Analisi dei carichi di rottura su funi ideali.
Salve, da qualche giorno lotto disperatamente con questo problema:
Attorno a una puleggia ideale posta in $D=(1,2)$ si avvolge il cavo AB (con $A=(0,3)$ e $B=(3,4)$) e al suo asse è connesso il cavo $CD$, con C nell'origine (coordinate geometriche espresse in metri). I due cavi hanno la stessa sezione ed entrambi possono sopportare un tiro massimo di $1,5KN$ (sopra tale livello si rompono). Sull'asse della puleggia viene applicata una forza $F$.
Tracciare il diagramma polare del massimo modulo della forza esercitabile sulla puleggia in funzione dell'angolo formato da $F$ con l'asse $x$, compatibile con la configurazione di equilibrio rappresentata.
Per non fare confusione ecco una figura:
Ora il mio problema è che non capisco come tradurre in "matematichese" l'informazione che le funi si rompono oltre $1500N$. Io ho provato con qualche disequazione fatta sulle formule ottenute dall'equilibrio del corpo $D$ però non riesco a vedere la logica e di conseguenza non riesco a "tradurre" le formule per ottenere ciò che mi serve. Mi date una mano?
Voglio capire il problema quindi vi chiedo gentilmente di darmi qualche indizio.
Grazie
Attorno a una puleggia ideale posta in $D=(1,2)$ si avvolge il cavo AB (con $A=(0,3)$ e $B=(3,4)$) e al suo asse è connesso il cavo $CD$, con C nell'origine (coordinate geometriche espresse in metri). I due cavi hanno la stessa sezione ed entrambi possono sopportare un tiro massimo di $1,5KN$ (sopra tale livello si rompono). Sull'asse della puleggia viene applicata una forza $F$.
Tracciare il diagramma polare del massimo modulo della forza esercitabile sulla puleggia in funzione dell'angolo formato da $F$ con l'asse $x$, compatibile con la configurazione di equilibrio rappresentata.
Per non fare confusione ecco una figura:
Ora il mio problema è che non capisco come tradurre in "matematichese" l'informazione che le funi si rompono oltre $1500N$. Io ho provato con qualche disequazione fatta sulle formule ottenute dall'equilibrio del corpo $D$ però non riesco a vedere la logica e di conseguenza non riesco a "tradurre" le formule per ottenere ciò che mi serve. Mi date una mano?
Voglio capire il problema quindi vi chiedo gentilmente di darmi qualche indizio.
Grazie
Risposte
Chiama $T_A $ la forza che si esercita sul punto D in direzione AD quindi sulla fune AD ; analogamente $T_B $ la forza che si esercita sempre sul punto D in direzione BD e quindi sulla fune BD , analogamente avrai l'altra incognita $T_C $ .
Poichè D resta fermo scrivi le equazioni di equilibrio del punto stesso cioè la somma delle componenti orizzontali delle forze che si esercitano su D deve essere $=0$.
Idem per la somma delle componenti verticali .
Poi imponi che il momento delle forze agenti calcolato rispetto al punto C sia ancora $=0 $ .
Troverai $T_A,T_B,T_C $ in funzione di $F $ e dell'angolo $ alpha $ che $F $ forma con la direzione positiva dell'asse x .....
Poichè D resta fermo scrivi le equazioni di equilibrio del punto stesso cioè la somma delle componenti orizzontali delle forze che si esercitano su D deve essere $=0$.
Idem per la somma delle componenti verticali .
Poi imponi che il momento delle forze agenti calcolato rispetto al punto C sia ancora $=0 $ .
Troverai $T_A,T_B,T_C $ in funzione di $F $ e dell'angolo $ alpha $ che $F $ forma con la direzione positiva dell'asse x .....
Io sto eseguendo tutti i conti considerando la corda $AB$ come un modello di fune ideale, di conseguenza sto assumendo che i tiri nelle direzioni $AD$ e $BD$ sono uguali (stessa variabile nei conti).
Ora questo nella realtà so che non succede, ma ora mi chiedo: per creare un modello fisico del problema che risulti valido devo per forza usare questa impostazione? E se si perché?
Forse so già il perché però voglio qualche conferma.
Infatti in questo modo trovo che lungo l'asse $x$ la fune $AB$ non contribuisce all'equilibrio della puleggia, cosa che risulta assurda, e da queste considerazioni si capisce che si deve migliorare il modello fisico. Dicco bene?
Ora questo nella realtà so che non succede, ma ora mi chiedo: per creare un modello fisico del problema che risulti valido devo per forza usare questa impostazione? E se si perché?
Forse so già il perché però voglio qualche conferma.
Infatti in questo modo trovo che lungo l'asse $x$ la fune $AB$ non contribuisce all'equilibrio della puleggia, cosa che risulta assurda, e da queste considerazioni si capisce che si deve migliorare il modello fisico. Dicco bene?
I tiri in AD e BD non possono essere uguali perchè in D agiscono altre due forze.
Si ma questo perché stai considerando la fune non ideale o perché la fune (sia ideale che non ideale) è avvolta sulla puleggia?
"Camillo":
I tiri in AD e BD non possono essere uguali perchè in D agiscono altre due forze.
Scusa Camillo, ma la fune avvolta è unica e quindi ha lo stesso tiro, inoltre nel tuo schema risolutivo ci sono 3 incognite e 2 equazioni per cui il problema è iperstatico e quindi non risolvibile con funi ideali
A me è venuto un altro dubbio anzi una certezza di avere scritto una cavolata : non ha senso calcolare il momento delle forze rispetto al punto C e imporre che sia nullo .Sono funi e non aste rigide !!!
