Alcune domande sul rendimento e disug. di Clausius.
Mi trovo a leggere riguardo la nota disuguaglianza:
$Q_1/T_1+Q_2/T_2<=0$ e ho capito come giungervi considerando Q2 come calore assorbito e Q1 (calore) ceduto sfruttando la nozione di rendimento partendo da $1+Q_1/Q_2=1-T_1/T_2$ (Q1 considerato con segno) con facili passaggi algebrici.
Il punto dubbo è però questo: cosa succede se inverto i segni di Q1 e Q2 ossia considerassi una macchina che assorbe Q1 e cede Q2?
Il dubbio mi sorge guardando il diagramma di Raveau dove vedo che considera anche Q1 positivi!
Considera infatti la retta $Q_2=-T_2/T_1Q_1$ (che deriva dalla suddetta formula) sia per macchine termiche che per macchine frigorifere.
Ora, il punto che mi stona è che il rendimento è definito come $1+Q_1/Q_2=eta$ (**) per una macchina termica, se inverto Q1 e Q2 -come fa nel diagramma pur consideranto la medesima relazione- ho una macchina frigorifera (mantenendo le sorgenti a Temperatura fissa).
Ho quindi un ciclo frigorifero e la formula $1+Q_1/Q_2=eta$ non ha più senso.
Tuttavia la disuguaglianza di Clausius mi sembra valere per qualunque valore e segno di Q1 e Q2, eppure parte sempre dalla formula (**) e quindi da considerazioni valide per MACCHINE e non per FRIGORIFERI. Perché quindi èuna relazione generale?
PS:anche perché il rendimento in teoria è sempre positivo e minore strettamente di 1, in tal caso sarebbe negativo per una macchina frigorifera.
$Q_1/T_1+Q_2/T_2<=0$ e ho capito come giungervi considerando Q2 come calore assorbito e Q1 (calore) ceduto sfruttando la nozione di rendimento partendo da $1+Q_1/Q_2=1-T_1/T_2$ (Q1 considerato con segno) con facili passaggi algebrici.
Il punto dubbo è però questo: cosa succede se inverto i segni di Q1 e Q2 ossia considerassi una macchina che assorbe Q1 e cede Q2?
Il dubbio mi sorge guardando il diagramma di Raveau dove vedo che considera anche Q1 positivi!
Considera infatti la retta $Q_2=-T_2/T_1Q_1$ (che deriva dalla suddetta formula) sia per macchine termiche che per macchine frigorifere.
Ora, il punto che mi stona è che il rendimento è definito come $1+Q_1/Q_2=eta$ (**) per una macchina termica, se inverto Q1 e Q2 -come fa nel diagramma pur consideranto la medesima relazione- ho una macchina frigorifera (mantenendo le sorgenti a Temperatura fissa).
Ho quindi un ciclo frigorifero e la formula $1+Q_1/Q_2=eta$ non ha più senso.
Tuttavia la disuguaglianza di Clausius mi sembra valere per qualunque valore e segno di Q1 e Q2, eppure parte sempre dalla formula (**) e quindi da considerazioni valide per MACCHINE e non per FRIGORIFERI. Perché quindi èuna relazione generale?
PS:anche perché il rendimento in teoria è sempre positivo e minore strettamente di 1, in tal caso sarebbe negativo per una macchina frigorifera.
Risposte
Qui ci vorrebbe il buon vecchio @faussone o @shackle per una risposta più precisa, tuttavia su due piedi mi verrebbe da dire che quella formula valga anche per i cicli frigoriferi.
Ti ringrazio per la risposta, tuttavia vorrei chiarire meglio il dubbio sul ragionamento: in effetti potrei accettare che la definizione di rendimento valga anche per frigoriferi come rapporto di lavoro e Q ceduto, tuttavia quello che mi preoccupa è diverso: prendiamo il ciclo di Carnot, da definizione sappiamo che $η=1+Q_1/Q_2$ e proprio per le caratteristiche del ciclo giungiamo a dimostrare che $η=1-T_1/T_2$ (ragioniamo su questo particolare ciclo).
