Aiuto Sistema Eq Differenziali per Circuito
Ciao a tutti,
come posso risolvere questo sistema?? Non riesco ad arrivare ad un'unica equazione differenziale con un'unica incognita per nessuna delle 3 incognite
${(U_C=-L_2d/(dt)i_(L2)-Cd/(dt)U_C),(L_1d/(dt)i_(L1)=L_2d/(dt)i_(L2)),(Cd/(dt)U_C=i_(L1)+i_(L2)):}$
le incognite sono $U_C, i_(L1), i_(L2)$
grazie mille
come posso risolvere questo sistema?? Non riesco ad arrivare ad un'unica equazione differenziale con un'unica incognita per nessuna delle 3 incognite
${(U_C=-L_2d/(dt)i_(L2)-Cd/(dt)U_C),(L_1d/(dt)i_(L1)=L_2d/(dt)i_(L2)),(Cd/(dt)U_C=i_(L1)+i_(L2)):}$
le incognite sono $U_C, i_(L1), i_(L2)$
grazie mille
Risposte
ho trovato qualcosa ma non so se possa essere corretto:
$frac{L_2C}{L_2/L_1+1}d^2/(dt^2)U_C+Cd/(dt)U_C-U_C=0$
è giusto???
$frac{L_2C}{L_2/L_1+1}d^2/(dt^2)U_C+Cd/(dt)U_C-U_C=0$
è giusto???
Presumo sia giusto.
Ho fatto i conti e mi tornava come a te, tranne per un segno.
Ho controllato, ed avevo sbagliato (guarda caso...).
A sto punto il mio risultato coincide col tuo
Ho fatto i conti e mi tornava come a te, tranne per un segno.
Ho controllato, ed avevo sbagliato (guarda caso...).
A sto punto il mio risultato coincide col tuo
Innanzitutto grazie mille 
Ma senza farei ntegrazioni, si riesce a trovare un'equazione con $i_(L1)$ incognita???
Ma senza farei ntegrazioni, si riesce a trovare un'equazione con $i_(L1)$ incognita???
Mi sembra di no. Ci ho provato un po', ma non ci sono riuscito.
provo a scrivere il sistema originario: (il problema chiede di trovare proprio le espressione delle 3 incognite in funzione del tempo)
${(U_C+U_(L2)+U_R=0),(U_(L1)=U_(L2)),(i_C=i_(L1)+i_(L2)),(i_C=i_R),(U_R=Ri_R),(i_C=Cd/(dt)U_C),(U_(L1)=L_1d/(dt)i_(L1)),(U_(L2)=L_2d/(dt)i_(L2)):}$
...ho tentato di trovare $i_(L1)$ ma non ci sono riuscito. Il problema è che la soluzione scrive l'espressione di $i_(L1)$ (non so perchè non le altre
), che potrei ricavare conoscendo l'espressione di Uc, ma mi sembra strano che scriva la soluzione di $i_(L1)$ se non è possibile scrivere direttamente un'equazione, da qui nasce il mio dubbio. 