@ Yayoyoddu : è un esercizio relativo a che materia ? Fisica I , Statica o altro ?
@MircoFN : io avevo in mente 3 incognite e 3 equazioni solo che la terza era relativa ai momenti che, vedi sopra, non è valida.
Tu dici dunque che $T_A =T_B $ ? se così fosse ( e non può in effetti che essere così , la fune ideale trasmette inalterato lo sforzo di trazione ) avrei 2 equazioni e 2 incognite e quindi sistema determinato in quanto $F $ e il suo angolo $ alpha $ sono i parametri variabili .
Dunque..... ??
@ Yayoyoddu : è un esercizio relativo a che materia ? Fisica I , Statica o altro ?
@MircoFN : io avevo in mente 3 incognite e 3 equazioni solo che la terza era relativa ai momenti che, vedi sopra, non è valida.
Tu dici dunque che $T_A =T_B $ ? se così fosse ( e non può in effetti che essere così , la fune ideale trasmette inalterato lo sforzo di trazione ) avrei 2 equazioni e 2 incognite e quindi sistema determinato in quanto $F $ e il suo angolo $ alpha $ sono i parametri variabili .
Dunque..... ??
@ Camillo: si confermo l'errore nel ragionamento, le funi non possono ruotare quindi niente calcolo di momenti. E' un corso di tecnica delle costruzioni meccaniche.
Si già in precedenza ho impostato il problema così, ma alla fine arrivato a: ${(Tc=F (cos (theta)/cos (gamma))) , (T=F ((cos(theta)tan(gamma)-sin(theta))/(2sin(alpha)))):}$
Dove:
$theta$ è l'angolo variabile di $F$.
$alpha$ " " fisso " $T$.
$gamma$ " fisso " $Tc$.
$Tc$ tensione della fune $CD$.
$T$ Tensione della fune $AB$.
Osservazione: notare che i due angoli dei vettori direzione $DA$ e $DB$ sono uguali e che tutti gli angoli in gioco sono rispetto all'asse $x$.
Ora non posso fare le funzioni inverse, questo perchè $cos(theta)$ per alcuni valori di $theta$ risulta nullo, altrimenti la mia idea era quella di sostituire a $T$ e $Tc$ i $1500N$ ricavare la funzione $F(theta)$ per le due funi e valutare le funzioni ottenute però, ripeto, non lo posso fare ovunque, la cosa è valida solo per $0°<=theta <90°$.
Mi sembra di non aver fatto confusione mentre scrivevo, nel caso se beccate errori o dubbi chiedete chiarimenti.
Si già in precedenza ho impostato il problema così, ma alla fine arrivato a: ${(Tc=F (cos (theta)/cos (gamma))) , (T=F ((cos(theta)tan(gamma)-sin(theta))/(2sin(alpha)))):}$
Dove:
$theta$ è l'angolo variabile di $F$.
$alpha$ " " fisso " $T$.
$gamma$ " fisso " $Tc$.
$Tc$ tensione della fune $CD$.
$T$ Tensione della fune $AB$.
Osservazione: notare che i due angoli dei vettori direzione $DA$ e $DB$ sono uguali e che tutti gli angoli in gioco sono rispetto all'asse $x$.
Ora non posso fare le funzioni inverse, questo perchè $cos(theta)$ per alcuni valori di $theta$ risulta nullo, altrimenti la mia idea era quella di sostituire a $T$ e $Tc$ i $1500N$ ricavare la funzione $F(theta)$ per le due funi e valutare le funzioni ottenute però, ripeto, non lo posso fare ovunque, la cosa è valida solo per $0°<=theta <90°$.
Mi sembra di non aver fatto confusione mentre scrivevo, nel caso se beccate errori o dubbi chiedete chiarimenti.
Dimenticavo una cosa.
Nel testo non parla di fune ideale ma SOLO di puleggia ideale, ora usare $Ta=Tb=T$ per me non è la miglior cosa da fare, io ho usato questa strada perché volevo vedere se trovavo qualcosa di buono, ma le funzioni ricavate non mi "illuminano" la via per la soluzione. Forse è meglio valutarle in due variabili con qualche programma però ho la sensazioni di complicarmi la vita. Non so ditemi voi.
Nel testo non parla di fune ideale ma SOLO di puleggia ideale, ora usare $Ta=Tb=T$ per me non è la miglior cosa da fare, io ho usato questa strada perché volevo vedere se trovavo qualcosa di buono, ma le funzioni ricavate non mi "illuminano" la via per la soluzione. Forse è meglio valutarle in due variabili con qualche programma però ho la sensazioni di complicarmi la vita. Non so ditemi voi.
Dai dati che abbiamo risulta che $alpha =45 $ ; $gamma =arctan 2 $ e quindi $tan gamma =2 $ da cui $cos gamma = sqrt(5)/5 $.
Quindi :
$T_c = sqrt(5) F cos theta$.
$T = F(cos theta*tan gamma -sin theta)/(2 sin alpha ) = F (2 cos theta -sin theta)/sqrt(2) $
Quindi :
$T_c = sqrt(5) F cos theta$.
$T = F(cos theta*tan gamma -sin theta)/(2 sin alpha ) = F (2 cos theta -sin theta)/sqrt(2) $
Si, il conto torna anche a me!
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