Fatto questo si passa al teorema di Carnot (valido per le macchine non per i frigo) che ci dice che ogni macchina reversibile ha rendimento pari a quello della macchina di Carnot quindi possiamo scrivere $1+Q_1/Q_2=1-T_1/T_2$ sempre sotto l'ipotesi di reversibilità e da qui ricaviamo la disuguaglianza (poiché ogni macchina reversibile ha anziché una uguaglianza una disuguaglianza).
Ma dobbiamo ricordarci che $η=1-T_1/T_2$ è stato ricavato dal ciclo di Carnot, se io prendo un frigorifero in generale non abbiamo mica mostrato che $1+Q_1/Q_2=1-T_1/T_2$ perché noi abbiamo ragionato sempre su macchine e non su frigoriferi. E' questo il punto che mi rende dubbioso. Non so se sono stato molto chiaro
, ma ci spero.
Spero risponda qualcuno a questo punto in particolare perché sto cercando risposte un po' ovunque ma non ne trovo di convincenti
Mille grazie
Fatto questo si passa al teorema di Carnot (valido per le macchine non per i frigo) che ci dice che ogni macchina reversibile ha rendimento pari a quello della macchina di Carnot quindi possiamo scrivere $1+Q_1/Q_2=1-T_1/T_2$ sempre sotto l'ipotesi di reversibilità e da qui ricaviamo la disuguaglianza (poiché ogni macchina reversibile ha anziché una uguaglianza una disuguaglianza).
Ma dobbiamo ricordarci che $η=1-T_1/T_2$ è stato ricavato dal ciclo di Carnot, se io prendo un frigorifero in generale non abbiamo mica mostrato che $1+Q_1/Q_2=1-T_1/T_2$ perché noi abbiamo ragionato sempre su macchine e non su frigoriferi. E' questo il punto che mi rende dubbioso. Non so se sono stato molto chiaro
, ma ci spero.Spero risponda qualcuno a questo punto in particolare perché sto cercando risposte un po' ovunque ma non ne trovo di convincenti
Mille grazie
Quando si parla di macchine frigorifere, sia che debbano fare il freddo come in un frigorifero domestico, sia che debbano refrigerare un ambiente, oppure funzionare da pompa di calore, cioè riscaldare un certo ambiente, ci si riferisce di solito al “coefficiente di prestazione” COP , più che al rendimento, e il COP è sempre maggiore di 1.
Qui trovi il significato e le equazioni relative.
https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficie ... erformance
Nel caso di cicli frigoriferi in cui non si verificano trasformazioni essenzialmente irreversibili, come per es lo strozzamento, si può dedurre una relazione tra il rendimento termico “tradizionale” che caratterizza un ciclo termico diretto $\eta_t$ e il coefficiente di effetto frigorifero ( o di prestazione). Sappiamo che per spostare calore $q_2$ da una sorgente fredda a una sorgente calda dobbiamo aggiungere del lavoro, perché questo non è un processo spontaneo (2º principio della termodinamica). Quindi abbiamo (grandezze specifiche) :
$q_1 = q_2 + l_c $
dove chiaramente $q_2$ è il calore prelevato dalla sorgente fredda, che con l’aggiunta di lavoro per ciclo $l_c$ va a finire nella sorgente calda come $q_1$ .
Il coefficiente di effetto frigorifero è definito come : $ \epsilon = q_2/l_c = q_2/(q_1-q_2) $
Se consideriamo un ciclo termico diretto, possiamo dire che : $ l_c = q_1*\eta_t$
mettendo insieme queste due relazioni si ha che : $ \epsilon = 1/\eta_t -1 $
Fossi in te, lascerei perdere quel diagramma. Guarda invece qui , ci sono utili spiegazioni, senza andare nel difficile, anche nel resto del corso.
