Alzo per ottenere la gittata massima su un piano inclinato
Un ragazzo si trova sulla cima di una collina che presenta un declivio AB verso destra di inclinazione costante $ φ $ (vedi figura) , e si diverte a lanciare sassi. A quale angolo $ alpha $, rispetto all'orizzontale, deve effettuare un lancio verso destra per realizzare la massima gittata lungo il declivio?
Ho provato a ricavarmi le leggi orarie posizionando l'asse x del sistema di riferimento castesiano nella stessa direzione del declivio e ho ottenuto le seguenti equazioni:
$ vx = v0cos(φ + alpha) - gsin(φ)t $
$ vy = v0sin(φ + alpha) - gcos(φ)t $
$ x = v0cos(φ + alpha)t - 1/2gsin(φ)t^2 $
$ y = v0sin(φ + alpha)t - 1/2gcos(φ)t^2 $
A questo punto ho provato a ricavarmi la traiettoria e poi la gittata, il problema è che mi vengono dei calcoli assurdi, quindi c'è sicuramente qualcosa che non va, qualcuno può darmi qualche idea?
Ho provato a ricavarmi le leggi orarie posizionando l'asse x del sistema di riferimento castesiano nella stessa direzione del declivio e ho ottenuto le seguenti equazioni:
$ vx = v0cos(φ + alpha) - gsin(φ)t $
$ vy = v0sin(φ + alpha) - gcos(φ)t $
$ x = v0cos(φ + alpha)t - 1/2gsin(φ)t^2 $
$ y = v0sin(φ + alpha)t - 1/2gcos(φ)t^2 $
A questo punto ho provato a ricavarmi la traiettoria e poi la gittata, il problema è che mi vengono dei calcoli assurdi, quindi c'è sicuramente qualcosa che non va, qualcuno può darmi qualche idea?
Risposte
Proverei un approccio geometrico: trovi l'equazione che rappresenta la traiettoria parabolica - puoi assumere l'origine come punto di lancio, così in $y = ax^2 + bx + c$ hai $c = 0$, poi trovi altri 2 punti della traiettoria per trovare $a$ e $b$ ; tieni l'angolo come parametro - e poi trovi l'intersezione con la retta $y = -mx$
A sentimento, in aggiunta a quanto detto da mgrau, mi pare sia meglio prendere l'asse y verticale e l'asse x orizzontale, non l'asse x diretto lungo il piano inclinato e l'asse y ortogonale a quello.
Ho capito, però come trovo questi altri 2 punti della traiettoria?
"Nexus99":
Ho capito, però come trovo questi altri 2 punti della traiettoria?
Trovi la posizione in due istanti di tempo qualsiasi. Oppure puoi prendere un punto solo e usare il fatto che la derivata nell'origine è $tan alpha$
Per la cronaca, ho provato a fare i conti, un po' macchinosi, e mi risulta per l'angolo di massima gittata qualcosa come $tan 2alpha = -1/m$, se $m$ è il coefficiente angolare del pendio. Il risultato mi pare plausibile, ma prendilo con beneficio d'inventario!
Penso di aver capito, comunque il risultato indicato dal libro è $alpha = pi/4 - φ/2$
"Nexus99":
comunque il risultato indicato dal libro è $alpha = pi/4 - φ/2$
Il risultato corrisponde per $phi = 30, 45, 60$, ho l'impressione che i due risultati siano equivalenti, ma non so dimostrarlo... inoltre, il fatto che il risultato sia dato in quella forma fa pensare ad un'altra via di soluzione, magari se qualcuno la trova...
L'espressione trovata da mgrau e la soluzione fornita dall'esercizio sono perfettamente coincidenti.
La soluzione che ho trovato io (uguale a quella di mgrau) è:
$tan(2 alpha)=1/tan(varphi)$
ma
$1/tan(varphi)=tan(pi/2-varphi)$
quindi
$tan(2 alpha)=tan(pi/2-varphi)$
da cui
$2 alpha= pi/2 - varphi$
$alpha=pi/4-varphi/2$
EDIT (Aggiungo qualche dettaglio su come arrivare al risultato).
