Aiuto fisica 2 elettromagnetismo
salve a tutti, ho un dubbio riguardo la forza magnetica su conduttore percorso da corrente.
Il mio libro di fisica 2 mi dice (senza dimostrarlo) che se un conduttore è curvilineo con $\vec B$ uniforme e sta in un piano, allora:
$\vec F = i\int_A^B d\vec s xx \vec B = i \vec {(AB)} xx \vec B$
con A,B estremi della curva. Quindi la forza non dipende dalla forma del filo, ma solo dalla lunghezza del segmento che unisce gli estremi. Aggiunge anche che valgono gli stessi risultati anche se il filo non sta nel piano.
Ho provato ad applicare la formula su un quarto di circonferenza appartenente al piano xy, $\vec B$ entrante e con la corrente i che percorre la curva in senso antiorario; il segmento $\bar{AB}$ misura $sqrt(2)R$ (R è il raggio),
mentre integrando la curva la lunghezza dell'arco risulta essere $\pi/2R$ (considerando che gli altri parametri sono costanti) e ipotizzando $\vec s\bot\vec B$ cioè $\sin(alpha) = 1$ mi ritrovo che risolvendo le 2 formule il modulo della forza non è uguale per entrambe.
Volevo quindi sapere cos'è che non mi torna; ho sbagliato ad integrare o manca qualche precisazione nel mio libro? Potreste mettere anche la dimostrazione di questo risultato? grazie in anticipo per le risposte.
Il mio libro di fisica 2 mi dice (senza dimostrarlo) che se un conduttore è curvilineo con $\vec B$ uniforme e sta in un piano, allora:
$\vec F = i\int_A^B d\vec s xx \vec B = i \vec {(AB)} xx \vec B$
con A,B estremi della curva. Quindi la forza non dipende dalla forma del filo, ma solo dalla lunghezza del segmento che unisce gli estremi. Aggiunge anche che valgono gli stessi risultati anche se il filo non sta nel piano.
Ho provato ad applicare la formula su un quarto di circonferenza appartenente al piano xy, $\vec B$ entrante e con la corrente i che percorre la curva in senso antiorario; il segmento $\bar{AB}$ misura $sqrt(2)R$ (R è il raggio),
mentre integrando la curva la lunghezza dell'arco risulta essere $\pi/2R$ (considerando che gli altri parametri sono costanti) e ipotizzando $\vec s\bot\vec B$ cioè $\sin(alpha) = 1$ mi ritrovo che risolvendo le 2 formule il modulo della forza non è uguale per entrambe.
Volevo quindi sapere cos'è che non mi torna; ho sbagliato ad integrare o manca qualche precisazione nel mio libro? Potreste mettere anche la dimostrazione di questo risultato? grazie in anticipo per le risposte.
Risposte
quella è la seconda legge elementare di laplace, tale espressione si ricava dalla forza di lorentz: per una carica elementare dq abbiamo dF = dq v x B. riscriviamo la velocità come v = ds/dt, quindi dF = dq/dt ds x B = i ds x B. per avere la forza complessiva basta integrare sulla curva.
quello che sbagli è che anzichè fare l'integrale di ds (vettore spostamento infinitesimo), integri |ds|. il vettore spostamento è il vettore che congiunge la posizione iniziale e quella finale; quindi, che tu abbia una curva complicatissima o semplicissima come un segmento o un arco di circonferenza, quello che conta è il loro punto iniziale e quello finale, non la lunghezza della curva stessa, al contrario di quanto affermi.
in ogni caso ti consiglio di esaminare accuratamente i problemi, perchè un'affermazione del genere potrebbe essere fuorviante: su una spira immersa in un campo magnetico uniforme la forza totale agente è nulla, tuttavia essa ruota perchè due forze contrarie in verso ed uguali in modulo sono applicate a due punti diversi.
quello che sbagli è che anzichè fare l'integrale di ds (vettore spostamento infinitesimo), integri |ds|. il vettore spostamento è il vettore che congiunge la posizione iniziale e quella finale; quindi, che tu abbia una curva complicatissima o semplicissima come un segmento o un arco di circonferenza, quello che conta è il loro punto iniziale e quello finale, non la lunghezza della curva stessa, al contrario di quanto affermi.
in ogni caso ti consiglio di esaminare accuratamente i problemi, perchè un'affermazione del genere potrebbe essere fuorviante: su una spira immersa in un campo magnetico uniforme la forza totale agente è nulla, tuttavia essa ruota perchè due forze contrarie in verso ed uguali in modulo sono applicate a due punti diversi.
grazie per la risposta, ma ho ancora un dubbio: come imposto l'integrale in modo da considerare lo spostamento vettoriale anzichè il suo modulo? Devo utilizzare un sistema di riferimento particolare? Mi scuso per la domanda perchè immagino che dovrei saperlo fare senza problemi, ma in realtà non so come risolvere correttamente l'integrale in questo contesto; in tutti gli esempi fatti dal nostro professore c'erano casi di simmetria che rendevano facilmente impostabili le integrazioni in un riferimento cartesiano (Es: nel caso di semicirconferenza in $[-\pi/2,\pi/2]$ considerare solo la componente $Fcos(\theta)=F_x$ per l'integrazione perchè $F_y$ si annulla)
non saprei, io ho semplicemente ragionato sul fatto che la somma dei vettori ds è data dal vettore che congiunge la "coda" del primo con la "punta" dell'ultimo. l'integrale ti dice solo che stai sommando pezzettini piccoli, ma la somma vettoriale resta invariata concettualmente
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