Alcune domande di meccanica classica (oscillazioni)
Ciao a tutti. Sto studiando meccanica classica dal testo "Meccanica Classica" di Goldstein e ci sono alcuni passaggi sul capitolo delle oscillazioni che non mi sono chiari:
"Le equazioni del moto di un sistema perturbato dalla sua posizione di equilibrio sono
$\sum_{i,j=0}^n T_{ij}ddot{\eta}_j + \sum_{i,j=0}^n V_{ij}\eta_j = 0$ (1)
dove $T_{ij}$ e $V_{ij}$ sono delle costanti e le $\eta_j$ sono le n coordinate che descrivono il sistema (ad esempio x,y,z).
La soluzione di queste equazioni differenziali è nella forma:
$\eta_i = Ca_i e^{-i\omega t}$ (2)
dove $a_i$ è una costante e $C$ è un fattore di scala introdotto per comodità"
La mia domanda è: le (1) sono equazioni differenziali lineari non omogenee a coefficienti costanti di ordine 2; allora la soluzione non dovrebbe essere una combinazione lineare delle soluzioni dell'equazioni omogenea più una soluzione dell'inomogena? La soluzione (2) non è incompleta?
Poi il testo procede:
"Sostituendo le (2) nelle (1) si possono determinare le $a_i$, infatti esse devono soddisfare:
$(\sum_{i,j=0}^n V_{ij}a_j -\sum_{i,j=0}^n \omega^2 T_{ij}a_j)=0$ (3)
Questo è un sistema di n equazioni nelle $\omega^2$ e per avere soluzione non banale il determinante della matrice dei coefficienti deve essere nullo. Questa condizione si traduce in un'equazione di grado n e le sue radici sono le frequenze per cui le (2) sono effettivamente soluzione delle equazioni del moto. Per ciascuno di questi valori di $\omega^2$ si possono risolvere le (3) rispetto alle ampiezze $\a_i$, o, più precisamente, trovare n-1 ampiezze in funzione dell'ampiezza rimanente $a_i$"
Quest'ultima frase non mi è chiara: io ho un sistema di n equazioni a n incognite, quindi la soluzione è completamente detrminata... cioè, risolvendo il sistema troverò i valori di tutte le $a_i$, non solo di n-1 $a_i$.
"Le equazioni del moto di un sistema perturbato dalla sua posizione di equilibrio sono
$\sum_{i,j=0}^n T_{ij}ddot{\eta}_j + \sum_{i,j=0}^n V_{ij}\eta_j = 0$ (1)
dove $T_{ij}$ e $V_{ij}$ sono delle costanti e le $\eta_j$ sono le n coordinate che descrivono il sistema (ad esempio x,y,z).
La soluzione di queste equazioni differenziali è nella forma:
$\eta_i = Ca_i e^{-i\omega t}$ (2)
dove $a_i$ è una costante e $C$ è un fattore di scala introdotto per comodità"
La mia domanda è: le (1) sono equazioni differenziali lineari non omogenee a coefficienti costanti di ordine 2; allora la soluzione non dovrebbe essere una combinazione lineare delle soluzioni dell'equazioni omogenea più una soluzione dell'inomogena? La soluzione (2) non è incompleta?
Poi il testo procede:
"Sostituendo le (2) nelle (1) si possono determinare le $a_i$, infatti esse devono soddisfare:
$(\sum_{i,j=0}^n V_{ij}a_j -\sum_{i,j=0}^n \omega^2 T_{ij}a_j)=0$ (3)
Questo è un sistema di n equazioni nelle $\omega^2$ e per avere soluzione non banale il determinante della matrice dei coefficienti deve essere nullo. Questa condizione si traduce in un'equazione di grado n e le sue radici sono le frequenze per cui le (2) sono effettivamente soluzione delle equazioni del moto. Per ciascuno di questi valori di $\omega^2$ si possono risolvere le (3) rispetto alle ampiezze $\a_i$, o, più precisamente, trovare n-1 ampiezze in funzione dell'ampiezza rimanente $a_i$"
Quest'ultima frase non mi è chiara: io ho un sistema di n equazioni a n incognite, quindi la soluzione è completamente detrminata... cioè, risolvendo il sistema troverò i valori di tutte le $a_i$, non solo di n-1 $a_i$.