Qui trovi il significato e le equazioni relative.
https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficie ... erformance
Nel caso di cicli frigoriferi in cui non si verificano trasformazioni essenzialmente irreversibili, come per es lo strozzamento, si può dedurre una relazione tra il rendimento termico “tradizionale” che caratterizza un ciclo termico diretto $\eta_t$ e il coefficiente di effetto frigorifero ( o di prestazione). Sappiamo che per spostare calore $q_2$ da una sorgente fredda a una sorgente calda dobbiamo aggiungere del lavoro, perché questo non è un processo spontaneo (2º principio della termodinamica). Quindi abbiamo (grandezze specifiche) :
$q_1 = q_2 + l_c $
dove chiaramente $q_2$ è il calore prelevato dalla sorgente fredda, che con l’aggiunta di lavoro per ciclo $l_c$ va a finire nella sorgente calda come $q_1$ .
Il coefficiente di effetto frigorifero è definito come : $ \epsilon = q_2/l_c = q_2/(q_1-q_2) $
Se consideriamo un ciclo termico diretto, possiamo dire che : $ l_c = q_1*\eta_t$
mettendo insieme queste due relazioni si ha che : $ \epsilon = 1/\eta_t -1 $
Fossi in te, lascerei perdere quel diagramma. Guarda invece qui , ci sono utili spiegazioni, senza andare nel difficile, anche nel resto del corso.
@mat.pasc
Se percorri un ciclo di Carnot inverso hai un frigorifero infatti hai un ciclo che assorbe calore da una sorgente (fredda) e cede calore e lavoro, immesso dall'esterno, a una altra sorgente a temperatura più alta (sorgente calda).
Vale però sempre
$Q_1/T_1+Q_2/T_2=0$
con i giusti segni dei calori.
Lo puoi dimostrare considerando le relazioni tra le trasformazioni del ciclo, come avrai visto per ciclo diretto.
Ovvio che per ciclo inverso frigorifero non ha senso definire il rendimento in quel modo che è il rapporto tra lavoro reso disponibile all'esterno e calore assorbito.
Sì parla, per frigo, come detto anche da Shackle, di coefficiente di prestazione del ciclo frigorifero che è il rapporto tra calore assorbito dalla sorgente fredda e lavoro fornito, dato che per un frigo l'effetto utile è la sottrazione di calore appunto. Per una pompa di calore invece sarà il rapporto tra calore ceduto alla sorgente calda e lavoro assorbito.
Da cui appare ovvio come una pompa di calore è più efficiente di un frigo in termini di prestazione, a parità di ciclo.
Se percorri un ciclo di Carnot inverso hai un frigorifero infatti hai un ciclo che assorbe calore da una sorgente (fredda) e cede calore e lavoro, immesso dall'esterno, a una altra sorgente a temperatura più alta (sorgente calda).
Vale però sempre
$Q_1/T_1+Q_2/T_2=0$
con i giusti segni dei calori.
Lo puoi dimostrare considerando le relazioni tra le trasformazioni del ciclo, come avrai visto per ciclo diretto.
Ovvio che per ciclo inverso frigorifero non ha senso definire il rendimento in quel modo che è il rapporto tra lavoro reso disponibile all'esterno e calore assorbito.
Sì parla, per frigo, come detto anche da Shackle, di coefficiente di prestazione del ciclo frigorifero che è il rapporto tra calore assorbito dalla sorgente fredda e lavoro fornito, dato che per un frigo l'effetto utile è la sottrazione di calore appunto. Per una pompa di calore invece sarà il rapporto tra calore ceduto alla sorgente calda e lavoro assorbito.
Da cui appare ovvio come una pompa di calore è più efficiente di un frigo in termini di prestazione, a parità di ciclo.
Ringrazio tantissimo entrambi, avete dipanato ogni dubbio e mi ci ritrovo finalmente.
Mi ero incastrato nei miei ragionamenti.
Grazie mille davvero! Non so come ringraziarvi
Mi ero incastrato nei miei ragionamenti.
