Aiuto nel risolvere esercizi in preparazione all'esame. Grazie

[Jarren]

Salve a tutti!
Potreste aiutarmi a risolvere questi esercizi? O almeno chiarire i miei dubbi?
Premetto che i primi 2 sono già quasi totalmente svolti.
Gli esercizi mi sono stati assegnati dal mio professore tamite PDF,quindi non so se li ha inventati lui o li ha presi da qualche libro!

Primo Esercizio

Una massa $m_1 = 1.0 kg$ parte in quiete da $A (h_A = 3.0 m)$ lungo un percorso senza attrito. Nel punto $B (h_B = 0 m)$ la massa compie un urto elastico con $m_2 = 1.0 kg$, in quiete. Il tratto $BC$ è in piano.
Si determini:
1. la velocità $v_1$ di $m_1$ dopo l'urto. [$v_1=0 m/s$]
2. la velocità $v_2$ di $m_2$ dopo l'urto; [$v_2=7.7 m/s$]
3. la forza media F tra le masse durante l'urto supponendo che esso duri $Δt = 1 ms$ (forse voleva scrivere $1s$) [$F=7.7 kN$]



Soluzione:

1. Nel primo punto so che in un urto elastico con due masse uguali,la massa che colpisce la massa ferma gli cede la sua velocità fermandosi,di conseguenza: $v_1=0m/s$
Matematicamente quale formula devo usare per arrivare a questo rilultato?

2. Il secondo punto l'ho risolto così:

$ 1/2mv^2=mhg rarr v=sqrt(2gh_A)=7.7m/s $

3.Qui in poche parole mi chiede di calcolare $F$ ricavandolo dalla formula dell'impulso,quindi:

$ F=(Delta p)/(Delta t)=7.7/1=7.7N $

La variazione dell'impulso è composta solo dalla quantità di moto di $m_1$ considerando che $m_2$ è fermo nel momento in cui si toccano.

Però il risultato è sbagliato,ora mi chiedo,sbaglio io o è sbagliato il testo?

Secondo Esercizio

Una massa $m_1 = 1.0 kg$ parte in quiete da $A (h_A = 2.0 m)$ lungo un percorso senza attrito. Nel punto $B (h_B = 1.0 m)$ la massa compie un urto totalmente anelastico con $m_2 = 3.0 kg$, in quiete. Le due masse risalgono da $C (h_C = 0 m)$ a $D$, lungo un piano inclinato di $vartheta=pi /6$ sull’orizzontale.
Si determini:
1. la distanza $L$ percorsa lungo il piano inclinato da $C$ a $D$; [ $L=2.1m$ ]
2. il lavoro $W$ svolto dalla forza di gravità nel tratto $CD$; [ $W=42 J$ ]
3. l’accelerazione $a$ del sistema nel punto $D$.[ $a=g/2$ ]



Soluzione:

1. Inizialmente calcolo la velocità di $m_1$ uguagliando energia cinetica e potenziale,ed ottengo:

$ v=sqrt(2g(h_A-h_B))=sqrt(2\cdot9,8\cdot(2-1))=4.42m/s $

Ora,se le due masse proseguissero lungo una traiettoria piana calcolerei la velocità finale usando la formula:

$ v_f=(m_1v_1i+m_2v_2i)/(m_1+m_2) $

ma essendo ancora in discesa,calcolo la velocità come fatto in precedenza ed ottengo sempre $v=4.42m/s$
Per determinare $L$ uso la formula:

$ L=v^2/(2gsinvartheta )=1.99m $

Dove sbaglio?

2. Qui è semplice:

$ W=F\cdot L=mg\sinvarthetaL=.... $ (risultato sbagliato perchè L è sbagliata)

3. Questo punto è ugualmente semplice:

$ F=ma rarr a=F/m=(mgsinvartheta )/m $

le masse si semplificano,il seno di $pi/6$ è $0.5$ che equivale ad $1/2$,quindi: $ a=g/2 $

Terzo Esercizio

Una massa $m_1 = 2.0 kg$ procede con velocità iniziale $v$ su una guida senza attrito, inizialmente orizzontale e poi di forma circolare con raggio $R = 0.5 m$. Nel tratto orizzontale urta in modo completamente anelastico $m_2 = 1 kg$, che è in quiete. Si determini:
1. il minimo valore $v_0$ di $v$ necessario perché le masse non si stacchino dalla guida nel punto $C$; [ $v_0=7.4 m/s$ ]
2. il valore della forza normale $N$ nel punto $B$ (supponendo $v = v_0$); [$N=88N& ]
3. il lavoro $W$ svolto dalla forza normale $N$ da $A$ a $C$. [$W=0 J$ ]



In questo non riesco neanche ad iniziare...