Per trovare la soluzione io ho trovato la parabola che descrive la traiettoria del proiettile e ho fatto l'intersezione con la retta che descrive il declivio ($y=-tan (varphi)* x$, origine nel punto di partenza).
Facendo quello ho trovato l'ascissa di intersezione e poi ho ho massimizzato quel valore.
I conti non sono proibitivi, bisogna solo ricordare due relazioni di trigonometria: $cos^2 (x) = (1+ cos (2x))/2$ e $2 sin(x) * cos (x)=sin(2x)$.
La soluzione che ho trovato io (uguale a quella di mgrau) è:
$tan(2 alpha)=1/tan(varphi)$
ma
$1/tan(varphi)=tan(pi/2-varphi)$
quindi
$tan(2 alpha)=tan(pi/2-varphi)$
da cui
$2 alpha= pi/2 - varphi$
$alpha=pi/4-varphi/2$
EDIT (Aggiungo qualche dettaglio su come arrivare al risultato).
Per trovare la soluzione io ho trovato la parabola che descrive la traiettoria del proiettile e ho fatto l'intersezione con la retta che descrive il declivio ($y=-tan (varphi)* x$, origine nel punto di partenza).
Facendo quello ho trovato l'ascissa di intersezione e poi ho ho massimizzato quel valore.
I conti non sono proibitivi, bisogna solo ricordare due relazioni di trigonometria: $cos^2 (x) = (1+ cos (2x))/2$ e $2 sin(x) * cos (x)=sin(2x)$.
@Faussone Bene! Però mi resta il dubbio: l'estensore del problema pensava a questa soluzione, o a un'altra, che porti direttamente agli angoli?
@mgrau
Io non riesco a vedere altre soluzioni più dirette rispetto a quella che ho descritto.
Io non riesco a vedere altre soluzioni più dirette rispetto a quella che ho descritto.
La dimostrazione è banale, l'angolo è la metà di $pi/2-phi$, in analogia al caso in cui $phi=0$. Il perché è ovvio, il problema è lo stesso.
"serendipity00":
La dimostrazione è banale, [ .....]Il perché è ovvio, il problema è lo stesso.
Sarà anche ovvio, ma magari faccelo sapere...
"serendipity00":
La dimostrazione è banale, l'angolo è la metà di $pi/2-phi$, in analogia al caso in cui $phi=0$. Il perché è ovvio, il problema è lo stesso.
Anche io leggendo la soluzione ho pensato quello, ma non mi pare un procedimento rigoroso. Oppure non ho capito cosa intendi.
No, ho sbagliato, intendevo dire che la direzione è quella della bisettrice tra la direzione verticale e la direzione di $phi$...in analogia al caso $phi=0$, in verità il perché non riesco a dimostrarl, ma c'è qualche analogia molto forte dietro secondo me.
Ovviamente intendo dimostrazione che non passi per contacci e che riesca a ricondursi a un caso analogo al caso phi=0.
Attraverso tanti contacci si ricava che l'equazione della gittata è:
$ G = ((v0^2)/g)(1/cos^2(phi))[sin(2alpha+phi) - sin(phi)] $
e quindi il risultato del problema
Soluzione complicata ma efficace
Il procedimento l'ho trovato illustrato in questo video:
soluzioni intuitive ed esaustive a questo punto non penso esistano
$ G = ((v0^2)/g)(1/cos^2(phi))[sin(2alpha+phi) - sin(phi)] $
e quindi il risultato del problema
Soluzione complicata ma efficace
Il procedimento l'ho trovato illustrato in questo video:
soluzioni intuitive ed esaustive a questo punto non penso esistano
Io non ho fatto tutti questi conti lunghi e complicati, come dicevo precedentemente.
Mi è bastato ricordare quelle due formulette di trigonometria che ho scritto (che peraltro sono tra le poche che so a memoria).
Alla fine sono pochi passaggi.
Mi è bastato ricordare quelle due formulette di trigonometria che ho scritto (che peraltro sono tra le poche che so a memoria).
Alla fine sono pochi passaggi.
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