Aiuto per un problema di fisica?!

themamugian
Sapendo che il periodo di rivoluzione della luna è circa 28 gg e che il raggio della terra è circa 6371 Km e che g=9.81 m/s^2, calcolare la distanza Terra - Luna.

Ho cercato di applicare le leggi di Keplero, mi sono trovato con la velocità di orbita della luna, ma non riesco a capire effettivamente come calcolare la distanza Terra Luna con questi dati. Sarebbe molto apprezzato un aiuto.

Risposte
Shackle
"themamugian":

Ho cercato di applicare le leggi di Keplero, mi sono trovato con la velocità di orbita della luna, ma non riesco a capire effettivamente come calcolare la distanza Terra Luna con questi dati. Sarebbe molto apprezzato un aiuto.


Ecco, qui invece apprezziamo molto che lo studente ci faccia vedere i suoi ragionamenti , esponga le sue equazioni e i suoi calcoli, e infine i suoi dubbi . In questa maniera, l'aiuto arriva, sicuramente.

themamugian
"Shackle":
[quote="themamugian"]
Ho cercato di applicare le leggi di Keplero, mi sono trovato con la velocità di orbita della luna, ma non riesco a capire effettivamente come calcolare la distanza Terra Luna con questi dati. Sarebbe molto apprezzato un aiuto.


Ecco, qui invece apprezziamo molto che lo studente ci faccia vedere i suoi ragionamenti , esponga le sue equazioni e i suoi calcoli, e infine i suoi dubbi . In questa maniera, l'aiuto arriva, sicuramente.[/quote]

Bene provo a spiegarmi un attimo di più. Ho 3 dati ed onestamente non riesco ad applicare g. Ho pensato che “sapendo che il quadrato della rivoluzione di un pianeta e direttamente proporzionale al cubo della distanza media tra il pianeta e il sole”, di calcolare tale distanza ma non mi sembra utile essendo che non mi è stata data la distanza terra sole. Volevo usare la triangolazione ma per mancanza di dati mi sembra impossibile. Ho trovato anche la velocità della luna, usando V=2pi r/T.

Si può anche trovare il periodo di rivoluzione della terra, visto che mi è stato dato il raggio ma, anche questo come la velocità della luna non mi sembrano dati utili.
L’unica cosa che mi viene in mente è: essendo la distanza percorsa durante una rivoluzione completa la lunghezza dell’intera circonferenza (della rivoluzione?) posso usare l’inversa r=C/2pi per avere un raggio che dovrebbe appunto essere la distanza dalla terra (?). Però non avrei usato g.

Non ho trovato esempi simili al mio e sul mio libro di riferimento questo argomento e spiegato poveramente in due pagine. È per questo che non ho esposto più di quel tanto e per cui non riesco bene a capire.

mgrau
L'accelerazione centripeta della Luna è $a_L = v^2/R_(L) = (2piR_(L)/T)^2/R_L = ((4pi^2)/T^2)R_L$
L'accelerazione gravitazionale varia come $R^(-2)$ quindi $(g_L/g_T) = (R_T/R_L)^2$
Deve essere $a_L = g_L$, quindi...

Shackle
A voler essere precisi, il problema Terra-Luna è un classico problema a due corpi. Entrambi orbitano attorno al comune centro di massa , che non è al centro della Terra, si trova a circa 1700 km sotto la superficie terrestre, se ricordo bene. Ma semplifichiamo, e supponiamo che l’orbita della Luna sia circolare e centrata nel centro della Terra. La velocità della Luna è esprimibile come:

$v = (2pir)/T$

in cui T è il periodo, noto. Ma ci sono due incognite, la velocità e il raggio. Ci vuole una seconda equazione. Sulla Luna agisce la forza di attrazione gravitazionale esercitata dalla Terra, che funzione da forza centripeta. Uguaglia la forza centripeta alla forza di attrazione gravitazionale : semplificando la massa della Luna ottieni:

$v^2/r=(GM)/r^2$

da cui ricavi : $v=sqrt ((GM)/r)$

Ora hai le 2 equazioni , che messe insieme fanno la 3^ legge di Keplero.
Ti devi trovare però ancora la massa M della Terra. Ecco a che cosa servono la $g$ sulla terra, e il raggio terrestre $R_T$ .