Grazie mille davvero! Non so come ringraziarvi
[Chiedo un piccolo approfondimento dato che nel mentre ci ho riflettuto meglio]
@Faussone:
Pensavo alla stessa cosa, però ho un dubbio al riguardo: in realtà non è detto valga $Q_1/T_1+Q_2/T_2<=0$, perché a ben pensarci noi scriviamo il $<=$ per via del fatto che abbiamo dimostrato tramite il teorema di carnot che ogni macchina irreversibile è minore per rendimento a quella reversibile e in particolare a una macchina (ciclo) di carnot.
Quindi se prendiamo il ciclo di carnot e lo invertiamo dimostriamo $Q_1/T_1+Q_2/T_2=0$ sicuramente sfruttando le relazioni tra le trasformazioni in atto (come suggerivi e pensavo anche io), però [e qui il dubbio] non possiamo piazzargli in modo disinvolto il segno di disuguaglianza perché il teorema di carnot (o almeno io così l'ho visto) è riferito alle macchine
Detto in altro modo, quel che voglio dire è che possiamo dimostrare il segno di "=" se invertiamo il ciclo di carnot, ma per metterci "<=" dovremmo prima dimostrare che ogni frigorifero è minore del "frigo di carnot". No?!
@Faussone:
"Faussone":
Vale però sempre
$Q_1/T_1+Q_2/T_2=0$
con i giusti segni dei calori.
Lo puoi dimostrare considerando le relazioni tra le trasformazioni del ciclo, come avrai visto per ciclo diretto.
Pensavo alla stessa cosa, però ho un dubbio al riguardo: in realtà non è detto valga $Q_1/T_1+Q_2/T_2<=0$, perché a ben pensarci noi scriviamo il $<=$ per via del fatto che abbiamo dimostrato tramite il teorema di carnot che ogni macchina irreversibile è minore per rendimento a quella reversibile e in particolare a una macchina (ciclo) di carnot.
Quindi se prendiamo il ciclo di carnot e lo invertiamo dimostriamo $Q_1/T_1+Q_2/T_2=0$ sicuramente sfruttando le relazioni tra le trasformazioni in atto (come suggerivi e pensavo anche io), però [e qui il dubbio] non possiamo piazzargli in modo disinvolto il segno di disuguaglianza perché il teorema di carnot (o almeno io così l'ho visto) è riferito alle macchine
Detto in altro modo, quel che voglio dire è che possiamo dimostrare il segno di "=" se invertiamo il ciclo di carnot, ma per metterci "<=" dovremmo prima dimostrare che ogni frigorifero è minore del "frigo di carnot". No?!
@lozaio
Non so quale dimostrazione hai visto per la diseguaglianza di Clausius.
Una strada che io trovo semplice e diretta è quella descritta dalla voce di Wikipedia (usata in vari testi) qui.
In ogni caso quella diseguaglianza alla fine deriva sempre dal secondo principio, si dimostra che se non fosse vera si arriva a negare il secondo principio, questo è il punto fondamentale.
Non so quale dimostrazione hai visto per la diseguaglianza di Clausius.
Una strada che io trovo semplice e diretta è quella descritta dalla voce di Wikipedia (usata in vari testi) qui.
In ogni caso quella diseguaglianza alla fine deriva sempre dal secondo principio, si dimostra che se non fosse vera si arriva a negare il secondo principio, questo è il punto fondamentale.
Sì certo la dimostrazione è quella, ma forse ho spiegato male il punto dubbio, ci riprovo meglio:
Il teorema di clausius si dimostra sfruttando n macchine reversibili attaccate a varie sorgenti attaccate a loro volta alla macchina (chiamiamola M), si sfrutta poi il risultato del teorema di carnot $Q_1/T_1+Q_2/T_2=0$
Non entro nel dettaglio perché il dubbio non riesiede qui.
Il dubbio risiede nel teorema di carnot stesso, perché quando noi scriviamo $Q_1/T_1+Q_2/T_2<=0$ lo facciamo in forza all'aver dimostrato che ogni macchina (reversibile o meno) che ha rendimento $1-|Q_1|/Q_2$ è minore o uguale al rendimento dellamacchina di carnot $1-T_1/T_2$.
