[Aiuto]Equazione del moto rotazione di una barra
Non riesco a trovare l'equazione del moto di questa sbarra. Potreste darmi una mano a capire come funzionano le cose?
La forza P rappresenta il peso della sbarra.
La linea azzurra rappresenta la presenza di un flusso sempre presente (come se ci fosse un getto d'acqua continuo sulla sbarra.
O è il punto nel quale la sbarra ruota. La distanza UO è generalemente diversa da quella "OP" (il punto in cui c'è il centro di massa della barra)
Per quello che ho capito io:
- posso rappresentare lo stato del sistema al tempo t, X(t) attraverso l'angolo x
- chiamo w la velocità angolare $ w=dx/dt $
- la forza generata dall'urto con la sbarra dovrebbe essere uguale a "flusso" dell'acqua * velocità dell'impatto, quindi $ f1 = flusso*v0*sin(x) $
- la forza peso contribuisce per $ m*g*sin(x) $
A questo punto vado in confusione
Se uguaglio $F=ma$ dove prendo $a = (dx)^2 / dt$ e per F prendo la Somma $ m*g*sin(x) - f1 $ mi verrebbe $ m * (dx^2)/dt = m*g*sin(x) - f1 $
e approssimando in un intorno di x = 0 sin(x) con x potrei scrivere una equazione differenziale del tipo $ (dx^2)/dt = K*x $ e risolvendola avere l'equaizone di moto.
Ma sono sicuro di sbagliare qualcosa, il ragionamento non mi sembra corretto, ma non so individuare il motivo ( a parte che non faccio fisica da anni )
La forza P rappresenta il peso della sbarra.
La linea azzurra rappresenta la presenza di un flusso sempre presente (come se ci fosse un getto d'acqua continuo sulla sbarra.
O è il punto nel quale la sbarra ruota. La distanza UO è generalemente diversa da quella "OP" (il punto in cui c'è il centro di massa della barra)
Per quello che ho capito io:
- posso rappresentare lo stato del sistema al tempo t, X(t) attraverso l'angolo x
- chiamo w la velocità angolare $ w=dx/dt $
- la forza generata dall'urto con la sbarra dovrebbe essere uguale a "flusso" dell'acqua * velocità dell'impatto, quindi $ f1 = flusso*v0*sin(x) $
- la forza peso contribuisce per $ m*g*sin(x) $
A questo punto vado in confusione
Se uguaglio $F=ma$ dove prendo $a = (dx)^2 / dt$ e per F prendo la Somma $ m*g*sin(x) - f1 $ mi verrebbe $ m * (dx^2)/dt = m*g*sin(x) - f1 $
e approssimando in un intorno di x = 0 sin(x) con x potrei scrivere una equazione differenziale del tipo $ (dx^2)/dt = K*x $ e risolvendola avere l'equaizone di moto.
Ma sono sicuro di sbagliare qualcosa, il ragionamento non mi sembra corretto, ma non so individuare il motivo ( a parte che non faccio fisica da anni
)
Risposte
Forse ci sono...
Se considero $ M = I * a $ con M il momento di F1, I il momento di inerzia dovuto al peso, e a l'accelerazione angolare, dovrei poter scrivere
$ I = m * r^2 $ ; $ a = (d^2 x)/dt $; $ M = phi * v_0 * sin(x)$
da cui
$ phi * v_0 * sin(x) = m * r^2 * (d^2 x)/dt $
dove $phi$ è il "flusso d'acqua al secondo" e $v_0$ è la velocità con cui arriva l'acqua nel punto di impatto
in un intorno di $x = 0$ posso scrivere $sin(x) = x$ da cui ottengo $ phi * v_0 * x = m * r^2 *(d^2 x)/dt $
quindi ponendo $gamma = phi*v_0 / (m*r^2)$ si avrebbe
$gamma * x(t) = (d^2 x)/dt $ e risolvendo l'equazione differenziale ed imponendo le condizioni iniziali di posizione e velocità trovare l'equazione del moto.
Ho sbagliato qualcosa?
