Alcune domande su gravità e campi centrali
Avrei alcune domande (teoriche) da porvi circa la gravitazione... Le elenco qui di seguito numerandole, in modo che chi abbia voglia di cimentarsi possa rispondere anche solo ad alcune di queste:
1. So che la seconda velocità cosmica (o velocità di fuga) di un satellite è indipendente dalla direzione di lancio, nel senso che, se il satellite viene lanciato a quella velocità (o ad una velocità superiore), esso tenderà comunque ad allontanarsi definitivamente dal pianeta da cui è stato lanciato, indipendentemente dalla direzione in cui è avvenuto il lancio. Ora, la mia domanda è: ma anche la prima velocità cosmica è indipendente dalla direzione di lancio? O, vista la particolare traiettoria (circolare) che il satellite assumerebbe, per ottenerla occorrerebbe anche che il stellite venga lanciato in una certa direzione? Oppure la forza di gravità, a quella velocità, curva comunque la traiettoria del satellite in modo tale che sia circolare (anche se non ne ho ben chiaro il motivo...)?
2.So che la forza gravitazionale è una forza centrale a simmetria sferica e, in quanto tale, conservativa. Altri esempi di forze centrali a simmetria sferica sono quella elettrostatica di Coulomb e quella elastica (anche queste, quindi, conservative). Ma esistono esempi di forze centrali NON a simmetria sferica (e su cui, pertanto, non si possa concludere nulla a priori circa la conservatività o meno del campo)?.
3. Nel calcolare, a partire dalla definizione, il lavoro svolto dalla forza gravitazionale lungo una triettoria arbitraria che congiunge due punti A e B (ad esempio per calcolare la variazione di energia potenziale tra i due punti), ho visto, su diversi testi e siti Internet, semplificare il prodotto scalare tra versore radiale e vettore spostamento infinitestimo col differenziale dr, ma non ne ho ben compreso il motivo. Qualcuno potrebbe darmi delle delucidazioni in merito (magari postando anche qualche disegno)?
Ringrazio anticipatamente chi avrà la pazienza di rispondermi.
1. So che la seconda velocità cosmica (o velocità di fuga) di un satellite è indipendente dalla direzione di lancio, nel senso che, se il satellite viene lanciato a quella velocità (o ad una velocità superiore), esso tenderà comunque ad allontanarsi definitivamente dal pianeta da cui è stato lanciato, indipendentemente dalla direzione in cui è avvenuto il lancio. Ora, la mia domanda è: ma anche la prima velocità cosmica è indipendente dalla direzione di lancio? O, vista la particolare traiettoria (circolare) che il satellite assumerebbe, per ottenerla occorrerebbe anche che il stellite venga lanciato in una certa direzione? Oppure la forza di gravità, a quella velocità, curva comunque la traiettoria del satellite in modo tale che sia circolare (anche se non ne ho ben chiaro il motivo...)?
2.So che la forza gravitazionale è una forza centrale a simmetria sferica e, in quanto tale, conservativa. Altri esempi di forze centrali a simmetria sferica sono quella elettrostatica di Coulomb e quella elastica (anche queste, quindi, conservative). Ma esistono esempi di forze centrali NON a simmetria sferica (e su cui, pertanto, non si possa concludere nulla a priori circa la conservatività o meno del campo)?.
3. Nel calcolare, a partire dalla definizione, il lavoro svolto dalla forza gravitazionale lungo una triettoria arbitraria che congiunge due punti A e B (ad esempio per calcolare la variazione di energia potenziale tra i due punti), ho visto, su diversi testi e siti Internet, semplificare il prodotto scalare tra versore radiale e vettore spostamento infinitestimo col differenziale dr, ma non ne ho ben compreso il motivo. Qualcuno potrebbe darmi delle delucidazioni in merito (magari postando anche qualche disegno)?
Ringrazio anticipatamente chi avrà la pazienza di rispondermi.
Risposte
Nessuno che si butta? =)
"Nash86":
1. So che la seconda velocità cosmica (o velocità di fuga) di un satellite è indipendente dalla direzione di lancio, nel senso che, se il satellite viene lanciato a quella velocità (o ad una velocità superiore), esso tenderà comunque ad allontanarsi definitivamente dal pianeta da cui è stato lanciato, indipendentemente dalla direzione in cui è avvenuto il lancio. Ora, la mia domanda è: 1a) ma anche la prima velocità cosmica è indipendente dalla direzione di lancio? O, vista la particolare traiettoria (circolare) che il satellite assumerebbe, 1b) per ottenerla occorrerebbe anche che il stellite venga lanciato in una certa direzione? Oppure la forza di gravità, a quella velocità, 1c) curva comunque la traiettoria del satellite in modo tale che sia circolare (anche se non ne ho ben chiaro il motivo...)?
