Aiuto passaggio Goldstein (Meccanica Classica)
Ciao a tutti, probabilmente oggi sono particolarmente tonto, ma non riesco a capire un passaggio del libro "Meccanica Classica" del Goldstein (§ 3.6). In pratica ho la funzione [tex]f(r)[/tex]. Il passaggio che non mi è chiaro è come dalla formula
\[ \left(\frac{\partial f}{\partial r} \right)_{r=r_0}<-3\frac{f(r_0)}{r_0} \]
si passi alla formula
\[ \left( \frac{d \ln f}{d \ln r} \right)_{r=r_0}>-3 \]
(con l'ipotesi che \( f(r_0) / r_0 < 0 \) ). Non mi spiego in particolare come ci sia il cambio di verso della disequazione. Per le derivate dovrei esserci, nel senso che \( \frac{1}{f(r)}\frac{\partial f}{\partial r}= \frac {d\ln f}{dr} \), quindi \( \frac {d}{dr}\ln f=\frac{1}{r}\frac{d}{d \ln r}\ln f \). Qualcuno riesce a spiegarmi i passaggi intermedi?
\[ \left(\frac{\partial f}{\partial r} \right)_{r=r_0}<-3\frac{f(r_0)}{r_0} \]
si passi alla formula
\[ \left( \frac{d \ln f}{d \ln r} \right)_{r=r_0}>-3 \]
(con l'ipotesi che \( f(r_0) / r_0 < 0 \) ). Non mi spiego in particolare come ci sia il cambio di verso della disequazione. Per le derivate dovrei esserci, nel senso che \( \frac{1}{f(r)}\frac{\partial f}{\partial r}= \frac {d\ln f}{dr} \), quindi \( \frac {d}{dr}\ln f=\frac{1}{r}\frac{d}{d \ln r}\ln f \). Qualcuno riesce a spiegarmi i passaggi intermedi?
Risposte
Mi pare strano però. Come fai a prendere i logaritmi se ci sono di mezzo numeri negativi? Perché se lui dice \(f(r_0)/r_0 <0\) significa che qualcosa tra \(f\) ed \(r\) deve essere negativo intorno ad \(r_0\), e però così che logaritmo vuoi prendere?
(Quel libro certe volte se ne esce con questi passaggi allegri che veramente si fatica a capire. Però le idee si capiscono molto bene. Nel complesso a me piace.)
(Quel libro certe volte se ne esce con questi passaggi allegri che veramente si fatica a capire. Però le idee si capiscono molto bene. Nel complesso a me piace.)
forse nella furmula manca un valore assoluto sia ad f che r, oppure viene inteso implicitamente?
Dei due dovrebbe essere \(f\) quella negativa. Mi rendo conto di non aver contestualizzato bene la formula, comunque \(f\) è una forza centrale ed \(r\) è la coordinata radiale (supposta positiva). Ad esempio quindi una forza gravitazinale sarebbe del tipo
\[f(r)=-\frac{k}{r^2}\]
Immagino che il discorso del segno sia legato a qualche valore assoluto ma non ci salto fuori... Nel libro di moduli non ce ne sono, ho anche controllato sulla versione in inglese perché quella italiana è piena di strafalcioni. Se con inteso implicitamente intendi il segno meno, no, quello deriva dal procedimento, quindi di fatto il secondo membro è positivo.
(Sono pienamente d'accordo con te dissonance, la matematica è molto brillante sul Goldstein...)
\[f(r)=-\frac{k}{r^2}\]
Immagino che il discorso del segno sia legato a qualche valore assoluto ma non ci salto fuori... Nel libro di moduli non ce ne sono, ho anche controllato sulla versione in inglese perché quella italiana è piena di strafalcioni. Se con inteso implicitamente intendi il segno meno, no, quello deriva dal procedimento, quindi di fatto il secondo membro è positivo.
(Sono pienamente d'accordo con te dissonance, la matematica è molto brillante sul Goldstein...)
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