Penso che il ragionamento adesso sia più sensato, ma forse sto trascurando qualcosa di importante o ho fatto qualche strafalcione.
Le cose che mi vengono in mente sono:
- la velocità è funzione dell'angolo e qui non ne sto tenendo conto;
- la quantità di moto dovuto all'urto dovrebbe tener conto del fatto che la barra/asta si stia muovendo e qui non lo faccio.
C'è qualcuno che può aiutarmi?
Se considero $ M = I * a $ con M il momento di F1, I il momento di inerzia dovuto al peso, e a l'accelerazione angolare, dovrei poter scrivere
$ I = m * r^2 $ ; $ a = (d^2 x)/dt $; $ M = phi * v_0 * sin(x)$
da cui
$ phi * v_0 * sin(x) = m * r^2 * (d^2 x)/dt $
dove $phi$ è il "flusso d'acqua al secondo" e $v_0$ è la velocità con cui arriva l'acqua nel punto di impatto
in un intorno di $x = 0$ posso scrivere $sin(x) = x$ da cui ottengo $ phi * v_0 * x = m * r^2 *(d^2 x)/dt $
quindi ponendo $gamma = phi*v_0 / (m*r^2)$ si avrebbe
$gamma * x(t) = (d^2 x)/dt $ e risolvendo l'equazione differenziale ed imponendo le condizioni iniziali di posizione e velocità trovare l'equazione del moto.
Ho sbagliato qualcosa?
Penso che il ragionamento adesso sia più sensato, ma forse sto trascurando qualcosa di importante o ho fatto qualche strafalcione.
Le cose che mi vengono in mente sono:
- la velocità è funzione dell'angolo e qui non ne sto tenendo conto;
- la quantità di moto dovuto all'urto dovrebbe tener conto del fatto che la barra/asta si stia muovendo e qui non lo faccio.
C'è qualcuno che può aiutarmi?
Per favore, non c'è nessuno che sa dirmi se quello che ho scritto è corretto?
Il problema in termini di scrittura di equazione risolutiva è semplice, mentre arrivare all'equazione del moto non è possibile in termini di funzioni elementari.
Quello che hai scritto va più o meno bene, a parte alcune imprecisioni, riscrivo qui il ragionamento per chiarire alcuni punti.
Per quanto riguarda il moto dell'acqua, se l'acqua rimbalza sulla barretta la forza non è quella che hai scritto perché avresti componenti sia in x (cioè orizzontale) che in y (cioè verticale), inoltre entrambe le componenti varierebbero al variare della posizione della barra:
$F_x=2*dot m v * sin(theta)*cos(theta)$
$F_y=2*dot m v * sin^2(theta)$
perché la velocità dell'acqua prima e dopo l'urto rimane in modulo uguale e pari a $v$.
Altrimenti per semplificare puoi assumere che l'acqua impatti sulla barretta e assuma istantaneamente la stessa velocità della barretta (scendendo poi eventualmente lungo la barretta).
In tale ipotesi la forza che l'acqua esercita sulla barretta sarebbe sempre solo lungo y e pari a $dot m v$ cioè prodotto del flusso d'acqua per la velocità dell'acqua al momento dell'impatto.
Tutto questo assumendo che la velocità della barretta nel punto di impatto sia molto più lenta della velocità dell'acqua, se no le cose si complicano ulteriormente.
Per quanto riguarda l'equazione del moto risolutiva basta scrivere l'equazione dei momenti angolari, rispetto al punto dove l'asta è incernierata.
$I ddot theta=-P*bar(OP)*sin theta + F d$
dove $I$ è il momento di inerzia della barra rispetto al punto in cui è incernierata
$P$ il peso della barra
$bar(OP)$ è la distanza del punto dove l'asta è incernierata dal centro di massa.
$F$ la forza dovuta al flusso d'acqua (supposta qui solo verticale applicando quindi la seconda ipotesi).
$theta$ l'angolo formato dalla barra con la verticale ($x$ nel disegno).
e $d$ la distanza del flusso d'acqua verticale con il punto dove è incernierata la barra, che resta costante al variare di $theta$ (ci sarà però un angolo $theta$ minimo in cui il flusso non impatterebbe più la barretta).