Abbiamo detto "minore uguale" perché sfruttiamo il teorema di carnot (per intenderci questo https://images.slideplayer.it/33/105365 ... ide_14.jpg ) il quale prende due macchine ignote di cui una reversibile e la mette tra due sorgenti. La fisica ci porta a dimostrare che vale sempre che la macchina reversibile qualunque ha rendimento pari a qualunque altra macchina reversibile mentre la macchina irreversibile ha rendimento minore di una reversibile.
Ora il punto cruciale: poiché ogni macchina reversibile ha pari rendimento di qualunque altra macchina reversibile possiamo scrivere che il suo rendimento è $1-T_1/T_2$ che è quello valido per una macchina di carnot (tanto hanno tutte rendimenti uguali abbiamo dimostrato e la formulazione con le temperature anziché coi calori ci è utile).
E' infatti da questo risultato teorico di poter scrivere per ogni macchina reversibile quanto trovato per lamacchina specifica di carnot, ossia $1-T_1/T_2$ e uguagliarlo a $1-|Q_1|/Q_2$. Altrimenti non potrei!
Questi discorsi valgono per le macchine quindi, perché la dimostrazione del teorema di carnot si basa sull'aver paragonato il rendimento di due macchine! tra due sorgenti a temperatura diversa.
Se ora passiamo ai frigoriferi abbiamo che ovviamente invertendo un ciclo di carnot abbiamo un frigorifero per cui possiamo scrivere $1-|Q_1|/Q_2=1-T_1/T_2$, questo perché sfruttiamo le relazioni valide per cicli di carnot tra temeprature calori e volumi e il secondo membro dell'uguaglianza ha senso confrontato con il primo membro. Però questo ragionamento può valere solo per un ciclo di carnot invertito.
Non sappiamo infatti se in generale sia vero che $1-|Q_1|/Q_2<=1-T_1/T_2$ per un frigorifero qualunque (cioè un ciclo reversibile invertito qualunque), infatti noi non sappiamo se $1-|Q_1|/Q_2=1-T_1/T_2$ vale per un frigorifero reversibile realizzato con ciclo diverso da quello di carnot, perchè come dicevo il secondo membro è figlio del risultato della dimostrazione del teorema di carnot (che poi è quello che ci permette di sfruttare le temperature per scrivere il rendimento) è valido per le macchine termiche non per frigoriferi.
E' qui che mi frego nel ragionamento, ma dove sbaglio?
Il teorema di clausius si dimostra sfruttando n macchine reversibili attaccate a varie sorgenti attaccate a loro volta alla macchina (chiamiamola M), si sfrutta poi il risultato del teorema di carnot $Q_1/T_1+Q_2/T_2=0$
Non entro nel dettaglio perché il dubbio non riesiede qui.
Il dubbio risiede nel teorema di carnot stesso, perché quando noi scriviamo $Q_1/T_1+Q_2/T_2<=0$ lo facciamo in forza all'aver dimostrato che ogni macchina (reversibile o meno) che ha rendimento $1-|Q_1|/Q_2$ è minore o uguale al rendimento dellamacchina di carnot $1-T_1/T_2$.
Abbiamo detto "minore uguale" perché sfruttiamo il teorema di carnot (per intenderci questo https://images.slideplayer.it/33/105365 ... ide_14.jpg ) il quale prende due macchine ignote di cui una reversibile e la mette tra due sorgenti. La fisica ci porta a dimostrare che vale sempre che la macchina reversibile qualunque ha rendimento pari a qualunque altra macchina reversibile mentre la macchina irreversibile ha rendimento minore di una reversibile.
Ora il punto cruciale: poiché ogni macchina reversibile ha pari rendimento di qualunque altra macchina reversibile possiamo scrivere che il suo rendimento è $1-T_1/T_2$ che è quello valido per una macchina di carnot (tanto hanno tutte rendimenti uguali abbiamo dimostrato e la formulazione con le temperature anziché coi calori ci è utile).
E' infatti da questo risultato teorico di poter scrivere per ogni macchina reversibile quanto trovato per lamacchina specifica di carnot, ossia $1-T_1/T_2$ e uguagliarlo a $1-|Q_1|/Q_2$. Altrimenti non potrei!