Se ho ben capito la domanda, che in effetti sembrerebbe fatta di 3 parti, penso si possa rispondere così.
Premesso che data una certa posizione $P$ in un campo gravitazionale a simmetria sferica di centro $C$ esiste una velocità che produce un modo circolare uniforme con modulo della velocità costante (detta 'prima velocità cosmica'). Se questa definizione è corretta, esistono infinite direzioni in cui il satellite può essere lanciato con tale velocità in modo che abbia orbita circolare e sono tutte (e sole) quelle del piano per $P$ normale al segmento $PC$.
"Nash86":
2.So che la forza gravitazionale è una forza centrale a simmetria sferica e, in quanto tale, conservativa. Altri esempi di forze centrali a simmetria sferica sono quella elettrostatica di Coulomb e quella elastica (anche queste, quindi, conservative). Ma esistono esempi di forze centrali NON a simmetria sferica (e su cui, pertanto, non si possa concludere nulla a priori circa la conservatività o meno del campo)?.
Tutte le forze centrali a simmetria sferica (ovvero in cui le Forze hanno direzione radiale) tali che il modulo della Forza dipenda unicamente da il valore di $R$ (raggio=distanza dal centro di simmetria) sono conservative.
E' dimostrabile che se il modulo della forza dipende dalla velocità o esplicitamente dal tempo, forze di tal genere non sono conservative.
non capisco la domanda numero 2.
un esempio banale è il seguente:
[tex]F = k \theta\, \hat{u_ r} [/tex]
dove k è un coefficiente opportuno
riguardo invece la 3:
da definizione di lavoro,
[tex]L = \int_\gamma dL = \int_\gamma {\vec F(\vec r)} \cdot \operatorname d \vec s[/tex]
se il campo di forze è a simmetria sferica radiale:
[tex]L = \int_\gamma dL = \int_\gamma {F(r) \, \hat u_ r} \cdot \operatorname d \vec s[/tex]
quindi la tesi.
Intuitivamente quando si tratta i campi di forze conservative trovo utile visualizzare le superfici isopotenziali, che in questo caso sono sfere concentriche.
muovere tra le superfici isopotenziali comporta un lavoro, motore o resistente, del campo di forze. cosa che invece non accade muovendosi su di una superficie isopotenziale. ovviamente si tratta di conseguenze del prodotto scalare
prova a sviluppare un'analogia con la forza peso, che prevede invece superfici isopotenziali piane.
se sei un matematico ed hai studiato l'analisi complessa può essere d'aiuto pensare i campi di forze conservativi come funzioni analitiche su domini semplici
un esempio banale è il seguente:
[tex]F = k \theta\, \hat{u_ r} [/tex]
dove k è un coefficiente opportuno
riguardo invece la 3:
da definizione di lavoro,
[tex]L = \int_\gamma dL = \int_\gamma {\vec F(\vec r)} \cdot \operatorname d \vec s[/tex]
se il campo di forze è a simmetria sferica radiale:
[tex]L = \int_\gamma dL = \int_\gamma {F(r) \, \hat u_ r} \cdot \operatorname d \vec s[/tex]
quindi la tesi.
Intuitivamente quando si tratta i campi di forze conservative trovo utile visualizzare le superfici isopotenziali, che in questo caso sono sfere concentriche.
muovere tra le superfici isopotenziali comporta un lavoro, motore o resistente, del campo di forze. cosa che invece non accade muovendosi su di una superficie isopotenziale. ovviamente si tratta di conseguenze del prodotto scalare
prova a sviluppare un'analogia con la forza peso, che prevede invece superfici isopotenziali piane.
se sei un matematico ed hai studiato l'analisi complessa può essere d'aiuto pensare i campi di forze conservativi come funzioni analitiche su domini semplici
Ecco, ma perchè l'ultimo prodotto scalare (quello tra il versore radiale e lo spostamento infinitesimo) dovrebbe, poi, essere uguale a dr? Solo perchè è la proiezione di ds nella direzione di tale versore? O lo si può dimostrare in altro modo?
Per la domanda 2, invece, volevo qualche esempio reale di forza centrale ma non a simmetria sferica e, possibilmente, non conservativa... non esempi "matematici" solo teorici... c'è qualche forza in natura che soddisfi questi requisiti? E' solo una pura curiosità, nulla di più...