Mi scirve anche quanto valgono i coefficienti dell'equazione caratteristica
${(U_C+U_(L2)+U_R=0),(U_(L1)=U_(L2)),(i_C=i_(L1)+i_(L2)),(i_C=i_R),(U_R=Ri_R),(i_C=Cd/(dt)U_C),(U_(L1)=L_1d/(dt)i_(L1)),(U_(L2)=L_2d/(dt)i_(L2)):}$
...ho tentato di trovare $i_(L1)$ ma non ci sono riuscito. Il problema è che la soluzione scrive l'espressione di $i_(L1)$ (non so perchè non le altre
), che potrei ricavare conoscendo l'espressione di Uc, ma mi sembra strano che scriva la soluzione di $i_(L1)$ se non è possibile scrivere direttamente un'equazione, da qui nasce il mio dubbio. Mi scirve anche quanto valgono i coefficienti dell'equazione caratteristica
Alla luce del nuovo sistema provo ad esprimere tutto in funzione di $i_(L_1)$
$U_C+U_(L_1)+U_R=0$
$U_R=R*i_R = R*(i_(L_1)+i_(L_2)) = R*(i_(L_1)+\int_(t_0)^t L_1/L_2 d/(d tau) i_(L_1)(tau) d(tau))$
nel caso in cui le induttanze non dipendano dal tempo, allora:
$U_R=R*{i_(L_1)+L_1/L_2*[i_(L_1)-i_(L_1)(t_0)]}$
$U_(L_2)=U_(L_1)=L_1*d/(dt) i_(L_1)$
$U_C = 1/(RC) \int_(t_0)^t U_R(tau) d(tau) = 1/(RC)*\int_(t_0)^t R*{i_(L_1)+L_1/L_2*[i_(L_1)-i_(L_1)(t_0)]}d(tau) = 1/C*(1+L_1/L_2)*\int_(t_0)^t i_(L_1)(tau) d(tau) - L_1/(C*L_2)*i_(L_1)(t_0)*(t-t_0)$
quindi:
$1/C*(1+L_1/L_2)*\int_(t_0)^t i_(L_1)(tau) d(tau) - L_1/(C*L_2)*i_(L_1)(t_0)*(t-t_0) + L_1*d/(dt) i_(L_1) + R*{i_(L_1)+L_1/L_2*[i_(L_1)-i_(L_1)(t_0)]} = 0$
che dipendono tutte da $i_(L_1)$, che ne dite??
$U_C+U_(L_1)+U_R=0$
$U_R=R*i_R = R*(i_(L_1)+i_(L_2)) = R*(i_(L_1)+\int_(t_0)^t L_1/L_2 d/(d tau) i_(L_1)(tau) d(tau))$
nel caso in cui le induttanze non dipendano dal tempo, allora:
$U_R=R*{i_(L_1)+L_1/L_2*[i_(L_1)-i_(L_1)(t_0)]}$
$U_(L_2)=U_(L_1)=L_1*d/(dt) i_(L_1)$
$U_C = 1/(RC) \int_(t_0)^t U_R(tau) d(tau) = 1/(RC)*\int_(t_0)^t R*{i_(L_1)+L_1/L_2*[i_(L_1)-i_(L_1)(t_0)]}d(tau) = 1/C*(1+L_1/L_2)*\int_(t_0)^t i_(L_1)(tau) d(tau) - L_1/(C*L_2)*i_(L_1)(t_0)*(t-t_0)$
quindi:
$1/C*(1+L_1/L_2)*\int_(t_0)^t i_(L_1)(tau) d(tau) - L_1/(C*L_2)*i_(L_1)(t_0)*(t-t_0) + L_1*d/(dt) i_(L_1) + R*{i_(L_1)+L_1/L_2*[i_(L_1)-i_(L_1)(t_0)]} = 0$
che dipendono tutte da $i_(L_1)$, che ne dite??
Osservazione:
ho lasciato volutamente $i_(L_1)(t_0)$ non sapendo se c'è una corrente pre-esistente, se fosse uguale a zero:
$1/C*(1+L_1/L_2)*\int_(t_0)^t i_(L_1)(tau) d(tau) + L_1*d/(dt) i_(L_1) + R*[1+L_1/L_2]*i_(L_1) = 0$
imponendo poi $I_(L_1) = \int_(0)^t i_(L_1)(tau) d(tau)$:
$1/C*(1+L_1/L_2)*I_(L_1) + R*[1+L_1/L_2]*I'_(L_1) + L_1*I''_(L_1)=0$
ho lasciato volutamente $i_(L_1)(t_0)$ non sapendo se c'è una corrente pre-esistente, se fosse uguale a zero:
$1/C*(1+L_1/L_2)*\int_(t_0)^t i_(L_1)(tau) d(tau) + L_1*d/(dt) i_(L_1) + R*[1+L_1/L_2]*i_(L_1) = 0$
imponendo poi $I_(L_1) = \int_(0)^t i_(L_1)(tau) d(tau)$:
$1/C*(1+L_1/L_2)*I_(L_1) + R*[1+L_1/L_2]*I'_(L_1) + L_1*I''_(L_1)=0$
Il fatto è: come si risolve quell'equazione a cui sei giunto??? 
