Aiuto problema giuida circolare e asta rigida
Salve, sono nuovo. Non riesco a risolvere un problema di statica del corpo rigido. Il testo è il seguente:
Un'asta omogenea di massa m, è vincolata a scorrere all'interno di una guida circolare fissa e priva di attrito di raggio r e disposta in un piano verticale. La lunghezza dell'asta è uguale al raggio della guida. Una forza F, diretta lungo l'asta e applicata a un suo estremo, permette all'asta di rimanere in equilibrio in modo che l'altro estremo si trovi nel punto più basso della guida.
Determinare l'intensità della forza F e le reazioni vincolari nei punti A e B.
Eliminata la forza F, calcolare la velocità angolare dell'asta nell'istante in cui è orizzontale.
Ho risolto il primo punto nel seguente modo:
$ { ( sumF=0 ),( sumM=0 ):} $
$ { ( mg-R1-R2y-Fx=0 ),( R2x-Fx=0):} $
Prendendo come polo B:
$ mgr/2sen30°-R1rsen30°=0 $
Da qui mi ricavo R1 e quindi ho un sistema di 2 equazioni in 2 incognite.
Non so se ho sbagliato già da qui, inoltre ho molte difficoltà nel risolvere il secondo punto
. Se qualcuno mi può aiutare ne sarei molto grato
Un'asta omogenea di massa m, è vincolata a scorrere all'interno di una guida circolare fissa e priva di attrito di raggio r e disposta in un piano verticale. La lunghezza dell'asta è uguale al raggio della guida. Una forza F, diretta lungo l'asta e applicata a un suo estremo, permette all'asta di rimanere in equilibrio in modo che l'altro estremo si trovi nel punto più basso della guida.
Determinare l'intensità della forza F e le reazioni vincolari nei punti A e B.
Eliminata la forza F, calcolare la velocità angolare dell'asta nell'istante in cui è orizzontale.
Ho risolto il primo punto nel seguente modo:
$ { ( sumF=0 ),( sumM=0 ):} $
$ { ( mg-R1-R2y-Fx=0 ),( R2x-Fx=0):} $
Prendendo come polo B:
$ mgr/2sen30°-R1rsen30°=0 $
Da qui mi ricavo R1 e quindi ho un sistema di 2 equazioni in 2 incognite.
Non so se ho sbagliato già da qui, inoltre ho molte difficoltà nel risolvere il secondo punto
. Se qualcuno mi può aiutare ne sarei molto grato
Risposte
Il primo punto lo risolvi molto semplic3mente con una equazione di momento rispetto al centro del cerchio: le reazioni vincolari puntano verso il centro, quindi l'unica incognita e' F
$F*Rcos30-mgR*cos30*cos60=0$ Da cui $F=mg/2$
Le reazioni vincolari le trovi ora scomponendo le forze su due assi e scrivendo 2 eq. di equilibrio in cui $sumF=0$.
Il secondo punto lo trovi con la conservazione dell'energia. Prova e ti seguiamo
$F*Rcos30-mgR*cos30*cos60=0$ Da cui $F=mg/2$
Le reazioni vincolari le trovi ora scomponendo le forze su due assi e scrivendo 2 eq. di equilibrio in cui $sumF=0$.
Il secondo punto lo trovi con la conservazione dell'energia. Prova e ti seguiamo
Ok, grazie, ho risolto il primo punto. Avevo sbagliato gli angoli. Il triangolo è equilatero quindi ha angoli di 60, Come hai detto tu se prendiamo come polo il centro della circonferenza, dalle equazioni da te scritte si ricava che: $ F=mg/2 $ . Successivamente possiamo scrivere il seguente sistema:
$ { ( R2y+R1+Fy-mg=0),( R2x-Fx=0):} $
Dalla seconda ricavo subito che:
$ R2sen60°-Fsen60°=0rArr R2-F=0rArr R2=F $
Dalla prima quindi posso scrivere:
$ mg/2cos60°+R1+mg/2cos60°-mg=0 $
$ mg/4+R1+mg/4-mg=0 $
$ R1=mg/2 $
In definitiva:
$ R1=R2=F=mg/2 $
A questo punto per il secondo suppongo che bisogna usare come da te suggerito la conservazione dell'energia meccanica in quanto non siamo in presenza di attrito. Mi chiedo se la formula da utilizzare sia la seguente:
$ mghcm=1/2Iomega ^2+1/2mv^2 $
(Prendendo come livello di riferimento 0 per l'energia potenziale quello in cui l'asta è orizzontale)
Da questa ricordando che
$ omega =v/r $
Posso ricavare v e quindi omega, ma credo che ci sia qualche problema in questo mio ragionamento.
$ { ( R2y+R1+Fy-mg=0),( R2x-Fx=0):} $
Dalla seconda ricavo subito che:
$ R2sen60°-Fsen60°=0rArr R2-F=0rArr R2=F $
Dalla prima quindi posso scrivere:
$ mg/2cos60°+R1+mg/2cos60°-mg=0 $
$ mg/4+R1+mg/4-mg=0 $
$ R1=mg/2 $
In definitiva:
$ R1=R2=F=mg/2 $
A questo punto per il secondo suppongo che bisogna usare come da te suggerito la conservazione dell'energia meccanica in quanto non siamo in presenza di attrito. Mi chiedo se la formula da utilizzare sia la seguente:
$ mghcm=1/2Iomega ^2+1/2mv^2 $
(Prendendo come livello di riferimento 0 per l'energia potenziale quello in cui l'asta è orizzontale)
Da questa ricordando che
$ omega =v/r $
Posso ricavare v e quindi omega, ma credo che ci sia qualche problema in questo mio ragionamento.
Molto semplicemente, l'asta ruota rigidamente rispetto al centro
O del cerchio. quindi basta scrivere $mgh_i=I_oomega^2/2$, dove $h_i$ è la quota iniziale del cdm dell asta rispetto alla sua posizione orizzontale e $I_o$ il momento di inerzia dell'asta rispetto al centro O
O del cerchio. quindi basta scrivere $mgh_i=I_oomega^2/2$, dove $h_i$ è la quota iniziale del cdm dell asta rispetto alla sua posizione orizzontale e $I_o$ il momento di inerzia dell'asta rispetto al centro O
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