La soluzione in forma chiusa di tale equazione differenziale non si può trovare in termini di funzioni elementari (è chiaro che la barra ruoterebbe in maniera periodica comunque).
Se invece sei interessato alla posizione di equilibrio ti basta porre a zero il secondo membro e trovare l'angolo corrispondente.
Altrimenti puoi metterti in condizioni di angolo $theta$ molto piccolo (barra quasi verticale) e fare l'ipotesi di piccole oscillazioni assumendo $sin theta ~~ theta$.... a parte la considerazione che il flusso potrebbe non impattare più la barretta, a meno che esso si sposti e sia tale che vada a colpire la barretta sempre nello stesso punto (in quel caso avresti anche lì un $sin theta ~~ theta$ a fattore).
Quello che hai scritto va più o meno bene, a parte alcune imprecisioni, riscrivo qui il ragionamento per chiarire alcuni punti.
Per quanto riguarda il moto dell'acqua, se l'acqua rimbalza sulla barretta la forza non è quella che hai scritto perché avresti componenti sia in x (cioè orizzontale) che in y (cioè verticale), inoltre entrambe le componenti varierebbero al variare della posizione della barra:
$F_x=2*dot m v * sin(theta)*cos(theta)$
$F_y=2*dot m v * sin^2(theta)$
perché la velocità dell'acqua prima e dopo l'urto rimane in modulo uguale e pari a $v$.
Altrimenti per semplificare puoi assumere che l'acqua impatti sulla barretta e assuma istantaneamente la stessa velocità della barretta (scendendo poi eventualmente lungo la barretta).
In tale ipotesi la forza che l'acqua esercita sulla barretta sarebbe sempre solo lungo y e pari a $dot m v$ cioè prodotto del flusso d'acqua per la velocità dell'acqua al momento dell'impatto.
Tutto questo assumendo che la velocità della barretta nel punto di impatto sia molto più lenta della velocità dell'acqua, se no le cose si complicano ulteriormente.
Per quanto riguarda l'equazione del moto risolutiva basta scrivere l'equazione dei momenti angolari, rispetto al punto dove l'asta è incernierata.
$I ddot theta=-P*bar(OP)*sin theta + F d$
dove $I$ è il momento di inerzia della barra rispetto al punto in cui è incernierata
$P$ il peso della barra
$bar(OP)$ è la distanza del punto dove l'asta è incernierata dal centro di massa.
$F$ la forza dovuta al flusso d'acqua (supposta qui solo verticale applicando quindi la seconda ipotesi).
$theta$ l'angolo formato dalla barra con la verticale ($x$ nel disegno).
e $d$ la distanza del flusso d'acqua verticale con il punto dove è incernierata la barra, che resta costante al variare di $theta$ (ci sarà però un angolo $theta$ minimo in cui il flusso non impatterebbe più la barretta).
La soluzione in forma chiusa di tale equazione differenziale non si può trovare in termini di funzioni elementari (è chiaro che la barra ruoterebbe in maniera periodica comunque).
Se invece sei interessato alla posizione di equilibrio ti basta porre a zero il secondo membro e trovare l'angolo corrispondente.
Altrimenti puoi metterti in condizioni di angolo $theta$ molto piccolo (barra quasi verticale) e fare l'ipotesi di piccole oscillazioni assumendo $sin theta ~~ theta$.... a parte la considerazione che il flusso potrebbe non impattare più la barretta, a meno che esso si sposti e sia tale che vada a colpire la barretta sempre nello stesso punto (in quel caso avresti anche lì un $sin theta ~~ theta$ a fattore).
Grazie mille per la risposta.
L'acqua rimbalza sulla barretta. Posso trascurare il fatto che a un certo punto l'acqua può non urtare la barretta.
Dovrei fare l'ipotesi di piccole oscillazioni.
In pratica il fine è studiare la stabilità del sistema rispetto ai punti di equilibrio, e la prima parte del lavoro è proprio capire com'è fatta l'equazione di moto.