Per mircoFN:
Quindi, se io lancio il satellite alla prima velocità cosmica ad una certa quota in una direzione che non giace sul piano di cui parli, non ottengo più un'orbita circolare? E cosa ottengo? Un'ellissi che si interseca con la superficie terrestre? Me lo sto chiedendo perchè ho notato che, mentre per la velocità di fuga si dice spesso esplicitamente che essa è indipendente dalla direzione, per la prima velocità cosmica quest'aspetto della direzione non viene in genere sottolineato...
Grazie a tutti
Per la domanda 2, invece, volevo qualche esempio reale di forza centrale ma non a simmetria sferica e, possibilmente, non conservativa... non esempi "matematici" solo teorici... c'è qualche forza in natura che soddisfi questi requisiti? E' solo una pura curiosità, nulla di più...
Per mircoFN:
Quindi, se io lancio il satellite alla prima velocità cosmica ad una certa quota in una direzione che non giace sul piano di cui parli, non ottengo più un'orbita circolare? E cosa ottengo? Un'ellissi che si interseca con la superficie terrestre? Me lo sto chiedendo perchè ho notato che, mentre per la velocità di fuga si dice spesso esplicitamente che essa è indipendente dalla direzione, per la prima velocità cosmica quest'aspetto della direzione non viene in genere sottolineato...
Grazie a tutti
ancora circa il 3,
detto grossolanamente, sperando che i nostri amici matematici chiudano gli occhi
:
purtroppo a momento non posso metterti giù un disegnino.. prova tu a rappresentare il vettore ds, il versore radiale u_r e il loro prodotto scalare, intendendolo come proiezione di ds su u_r.
osserva che il prodotto scalare di un vettore 'piccolo' con un vettore unitario è ancora un vettore 'piccolo'!
circa il 2,
esempi immediati non ce ne sono.
non riesco però a farmi venire in mente neanche qualche esempio semplice.. posso però darti una traccia su cui pensare:
puoi osservare come in modulo la forza che ti ho passato sia uguale a quella agente in un momento torcente elastico. differiscono invece per direzione: una è radiale, l'altra tangenziale
detto grossolanamente, sperando che i nostri amici matematici chiudano gli occhi
: purtroppo a momento non posso metterti giù un disegnino.. prova tu a rappresentare il vettore ds, il versore radiale u_r e il loro prodotto scalare, intendendolo come proiezione di ds su u_r.
osserva che il prodotto scalare di un vettore 'piccolo' con un vettore unitario è ancora un vettore 'piccolo'!
circa il 2,
esempi immediati non ce ne sono.
non riesco però a farmi venire in mente neanche qualche esempio semplice.. posso però darti una traccia su cui pensare:
puoi osservare come in modulo la forza che ti ho passato sia uguale a quella agente in un momento torcente elastico. differiscono invece per direzione: una è radiale, l'altra tangenziale
Ho visto alcuni siti in cui il vettore ds viene scomposto in due componenti, una tangenziale alla forza e l'altra perpendicolare. Quella tangenziale sarebbe il dr che rimane, poi, nell'integrale, mentre quella perpendicolare, ovviamente, sparisce nel calcolo del prodotto scalare e, ad ogni modo, sarebbe uguale a $rd\theta\$. Mi piacerebbe, però, capire un po' di più perchè si abbiano queste due componenti (in particolare, quella perpendicolare alla forza non saprei proprio da dove venga fuori...). Altrimenti posso anche limitarmi a vedere quel prodotto scalare come semplice proiezione di ds lungo la direzione radiale, ma mi sembra un po' riduttivo (anche perchè la componente nella direzione normale, invece, non è data soltanto dall'infinitesimo $d\theta\$, come mi sarei aspettato, trattandosi sempre della proiezione di un vettore infinitesimo in una certa direzione, ma c'è anche un r di mezzo...).
esatto, quanto hai appena postato è la risposta 'formale' al tuo dubbio.
le due componenti [tex]dr[/tex] e [tex]r \, d\theta[/tex] sono banalmente le componenti dello spostamento infinitesimo in coordinate polari (in tre dimensioni, coordinate sferiche, avrai un terzo termine [tex]r \, sin\theta \, d\phi[/tex]), come puoi facilmente verificare
a presto
le due componenti [tex]dr[/tex] e [tex]r \, d\theta[/tex] sono banalmente le componenti dello spostamento infinitesimo in coordinate polari (in tre dimensioni, coordinate sferiche, avrai un terzo termine [tex]r \, sin\theta \, d\phi[/tex]), come puoi facilmente verificare
a presto
Sì, più che altro è la verifica che non mi è ancora molto chiara... grazie mille comunque.
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