Aiuto equazione differenziale (accelerazione gravitazionale)
Ciao a tutti! Questa equazione mi tormenta alquanto già da una settimana, e non riesco a risolverla. E il bello è che è niente popò di meno che la legge di gravitazione universale! Datemi un aiuto please!
$(d^2x)/dt^2 = -(Gm)/x^2$ Dove G ed m sono costanti.
Purtroppo io non conosco ancora i metodi di risoluzione diciamo "avanzati" delle EDO (solo quelli di EDO lineari di primo ordine e alcune particolari di secondo ordine, sempre lineari): me l'ha data il mio insegnante privato come introduzione al mio corso di approfondimento e preparazione alla Normale, dicendomi di risolverla "intuitivamente". Ma è una settimana che ci provo, con scarsi risultati. Quindi se poteste solo dirmi la soluzione, e magari come ci siete arrivati, ve ne sarei molto grato. Ciao a tutti!
$(d^2x)/dt^2 = -(Gm)/x^2$ Dove G ed m sono costanti.
Purtroppo io non conosco ancora i metodi di risoluzione diciamo "avanzati" delle EDO (solo quelli di EDO lineari di primo ordine e alcune particolari di secondo ordine, sempre lineari): me l'ha data il mio insegnante privato come introduzione al mio corso di approfondimento e preparazione alla Normale, dicendomi di risolverla "intuitivamente". Ma è una settimana che ci provo, con scarsi risultati. Quindi se poteste solo dirmi la soluzione, e magari come ci siete arrivati, ve ne sarei molto grato. Ciao a tutti!
Risposte
Ecco una soluzione "intuitiva".
Consideriamo la generica funzione $x=kt^n$.
Se n è diverso da 0 e da -1, le sue derivate, prima e seconda, sono:
$dx/(dt)=knt^(n-1)$ e $(d^2x)/(dt^2)=kn(n-1)t^(n-2)$
Inserendo la funzione e la sua derivata seconda nell'equazione differenziale abbiamo:
$kn(n-1)t^(n-2)=-(Gm)/(kt^n)^2$
Cioè:
$k^3n(n-1)t^(3n-2)=-Gm$
Per cui deve essere $n=2/3$.
La costante k diventa:
$k^3*2/3*(-1/3)=-Gm ->k=((9Gm)/2)^(1/3)$
La funzione cercata è dunque:
$x=((9Gmt^2)/2)^(1/3)$.
Consideriamo la generica funzione $x=kt^n$.
Se n è diverso da 0 e da -1, le sue derivate, prima e seconda, sono:
$dx/(dt)=knt^(n-1)$ e $(d^2x)/(dt^2)=kn(n-1)t^(n-2)$
Inserendo la funzione e la sua derivata seconda nell'equazione differenziale abbiamo:
$kn(n-1)t^(n-2)=-(Gm)/(kt^n)^2$
Cioè:
$k^3n(n-1)t^(3n-2)=-Gm$
Per cui deve essere $n=2/3$.
La costante k diventa:
$k^3*2/3*(-1/3)=-Gm ->k=((9Gm)/2)^(1/3)$
La funzione cercata è dunque:
$x=((9Gmt^2)/2)^(1/3)$.
Grazie mille! Mi torna. Per vezzo, c'è un metodo particolare per risolvere equazioni differenziali di questo tipo oppure no? Io parlo di equazioni del tipo
$F(x, y, y', ..., y^((n))) = 1/(F^m(y))
$F(x, y, y', ..., y^((n))) = 1/(F^m(y))
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