Risposte
Mi è venuta in mente anche un'altra cosa:
il testo dice che le (3) sono equazioni omogenee lineari, ma a me non sembra che siano omogenee. Ad esempio, nel caso del moto in due dimensioni le equazioni diventano:
$V_{x x}a_x+V_{xy}a_y - m\omega^2a_x=0$
$V_{yy}a_y+V_{xy}a_x - m\omega^2a_y=0$
e queste non sono omogenee....
il testo dice che le (3) sono equazioni omogenee lineari, ma a me non sembra che siano omogenee. Ad esempio, nel caso del moto in due dimensioni le equazioni diventano:
$V_{x x}a_x+V_{xy}a_y - m\omega^2a_x=0$
$V_{yy}a_y+V_{xy}a_x - m\omega^2a_y=0$
e queste non sono omogenee....
"lucagalbu":
Ciao a tutti. Sto studiando meccanica classica dal testo "Meccanica Classica" di Goldstein e ci sono alcuni passaggi sul capitolo delle oscillazioni che non mi sono chiari:
"Le equazioni del moto di un sistema perturbato dalla sua posizione di equilibrio sono
$\sum_{i,j=0}^n T_{ij}ddot{\eta}_j + \sum_{i,j=0}^n V_{ij}\eta_j = 0$ (1)
dove $T_{ij}$ e $V_{ij}$ sono delle costanti e le $\eta_j$ sono le n coordinate che descrivono il sistema (ad esempio x,y,z).
La soluzione di queste equazioni differenziali è nella forma:
$\eta_i = Ca_i e^{-i\omega t}$ (2)
dove $a_i$ è una costante e $C$ è un fattore di scala introdotto per comodità"
La mia domanda è: le (1) sono equazioni differenziali lineari non omogenee a coefficienti costanti di ordine 2; allora la soluzione non dovrebbe essere una combinazione lineare delle soluzioni dell'equazioni omogenea più una soluzione dell'inomogena? La soluzione (2) non è incompleta?
Si tratta di equazioni differenziali lineari e omogenee, tuttavia sono accoppiate perciò non è banale trovarne la soluzione. Quella che scrivi non è chiaramente la soluzione completa, ma semplicemente una soluzione di prova che corrisponde ad un modo normale del sistema (tutti i gradi di libertà oscillano con la stessa frequenza). La soluzione generale si scriverà come $\eta_i = \sum_{k=1}^nC_ka_{ik}e^{-i\omega_kt}$.
"lucagalbu":
Poi il testo procede:
"Sostituendo le (2) nelle (1) si possono determinare le $a_i$, infatti esse devono soddisfare:
$(\sum_{i,j=0}^n V_{ij}a_j -\sum_{i,j=0}^n \omega^2 T_{ij}a_j)=0$ (3)
Questo è un sistema di n equazioni nelle $\omega^2$ e per avere soluzione non banale il determinante della matrice dei coefficienti deve essere nullo. Questa condizione si traduce in un'equazione di grado n e le sue radici sono le frequenze per cui le (2) sono effettivamente soluzione delle equazioni del moto. Per ciascuno di questi valori di $\omega^2$ si possono risolvere le (3) rispetto alle ampiezze $\a_i$, o, più precisamente, trovare n-1 ampiezze in funzione dell'ampiezza rimanente $a_i$"
Quest'ultima frase non mi è chiara: io ho un sistema di n equazioni a n incognite, quindi la soluzione è completamente detrminata... cioè, risolvendo il sistema troverò i valori di tutte le $a_i$, non solo di n-1 $a_i$.
Trovi $n-1$ ampiezze perchè avendo imposto che il determinante sia nullo le equazioni non sono fra loro tutte indipendenti. Per l'ultima domanda hai interpretato male quanto dice, infatti il sistema di equazioni è omogeneo rispetto alle $a_i$, non rispetto ad $\omega^2$.