Ci ragiono un po' e se ho altre perplessità le scriverò qui sul forum.
Grazie ancora per avermi risposto
L'acqua rimbalza sulla barretta. Posso trascurare il fatto che a un certo punto l'acqua può non urtare la barretta.
Dovrei fare l'ipotesi di piccole oscillazioni.
In pratica il fine è studiare la stabilità del sistema rispetto ai punti di equilibrio, e la prima parte del lavoro è proprio capire com'è fatta l'equazione di moto.
Ci ragiono un po' e se ho altre perplessità le scriverò qui sul forum.
Grazie ancora per avermi risposto
Vorrei aggiungere una nota matamatica relativamente all'equazione
$I ddot{\theta} = -P\cdot \bar() \cdot\sin\theta + Fd$
Fatemela riscrivere per comodità di notazione
$a ddot{\theta} = b \cdot\sin\theta + c$
Una soluzione (magari non l'unica e magari non quella del problema! ma in questo caso probabilmente lo è...), in forma chiusa, dell'equazione differenziale la si può trovare con la sostituzione
$dot{\theta}^2 = A + B\sin\theta$
Differenziando l'ultima equazione
$2dot{\theta}ddot{\theta} = B\cos\theta dot{\theta}$
quindi
$ddot{\theta} = B/2\cos\theta $
quest'ultima la si può sostituire nell'equazione originaria (a proposito come si etichettano le formule?) ottenendo
$a B/2\cos\theta = b \cdot\sin\theta + c$
che si può risolvere in maniera esplicita. Le costanti A e B si trovano imponendo le condizioni al contorno (due, trattandosi di eq. diff. del secondo ordine).
$I ddot{\theta} = -P\cdot \bar(
Fatemela riscrivere per comodità di notazione
$a ddot{\theta} = b \cdot\sin\theta + c$
Una soluzione (magari non l'unica e magari non quella del problema! ma in questo caso probabilmente lo è...), in forma chiusa, dell'equazione differenziale la si può trovare con la sostituzione
$dot{\theta}^2 = A + B\sin\theta$
Differenziando l'ultima equazione
$2dot{\theta}ddot{\theta} = B\cos\theta dot{\theta}$
quindi
$ddot{\theta} = B/2\cos\theta $
quest'ultima la si può sostituire nell'equazione originaria (a proposito come si etichettano le formule?) ottenendo
$a B/2\cos\theta = b \cdot\sin\theta + c$
che si può risolvere in maniera esplicita. Le costanti A e B si trovano imponendo le condizioni al contorno (due, trattandosi di eq. diff. del secondo ordine).
"goblyn":
[...]
$a B/2\cos\theta = b \cdot\sin\theta + c$
che si può risolvere in maniera esplicita. Le costanti A e B si trovano imponendo le condizioni al contorno (due, trattandosi di eq. diff. del secondo ordine).
Vorrei proprio vedere come arrivi alla soluzione finale... ti ricordo che devi scrivere quanto vale la funzione $theta(t)$ e non mi sembra che hai fatto passi che ti aiutino a far questo con le sostituzioni che hai fatto.
Ti suggerisco di non perderci tempo, il fatto che la soluzione non esiste in termini di funzioni elementari è cosa nota.
"Faussone":
Vorrei proprio vedere come arrivi alla soluzione finale... ti ricordo che devi scrivere quanto vale la funzione $theta(t)$ e non mi sembra che hai fatto passi che ti aiutino a far questo con le sostituzioni che hai fatto.
Ti suggerisco di non perderci tempo, il fatto che la soluzione non esiste in termini di funzioni elementari è cosa nota.
Beh la soluzione dell'equazione alla quale sono arrivato io è banale, sia come metodo per arrivarci che per risultato, essendo essa una costante... quindi è solo una soluzione particolare dell'equazione differenziale data (inutile quindi per il problema, sorry), che però a quel punto poteva essere trovata molto più banalmente ponendo a zero la derivata seconda di $\theta$ e non coi giri che ho fatto io.