Ti ho detto tutto, vai.

themamugian
"Shackle":
A voler essere precisi, il problema Terra-Luna è un classico problema a due corpi. Entrambi orbitano attorno al comune centro di massa , che non è al centro della Terra, si trova a circa 1700 km sotto la superficie terrestre, se ricordo bene. Ma semplifichiamo, e supponiamo che l’orbita della Luna sia circolare e centrata nel centro della Terra. La velocità della Luna è esprimibile come:

$v = (2pir)/T$

in cui T è il periodo, noto. Ma ci sono due incognite, la velocità e il raggio. Ci vuole una seconda equazione. Sulla Luna agisce la forza di attrazione gravitazionale esercitata dalla Terra, che funzione da forza centripeta. Uguaglia la forza centripeta alla forza di attrazione gravitazionale : semplificando la massa della Luna ottieni:

$v^2/r=(GM)/r^2$

da cui ricavi : $v=sqrt ((GM)/r)$

Ora hai le 2 equazioni , che messe insieme fanno la 3^ legge di Keplero.
Ti devi trovare però ancora la massa M della Terra. Ecco a che cosa servono la $g$ sulla terra, e il raggio terrestre $R_T$ .

Ti ho detto tutto, vai.


Se prendo la formula di forza di attrazione gravitazionale su di una massa m è: $F=G(mMt)/(R^2t)$
da cui ottengo $Mt=(g*R^2t)/G$
Mi calcolo la massa della terra, e mi risulta. Ora, però non posso ancora calcolare la velocità... perché mi manca il raggio, o devo usare quello della terra? Ma anche trovata la velocità dopo cosa me ne faccio?
La mia intenzione è di usare Keplero ovviamente, quindi $T^2 = (4pi^2)/(GMs) r^3= k*r^3$.
Così facendo dovrei essere in grado di calcolare quella che è la costante x il cubo del raggio, ma ho abbastanza dati per avere anche la costante e basta, appunto $(4pi^2)/(GMs)$.
Se poi prendo il risultato completo di K*R^3 e lo divido per la K dovrei ottenere il raggio al cubo, quindi poi mettendolo sotto radice cubica quello che è il risultato dovrebbe essere il raggio della luna. Ma quel r^3*k non dovrebbe essere la distanza terra-luna essendo che "il quadrato del periodo di rivoluzione di un pianeta (questo caso luna satellite) è direttamente proporzionale al cubo della distanza media tra il pianeta e il sole (in questo caso la terra)"?

Sono un po' perso. So che dovrei già esserci arrivato chiedo un po' di pazienza :oops:

Shackle
Rileggi attentamente le risposte avute , c’è scritto tutto ciò che devi fare.

Shackle
Ti ripeto che cosa devi fare , perchè forse non lo hai capito.
Hai trovato la massa della Terra , poiché : $g = (GM)/R_t^2$ , da cui ricavi $M$ . Anzi, a te interessa il prodotto $GM=gR_t^2$ . Questo prodotto si chiama “costante gravitazionale “ del pianeta di massa $M$.

Ora devi trovare il raggio dell'orbita lunare e la sua velocità . Hai due equazioni :

$v = (2pir)/T$
$v = sqrt((GM)/r)$

uguagliando i secondi membri , hai : $ (2pir)/T = sqrt((GM)/r)$

qui l'unica incognita è il raggio $r$ dell'orbita lunare . Sotto radice c’ è la costante gravitazionale divisa per $r$ . Sei in grado di risolvere , cioè si trovare $r$ ?
Trovato il raggio , ti trovi la velocità usando la prima equazione .

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