Altri due esercizi sul elettromagnetismo.

[lishi]

Ho problemi con esercizio 1 e 3.

http://img211.imageshack.us/img211/8113/immagineqc9.jpg


1)

il $\Delta x$ e la differenza fra i due raggi delle orbite descritte dai atomi.

Però :

$K = q * V$

$v = sqrt(\frac{2*q*V}{m})$

$ r = vm/qB$

sostituisco v

$ r = \frac{sqrt(2*m*q*V)}{qB}

In mancanza di q non riesco a raggiungere un risultato numerico.

Volendo sapendo dal corso di chimica che un atomo ionizzato una volta sola equivale a un atomo neutro che ha perso un elettrone cioè con carica +e potrei risolvere esercizio, ma non sono sicuro che sia il metodo giusto.

Per esercizio 3 invece buio completo.

Unica traccia che mi viene in mente e questa:

Calcolo la B, da questo trovo il flusso per il cerchio di area R.

Derivo per t. per ottenere V.

derivo ancora una volta ottenere E. (questa volta pero per una lunghezza)

[strangolatoremancino]

Per il primo esercizio la carica è come hai pensato tu. Per il secondo mi spiace non ti so aiutare.

[antani2]

"lishi":Ho problemi con esercizio 1 e 3.

http://img211.imageshack.us/img211/8113/immagineqc9.jpg


1)

il $\Delta x$ e la differenza fra i due raggi delle orbite descritte dai atomi.

Però :

$K = q * V$

$v = sqrt(\frac{2*q*V}{m})$

$ r = vm/qB$

sostituisco v

$ r = \frac{sqrt(2*m*q*V)}{qB}

In mancanza di q non riesco a raggiungere un risultato numerico.

Volendo sapendo dal corso di chimica che un atomo ionizzato una volta sola equivale a un atomo neutro che ha perso un elettrone cioè con carica +e potrei risolvere esercizio, ma non sono sicuro che sia il metodo giusto.

Per esercizio 3 invece buio completo.

Unica traccia che mi viene in mente e questa:

Calcolo la B, da questo trovo il flusso per il cerchio di area R.

Derivo per t. per ottenere V.

derivo ancora una volta ottenere E. (questa volta pero per una lunghezza)

Non puoi derivare E con una lunghezza perchè V è dato dall'integrale di linea di E, e la derivazione puoi farla solo se la linea su cui integri corrisponde a uno degli assi coordinati, perchè allora l'integrale di linea diverrebbe integrale di Exdx o Eydy o Ezdz.


Penso che si risolva così.
La quarta equazione di Maxwell nel vuoto in forma differenziale dice che rotE= -dB/dt (immaginatevi le freccine su E e B).
Fissiamo come sistema di riferimento cartesiano innanzitutto la z lungo l'asse del solenoide (cioè "orizzontale") e la x e la y come preferite purchè entrambre perpendicolare all'asse del solenoide.
Poichè B nel solenoide infinito è sempre diretto lungo l'asse, eso ha solo compnente z, perciò anche la sua derivata ha solo compnente z.
Occupiamoci del caso r
-dB/dt= u0nI0wsen(wt)pigreco r^2 * k (versore asse z). Questo campo vettoriale è il rotE.
Dobbiamo ora trovare quale camop E ha come rotore l'espressione trovata, in pratica dobbiamo trovare un potenziale vettoriale dell'espressione trovata. Trovare un potenziale vettoriale di un campo non è in genere semplice come trovare il potenziale scalare, ma vediamo che in questo caso riusciamo a trovarlo mediante un ragionamento.
Chiaramente è noto che il potenziale vettoriale di un campo è definito biunivocamente a meno di un gradiente, ma il campo elettrico è dato dalla somma di campo elettrostatico (che è conservativo e quindi è un gradiente) che non è dato conoscere senza altre informazioni perchè sono infiniti i campi vettoriali che sono gradienti, e di quello elettromotore (indotto o di un generatore) che non è conservativo.
Nel testo chiede infatti però solo il campo indotto, perciò appunto non ci occupiamo di un eventuale gradiente da sommare al campo che deve avere come rotore l'espressione trovata prima.
Sapendo inoltre che rotE è sempre diretto verso l'asse z, ricordando che rotE = ( dEz/dy-dEy/dz; dEx/dz-dEz/dx; dEy/dx-dEx/dy) è ragionevole pensare che E dipenda solo dalle variabili x e y e giaccia sul piano xy, ovvero abbia solo le componenti x e y. Perciò la componente del rotore che ci interessa è solo la 3a.