Solitamente qui si arriva ad un'equazione differenziale con un'incognita, e si cerca di non passare attraverso integrali in quanto vengono aggiunte nuove costanti di indeterminazione.
Si, $i_(L1)(t=0)$ ha un valore diverso da zero quindi hai fatto bene a lasciarla
La soluzione riporta l'equazione caratteristica dell'equazione differenziale, che non so in che variabile possa essere: $s^2+200s+1*10^5=0$
Ora risporto i dati in caso qualcuno ha tempo e voglia di aiutarmi :
$R=4/3Omega, C=1.5mF, L_1=10mH, L_2=20mH$ e le condizioni iniziali che ho trovato (quelle sono giuste ) sono:
$i_(L1)(t=0)=12, i_(L2)(t=0)=6, U_C(t=0)=0$
Ho visto solo ora che nella soluzione viene riposrtato per primo un termine chiamato $U_s$ che potrebbe essere l'ampiezza del termine in seno della soluzione di $U_c$. Però a lui risulta =40, a me =39,0619. Non è quello che mi preoccupa, è che l'equazione mia caratteristica risulta diversa dalla sua: dove lui ha 200s, io ho 150s
Solitamente qui si arriva ad un'equazione differenziale con un'incognita, e si cerca di non passare attraverso integrali in quanto vengono aggiunte nuove costanti di indeterminazione.Si, $i_(L1)(t=0)$ ha un valore diverso da zero quindi hai fatto bene a lasciarla
La soluzione riporta l'equazione caratteristica dell'equazione differenziale, che non so in che variabile possa essere: $s^2+200s+1*10^5=0$Ora risporto i dati in caso qualcuno ha tempo e voglia di aiutarmi
:$R=4/3Omega, C=1.5mF, L_1=10mH, L_2=20mH$ e le condizioni iniziali che ho trovato (quelle sono giuste
) sono:$i_(L1)(t=0)=12, i_(L2)(t=0)=6, U_C(t=0)=0$
Ho visto solo ora che nella soluzione viene riposrtato per primo un termine chiamato $U_s$ che potrebbe essere l'ampiezza del termine in seno della soluzione di $U_c$. Però a lui risulta =40, a me =39,0619. Non è quello che mi preoccupa, è che l'equazione mia caratteristica risulta diversa dalla sua: dove lui ha 200s, io ho 150s
Per risolverla o si fa uso della teoria delle equazioni differenziali, oppure, come immagino, si usa la Trasformata di lkaplace e si giunge alla equazione in $s$.
si si con le equazioni differenziali vorrei farlo. Dopo lo provo a fare con Laplace.
Aggiornamento: l'equazione caratteristica che ha trovato lui $s^2+200s+10^5=0$ è riferita a Uc perchè utilizzando questa arrivo alla soluzione finale corretta con l'ampiezza del termine in seno =40. Quindi o è sbagliata la sua eq caratteristica, o è sbagliata l'equazione differenziale a cui sono giunto, ma Fioravante Patrone ha confermato che viene anche a lui così e i conti non mi sembrano sbagliati
Aggiornamento
: l'equazione caratteristica che ha trovato lui $s^2+200s+10^5=0$ è riferita a Uc perchè utilizzando questa arrivo alla soluzione finale corretta con l'ampiezza del termine in seno =40. Quindi o è sbagliata la sua eq caratteristica, o è sbagliata l'equazione differenziale a cui sono giunto, ma Fioravante Patrone ha confermato che viene anche a lui così e i conti non mi sembrano sbagliati
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