciso e puntuale, grazie!