"Eredir":
Trovi $n-1$ ampiezze perchè avendo imposto che il determinante sia nullo le equazioni non sono fra loro tutte indipendenti.
Imporre il determinante uguale a 0 mi permette di trovare le $\omega^2$. Poi per ogni $\omega^2$ trovata, le sostituisco nelle (3), che, essendo n equazioni ad n incognite, mi determinano tutte le $a_i$.
Facendo un esempio più concreto:
con 3 coordinate x,y,z le (3) diventano:
$Aa_1 + Ba_2 + Ca_3 -D\omega^2 a_1 - E\omega^2 a_2 -F\omega^2 a_3=0$
$Ga_1 + Ha_2 + Ia_3 -L\omega^2 a_1 - M\omega^2 a_2 -N\omega^2 a_3=0$
$Oa_1 + Pa_2 + Qa_3 -R\omega^2 a_1 - S\omega^2 a_2 -T\omega^2 a_3=0$
Una volta che ho trovato $\omega^2$ ricavo $a_1$ dalla prima in funzione di $a_2$ e $a_3$ e la sostituisco nella 2°. Così la 2° equazione sarà solo funzione di $a_2$ e $a_3$; scrivo $a_2$ in funzione di $a_3$ e la sostituisco nella 3°. La 3° sarà funzione solo di $a_3$ e così posso ricavare il valore di $a_3$. Una volta noto $a_3$ ricavo $a_2$ e poi $a_1$.
Quindi ho ricavato le 3 incognite, e non due incognite in funzione della terza.....
Per il primo punto sulla risoluzione dell'equazione differenziale, invece ho capito tutto, grazie... tra l'altro mi hai anche spiegato perchè l'omega era uguale per tutte le n equazioni (era un'altra domanda che volevo farvi
)
"lucagalbu":
Imporre il determinante uguale a 0 mi permette di trovare le $\omega^2$. Poi per ogni $\omega^2$ trovata, le sostituisco nelle (3), che, essendo n equazioni ad n incognite, mi determinano tutte le $a_i$.
Hai imposto che il determinante sia nullo per trovare le varie $\omega$ e va bene, però determinante nullo vuol dire che le righe della matrice sono linearmente dipendenti! Un sistema lineare ha un'unica soluzione solo quando la matrice dei coefficienti è invertibile, ovvero ha determinante diverso da zero. In questo caso non ottieni una sola soluzione (neanche considerando un solo $\omega$).
Consideriamo un esempio stupidissimo:
$((-\omega^2T, A-\omega^2B), (0, V-\omega^2T)) ((a_1), (a_2)) = ((0), (0))$
Imponendo il determinante nullo otteniamo $\omega^2T(\omega^2T-V) = 0$ che ha come soluzioni $\omega_1 = 0$ e $\omega_2 = sqrt(V/T)$, ma si vede immediatamente che sostituendo questi valori non puoi determinare una sola soluzione $(a_1, a_2)$.
ok... grazie!
Ho un'altra domanda... dopo tutto questo, il testo mostra che l'equazione (3) è un'equazione agli autovalori:
$\mathcal Va=\lambda \mathcal T a$ (4)
dove V e T sono le matrici corrispondenti a $V_{ij}$ e $T_{ij}$ e $\lambda=\omega^2$
dopo di che il testo dimostra che gli autovalori devono essere tutti reali e poi dice:
"Se gli autovalori sono reali i rapporti fra le componenti del kappesimo autovettore $a_{jk}$ ricavate dalla (4) sono anch'esse reali."
Il problema è che non so come ricavare dalla (4) il rapporto fra le componenti dell'autovettore...
$\mathcal Va=\lambda \mathcal T a$ (4)
dove V e T sono le matrici corrispondenti a $V_{ij}$ e $T_{ij}$ e $\lambda=\omega^2$
dopo di che il testo dimostra che gli autovalori devono essere tutti reali e poi dice:
"Se gli autovalori sono reali i rapporti fra le componenti del kappesimo autovettore $a_{jk}$ ricavate dalla (4) sono anch'esse reali."
Il problema è che non so come ricavare dalla (4) il rapporto fra le componenti dell'autovettore...
help!!!
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