In pratica quindi cerchiamo un campo vettoriale che risponda all'equazione u0nI0wsen(wt)pigreco r^2 = dEy/dx-dEx/dy. Se scriviamo r^2 come x^2+y^2(ricordatevi come abbiamo infatti impostato il sistema di riferimento all'inizio), abbiamo u0nI0wsen(wt)pigreco(x^2+y^2)= dEy/dx-dEx/dy.
Riscriviamo così: u0nI0wsen(wt)pigreco x^2 + u0nI0wsen(wt)pigreco y^2 = dEy/dx-dEx/dy.

E' immediato notare che la classe di campi E che riponde a quest'equazione è (-u0n0I0wsen(wt)pigreco * 1/3 y^3 i; u0nI0wsen(wt)pigreco * 1/3x^3 j )+ gradVs.
Questo è il campo elettrico indotto cercato, definito appunto a meno di un gradiente.

Per il secondo punto (r>R) è analogo il ragionamento, con la differenza che nel flusso va messo R^2 che è sempre costante.
Penso che così il ragionamento funzioni...

[lishi]

"antani":
Non puoi derivare E con una lunghezza perchè V è dato dall'integrale di linea di E, e la derivazione puoi farla solo se la linea su cui integri corrisponde a uno degli assi coordinati, perchè allora l'integrale di linea diverrebbe integrale di Exdx o Eydy o Ezdz.


Penso che si risolva così.
La quarta equazione di Maxwell nel vuoto in forma differenziale dice che rotE= -dB/dt (immaginatevi le freccine su E e B).
Fissiamo come sistema di riferimento cartesiano innanzitutto la z lungo l'asse del solenoide (cioè "orizzontale") e la x e la y come preferite purchè entrambre perpendicolare all'asse del solenoide.
Poichè B nel solenoide infinito è sempre diretto lungo l'asse, eso ha solo compnente z, perciò anche la sua derivata ha solo compnente z.
Occupiamoci del caso r
-dB/dt= u0nI0wsen(wt)pigreco r^2 * k (versore asse z). Questo campo vettoriale è il rotE.
Dobbiamo ora trovare quale camop E ha come rotore l'espressione trovata, in pratica dobbiamo trovare un potenziale vettoriale dell'espressione trovata. Trovare un potenziale vettoriale di un campo non è in genere semplice come trovare il potenziale scalare, ma vediamo che in questo caso riusciamo a trovarlo mediante un ragionamento.
Chiaramente è noto che il potenziale vettoriale di un campo è definito biunivocamente a meno di un gradiente, ma il campo elettrico è dato dalla somma di campo elettrostatico (che è conservativo e quindi è un gradiente) che non è dato conoscere senza altre informazioni perchè sono infiniti i campi vettoriali che sono gradienti, e di quello elettromotore (indotto o di un generatore) che non è conservativo.
Nel testo chiede infatti però solo il campo indotto, perciò appunto non ci occupiamo di un eventuale gradiente da sommare al campo che deve avere come rotore l'espressione trovata prima.
Sapendo inoltre che rotE è sempre diretto verso l'asse z, ricordando che rotE = ( dEz/dy-dEy/dz; dEx/dz-dEz/dx; dEy/dx-dEx/dy) è ragionevole pensare che E dipenda solo dalle variabili x e y e giaccia sul piano xy, ovvero abbia solo le componenti x e y. Perciò la componente del rotore che ci interessa è solo la 3a.

In pratica quindi cerchiamo un campo vettoriale che risponda all'equazione u0nI0wsen(wt)pigreco r^2 = dEy/dx-dEx/dy. Se scriviamo r^2 come x^2+y^2(ricordatevi come abbiamo infatti impostato il sistema di riferimento all'inizio), abbiamo u0nI0wsen(wt)pigreco(x^2+y^2)= dEy/dx-dEx/dy.
Riscriviamo così: u0nI0wsen(wt)pigreco x^2 + u0nI0wsen(wt)pigreco y^2 = dEy/dx-dEx/dy.

E' immediato notare che la classe di campi E che riponde a quest'equazione è (-u0n0I0wsen(wt)pigreco * 1/3 y^3 i; u0nI0wsen(wt)pigreco * 1/3x^3 j )+ gradVs.
Questo è il campo elettrico indotto cercato, definito appunto a meno di un gradiente.

Per il secondo punto (r>R) è analogo il ragionamento, con la differenza che nel flusso va messo R^2 che è sempre costante.
Penso che così il ragionamento funzioni...