Questi discorsi valgono per le macchine quindi, perché la dimostrazione del teorema di carnot si basa sull'aver paragonato il rendimento di due macchine! tra due sorgenti a temperatura diversa.
Se ora passiamo ai frigoriferi abbiamo che ovviamente invertendo un ciclo di carnot abbiamo un frigorifero per cui possiamo scrivere $1-|Q_1|/Q_2=1-T_1/T_2$, questo perché sfruttiamo le relazioni valide per cicli di carnot tra temeprature calori e volumi e il secondo membro dell'uguaglianza ha senso confrontato con il primo membro. Però questo ragionamento può valere solo per un ciclo di carnot invertito.
Non sappiamo infatti se in generale sia vero che $1-|Q_1|/Q_2<=1-T_1/T_2$ per un frigorifero qualunque (cioè un ciclo reversibile invertito qualunque), infatti noi non sappiamo se $1-|Q_1|/Q_2=1-T_1/T_2$ vale per un frigorifero reversibile realizzato con ciclo diverso da quello di carnot, perchè come dicevo il secondo membro è figlio del risultato della dimostrazione del teorema di carnot (che poi è quello che ci permette di sfruttare le temperature per scrivere il rendimento) è valido per le macchine termiche non per frigoriferi.
E' qui che mi frego nel ragionamento, ma dove sbaglio?
Non sono sicuro di aver capito ancora mica quale sia il problema.
Comunque,
tieni conto che una macchina ciclica reversibile che scambia calore con due sole sorgenti deve per forza seguire un ciclo di Carnot, e quindi una macchina frigorifera reversibile ciclica che scambia calore con due sole sorgenti deve seguire per forza un ciclo inverso di Carnot.
Comunque,
"lozaio":
[....] infatti noi non sappiamo se $1-|Q_1|/Q_2=1-T_1/T_2$ vale per un frigorifero reversibile realizzato con ciclo diverso da quello di carnot,
tieni conto che una macchina ciclica reversibile che scambia calore con due sole sorgenti deve per forza seguire un ciclo di Carnot, e quindi una macchina frigorifera reversibile ciclica che scambia calore con due sole sorgenti deve seguire per forza un ciclo inverso di Carnot.
Grazie ancora Faussone per i tuoi insegnamenti.
Credo, in effetti, sia questo il punto
. Messa così condivido appieno.
Grazie!
"Faussone":
tieni conto che una macchina ciclica reversibile che scambia calore con due sole sorgenti deve per forza seguire un ciclo di Carnot, e quindi una macchina frigorifera reversibile ciclica che scambia calore con due sole sorgenti deve seguire per forza un ciclo inverso di Carnot.
Credo, in effetti, sia questo il punto
. Messa così condivido appieno.Grazie!
"lozaio":
Grazie ancora Faussone per i tuoi insegnamenti.
[quote="Faussone"]
tieni conto che una macchina ciclica reversibile che scambia calore con due sole sorgenti deve per forza seguire un ciclo di Carnot, e quindi una macchina frigorifera reversibile ciclica che scambia calore con due sole sorgenti deve seguire per forza un ciclo inverso di Carnot.
Credo, in effetti, sia questo il punto
. Messa così condivido appieno.Grazie![/quote]
Prego!
E' un piacere, soprattutto se viene detto se la risposta sia stato utile o no.
Sì purtroppo vedo che non è molto diffuso dire "grazie", ma credo sia il minimo per sdebitarsi nei confronti di chi ha avuto la cortesia di rispondere e ascoltare il tuo dubbio
Spero di leggere altre tue risposte su questi argomenti che per me son sempre stati motivo di ispirazione a capire meglio.
Tuoi come di shackle e altri veterani del forum, è una grande risorsa poterlo fare, seriamente!
Spero di leggere altre tue risposte su questi argomenti che per me son sempre stati motivo di ispirazione a capire meglio.
Tuoi come di shackle e altri veterani del forum, è una grande risorsa poterlo fare, seriamente!
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