Ringrazio in anticipo tutti coloro che mi aiuteranno!
Buona Giornata.

[Jarren]

Innanzitutto grazie mille! Ho chiarito i miei dubbi
Per quanto riguarda i calcoli,su carta li ho fatti,non ho applicato solo le formule,qui i passaggi li ho scritti in modo semplificato e forse non è stata una buona idea...

"TeM":[quote="Jarren"]Vedi un po' se fin qui è tutto chiaro; in caso affermativo affrontiamo anche il terzo
problema, dove sarebbe interessante che indicassi in maniera univoca il punto \(C\).

[/quote]

Si scusa la C a sinistra è quella del testo del problema,ho dimenticato di cancellarla,il punto che chiede il problema è la C della sommità della circonferenza.

Adesso provo ad accennare un inizio del problema,
1. urto tototamente anelastico,quindi si conserva la quantità di moto

$ m_1v_(1i)+m_2v_(2i)=m_1v_(1f)+mv_(2f) $ e ricavo la velocità finale $ v_f=(m_1v_(1i)+m_2v_(2i))/(m_1+m_2) $

però $v_(1i)$ è incognatia e non capisco come calcolarla...

2. Il valore della forza normale $N$

Nel punto B c'è sicuramente la forza peso che sarà negativa,quindi $F_p=-g(m_1+m_2)$ ed anche una la forza centripeta

$F_c=v^2/rm$ di conseguenza la forza normale dovrebbe essere $N=F_c-F_p$

[Jarren]

Ancora Grazie!
Lo guardo per bene e ti farò sapere se ho qualche dubbio.

[Jarren]

Ho un dubbio,perchè abbiamo la necessità di scegliere un generico punto P?

Nei miei vari tentativi di risoluzione,utilizzando anche la tua soluzione come spunto,avrei trovato anche questo metodo alternativo,forse più lungo come procedimento.

Calcoliamo la velocità finale dopo l'urto:

$ v_0=(m_1v_(1i)+m_2v_(2i))/(m_1+m_2) rArr v_0=2/3v_(1i) $

Ora, le forze che agiscono sulla massa nel punto più alto,cioè $C$ sono:
(Per velocità nella scrittura utilizziamo questa notazione: $ M=m_1+m_2 $ )

$ N-M(v_c^2)/R+Mg=0 $

$ N=M(v_c^2)/R-Mg $

Per avitare che la massa si stacchi dalla guida dobbiamo imporre che la forza normale sia uguale a zero,di conseguenza possiamo ricavare la velocità minima nel punto $C$ :

$ N=0 rArr (Mv_c^2)/R=Mg hArr v_c=sqrt(gR) $

Adesso possiamo applicare il teorema della conservazione dell'energia fra il punto subito dopo l'urto e il punto $C$

$ 1/2Mv_0^2+0=1/2Mv_c^2+Mg2R $

Segue che:

$ v_0=sqrt(gR+4gR) = sqrt(5gR)=v_A $

di conseguenza questa sarà la velocità della massa dopo l'urto fino al punto $A$.
Sostituendo il valore $v_0$ trovato in precedenza nell'espressione otteniamo anche la velocità iniziale.

$ 2/3v_(1i)=sqrt(5gR)rArr v_(1i)=3/2sqrt(5gR) $

Infine,sappiamo che il valore della forza normale nel punto $B$ deve essere uguale al valore della forza centripeta $F_c$,
dove: $ F_c=M(v_B^2)/2 $
nuovamente per la conservazione dell'energia otteniamo:

$ 1/2Mv_A^2+0=1/2Mv_B^2+MgR $

$ 5gr=v_B^2+2gR rArr v_B^2=3gR $

Ed otteniamo:

$ N=M(v_B^2)/R=M(3gR)/R rArr N=3Mg $

Per il lavoro applico semplicemente la formula come mi hai detto

Può andare bene come soluzione o c'è qualche errore?
Grazie

[Jarren]

Grazie sei stato gentilissimo!
Provvederò ad aggiustare i miei errori di notazione e migliorare nella scrittura.