Allora, sono arrivato alla seguente conclusione (scusa per il ritardo dopo che hai scritto quella montagna di testo )

Usando la relazione

$\int E * ds = - d\Phi/dt$

Per r < R :

La B dentro una solenoide di n spire è $ u_0 * n * I = u_o * n * I_0 sin(\omega *t)$

il \Phi per area in questione è $ u_o * n * I_0 sin(\omega *t) * 2*\pi\r$

Integro lungo la circonferenza per ottenere.

$E * 2\pi\r = \frac{d($ u_o * n * I_0 sin(\omega *t) * 2*\pi\r$)}{dt} = 2\pi\*u_0*r*\omegaI_osen(\omega *t)$

Risolvo

$ E = u_o * N * I:0 \omega sen(\omega * t)$

indipendente r da ma mi sembra possibile visto che nemmeno B lo è.

Per r > R

ho che la B fuori dalla spira dovrebbe essere nulla, quindi per qualsiasi r > R la \Phi è $\Phi = B * 2\pi\R$

$\int E * ds = - d\Phi/dt$

diventa

$ E 2 * \pi * r = - \frac{d(u_0 * I_0 cos(\omega * t) * 2 \pi R)}{dt}$

Risolvo è il tutto diventa.

$E = u_0 N I_0 \omega sen(wt) R / r

Ho preso spunto da questo esercizio.

http://img135.imageshack.us/my.php?imag ... 003ir8.jpg

Purtroppo non ho ancora chiaro la teoria dietro i miei passaggi, ma guarderò più tardi il libro di testo.

[antani2]

Ma facendo così non imponi che il campo elettrico sia sempre tangente alla circonferenza (in pratica che le linee di forza del campo E siano circonferenze)? perchè tu la circuitazione di E lungo la circonferenza la riduci a E2pigreco R e quindi fissi l'angolo tra E e dl sempre di 0 radianti...Come mai nell'esercizio che hai linkato dà per lecito fare questo passaggio?
Io avevo seguito il metodo del rotore per arrivare a un espressione analitica generale appunto per quello.
Ma volevo sapere da qualcuno se ho fatto giusto o ho sbagliato, e se sì cosa nel mio procedimento non va.

[minavagante1]

si ma il campo elettrico deve essere tangenete appunto perchè deve far girare la corrente su una circonferenza, o no???
cioè, se sono di fronte ad una spira, immersa in un campo magnetico entrante ne piano, e il campo supponiamo che cresca linearmente, allora nella spira si induce una corrente una corrente costante in senso antiorario, con campo elettrico tangente alla spira in ogni punto

[antani2]

sì li parli di corrente indotta da un campo variabile, qua invece la corrente che passa la sappiamo già, ed è essa che genera il campo B non viceversa...credo

[minavagante1]

ah no io parlavo dell'esercizio già risolto

[antani2]

Che poi non è neanche detto credo...pèerchè cmq quando tu metti una spiera si produce una fem indotta, e la fem è data da integrale di linea di E scalare ds, cioè in pratica tu considersi sempre solo la componente tangente alla traiettoria. Ma non è detto che in quel punto il campo non abboia altre componenti capisci?
E lì che mi sfugge qualcosa...

[lishi]

Ti so dire meglio domani, per adesso le mie uniche basi sulla validità è esercizio che ho postato prima.

Adesso mi riguardo un po la parte teorica sulla questione

[lishi]

"antani":Che poi non è neanche detto credo...pèerchè cmq quando tu metti una spiera si produce una fem indotta, e la fem è data da integrale di linea di E scalare ds, cioè in pratica tu considersi sempre solo la componente tangente alla traiettoria. Ma non è detto che in quel punto il campo non abboia altre componenti capisci?
E lì che mi sfugge qualcosa...

Penso di capire cosa dici,

Sul mio libro di teoria viene indicato che la E (almeno per una spira circolare) è sempre perpendicolare alla curva di faraday dell'integrale.

Da come lo capita ecco il perché

Se immergi una spira circolare in un campo magnetico variabile questo induce una corrente dentro la spira.

Le cariche sono in movimento perché esiste un campo elettrico generato dal campo magnetico.

Nel caso che non ci fosse nessuna spira il campo elettrico esiste lo stesso, perché non è causata dalla corrente che circola ma è il campo elettrico che causa la corrente.

Il motivo per cui questo campo elettrico è tangente al cerchio :

$dV = dW/q = E*ds$

dW è lo spostamento di q lungo ds, quindi e tangente a ds.

almeno cosi lo capita io.

[antani2]

dW non è il lavoro infinitesimo che fa la forza elettrica per spostare una carica q sulla spira?