In effetti il metodo che ho proposto è davvero molto utile in problemi in cui nelle equazioni figura prevalentemente $dot(\theta)^2$, come per esempio in equazioni riportanti l'energia cinetica di sistemi rotanti. Magari questo suggerimento, seppur fuori topic, a qualcuno interessa, anche se pensi che abbia perso tempo
Sul fatto che non ho fatto alcun passo avanti verso la soluzione in forma chiusa di questo problema invece hai perfettamente ragione e, a quanto pare, non potrò mai farne!
"Faussone":
Per quanto riguarda il moto dell'acqua, se l'acqua rimbalza sulla barretta la forza non è quella che hai scritto perché avresti componenti sia in x (cioè orizzontale) che in y (cioè verticale), inoltre entrambe le componenti varierebbero al variare della posizione della barra:
$F_x=2*dot m v * sin(theta)*cos(theta)$
$F_y=2*dot m v * sin^2(theta)$
perché la velocità dell'acqua prima e dopo l'urto rimane in modulo uguale e pari a $v$.
Non ho capito come tener conto della velocità dell'asta.
La Forza perpendicolare alla barra, dovuta all'urto (elastico) dell'acqua, nel punto di contatto dovrebbe generare il momento: $M_a = m_a * (\Delta v_{perpendicolare}) * l $
Con $ l $ la lunghezza UO e $\Delta v$ la differenza fra la velocità (costante) dell'acqua e la velocità di trascinamento dell'asta.
Ma come trovo la velocità di trascinamento? Se è la $\omega$, velocità angolare della barretta che ruota la $v_{trascinamento} = w*l$ ?
Quindi $v_{a_perpendicolare} = v_a * sin(\theta)$ e $v_{asta} = \omega * l$ ?
Accettate le mie scuse, p solo che p un bel po' che ci ragiono e cerco di studiare la teoria ma penso di non essere arrivato ad una soluzione corretta.
Ho diviso gli argomenti per cercare di spezzare i dubbi che avevo in http://www.matematicamente.it/forum/equazione-del-moto-rotazione-di-una-barra-t58660.html, perchè magari sui singoli pezzi, qualcuno riusciva o aveva voglia di rispondere.
Il problema è quello dell'asta che ruota al link sopra. Provo a spiegare cosa devo farci, magari è più semplice farmi capire.
In pratica dato questo sistema (asta che ruota per via della massa d una delle estremità e acqua che rimbalza sull'asta) devo studiarne i punti di equilibrio e la stabilità.
Per prima cosa dovrei trovare l'equazione di moto in termini dell'angolo x.
- per questo ho pensato alla seconda equazione cardinale in cui la somma dei momenti sul perno è ugual al momento di inerzia per l'accelerazione angolare $ M = I*\ddot{\theta} $
Ma non riesco a calcolare in modo corretto (almeno credo) $M$.
- Ho capito che la massa all'estremità crea un momento dovuto alla gravità pari a $M_p = m * g * r * sin(\theta)$
- ho capito che, urtando, l'acqua genera un momento che si oppone alla rotazione dell'asta (che ruoterebbe in senso orario se non ci fosse l'acqua)
Per calcolare questo momento ho pensato di farlo tramite $M_a = m_a * (\Delta v) * l$ con $l$ la distanza dal perno e $\Delta v$ il risultato della differenza di velocità fra la velocità (costante) dell'acqua e la velocità dell'asta che ruota (da qui il paragone con il muro in movimento)
I dubbi sono su come calcolare quel $\Delta v$ e sul fatto che il momento trovato non sia "omogeneo" con quello dovuto alla massa all'estremità.
Nella tua risposta non capisco $x, y$ a quale sistema di riferimento si riferiscano e perché sono scritte in quel modo (perchè 2 perchè $sin^2$?).
Mi scuso ancora, spero di essere stato un po' più chiaro e che ci sia qualcuno disposto ad aiutarmi a sbloccare la situazione altrimenti dovrò presentare il progetto sbagliato (è la mia ultima materia all'università, vorrei farla bene)
Ho diviso gli argomenti per cercare di spezzare i dubbi che avevo in http://www.matematicamente.it/forum/equazione-del-moto-rotazione-di-una-barra-t58660.html, perchè magari sui singoli pezzi, qualcuno riusciva o aveva voglia di rispondere.
Il problema è quello dell'asta che ruota al link sopra. Provo a spiegare cosa devo farci, magari è più semplice farmi capire.
In pratica dato questo sistema (asta che ruota per via della massa d una delle estremità e acqua che rimbalza sull'asta) devo studiarne i punti di equilibrio e la stabilità.
Per prima cosa dovrei trovare l'equazione di moto in termini dell'angolo x.
- per questo ho pensato alla seconda equazione cardinale in cui la somma dei momenti sul perno è ugual al momento di inerzia per l'accelerazione angolare $ M = I*\ddot{\theta} $
Ma non riesco a calcolare in modo corretto (almeno credo) $M$.
- Ho capito che la massa all'estremità crea un momento dovuto alla gravità pari a $M_p = m * g * r * sin(\theta)$
- ho capito che, urtando, l'acqua genera un momento che si oppone alla rotazione dell'asta (che ruoterebbe in senso orario se non ci fosse l'acqua)
Per calcolare questo momento ho pensato di farlo tramite $M_a = m_a * (\Delta v) * l$ con $l$ la distanza dal perno e $\Delta v$ il risultato della differenza di velocità fra la velocità (costante) dell'acqua e la velocità dell'asta che ruota (da qui il paragone con il muro in movimento)
I dubbi sono su come calcolare quel $\Delta v$ e sul fatto che il momento trovato non sia "omogeneo" con quello dovuto alla massa all'estremità.
Nella tua risposta non capisco $x, y$ a quale sistema di riferimento si riferiscano e perché sono scritte in quel modo (perchè 2 perchè $sin^2$?).
Mi scuso ancora, spero di essere stato un po' più chiaro e che ci sia qualcuno disposto ad aiutarmi a sbloccare la situazione altrimenti dovrò presentare il progetto sbagliato
(è la mia ultima materia all'università, vorrei farla bene)
Finalmente ho scritto l'equazione del moto ed il corrispondente sistema:
[tex]\left\{
\begin{array}{lr}
\frac{d\theta}{dt} = \omega = v_{\theta}(\theta, \omega) \\
\frac{d\omega}{dt} = - A * sin(\theta) + B*v_a - \frac{B * \omega}{sin(\theta)} = v_{\omega}(\theta, \omega)
\end{array}\right}[/tex]
Sapendo che $C = B*v_a$, $0 \leq \frac{C}{A} \leq 1$ ho trovato gli autovalori della matrice jacobiana applicata al punto di equilibrio $P_{eq} = (0, arcsin(\frac{C}{A}))$ che è
[tex]H = \left[
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-A * \sqrt{1 - (\frac{C}{A})^2} & -\frac{B*A }{C}
\end{array}
\right][/tex]
Calcolando gli autovalori tramite polinomio caratteristico ottengo dovrei riuscire a capire se e quando il sistema oscilla. (speriamo bene)
[tex]\left\{
\begin{array}{lr}
\frac{d\theta}{dt} = \omega = v_{\theta}(\theta, \omega) \\
\frac{d\omega}{dt} = - A * sin(\theta) + B*v_a - \frac{B * \omega}{sin(\theta)} = v_{\omega}(\theta, \omega)
\end{array}\right}[/tex]
Sapendo che $C = B*v_a$, $0 \leq \frac{C}{A} \leq 1$ ho trovato gli autovalori della matrice jacobiana applicata al punto di equilibrio $P_{eq} = (0, arcsin(\frac{C}{A}))$ che è
[tex]H = \left[
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-A * \sqrt{1 - (\frac{C}{A})^2} & -\frac{B*A }{C}
\end{array}
\right][/tex]
Calcolando gli autovalori tramite polinomio caratteristico ottengo dovrei riuscire a capire se e quando il sistema oscilla. (speriamo bene)
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