Aiuto derivata di un vettore!!!! :(
Supponiamo di avere un vettore nello $v^{\rightarrow}=vu^{\to}$
dove $v$ è il modulo e $u^{\to}$è il versore di $v^{\to}$. Se ora
volessi calcolare la derivata di $v^{\to}$ potrei dire che:
${d}/{dt}(v^{\to})={d}/{dt}(vu^{\to})$
ora sul libro "Mazzoldi-Nigro'' leggo a pag.325 che
${d}/{dt}(vu^{\to})={d}/{dt}(v)u^{\to}+{d}/{dt}(u^{\to})v$
Domanda 1: ma, essendo $v$ una costante, non ho che ${d}/{dt}(v)u^{\to}=0?$
e quindi semplicemente
${d}/{dt}(vu^{\to})={d}/{dt}(u^{\to})v\text{ ?}\]
Domanda 2: se ho un vettore $v^{\to}=v_{x}i^{\to}+v_{y}j^{\to}$ allora
${d}/{dt}(v^{\to})={d}/{dt}(v_{x}i^{\to}+v_{y}j^{\to})={d}/{dt}(v_{x}i^{\to})+{d}/{dt}(v_{y}j^{\to})=v_{x}{d}/{dt}(i^{\to})+v_{y}{d}/{dt}(j^{\to})$
essendo $v_{x}$ e $v_{y}$ costanti.
Perchè invece trovo scritto che
${d}/{dt}(v^{\to})={d}/{dt}(v_{x})i^{\to}+{d}/{dt}(v_{y})j^{\to}\text{ ??}$
Grazie a tutti!!
dove $v$ è il modulo e $u^{\to}$è il versore di $v^{\to}$. Se ora
volessi calcolare la derivata di $v^{\to}$ potrei dire che:
${d}/{dt}(v^{\to})={d}/{dt}(vu^{\to})$
ora sul libro "Mazzoldi-Nigro'' leggo a pag.325 che
${d}/{dt}(vu^{\to})={d}/{dt}(v)u^{\to}+{d}/{dt}(u^{\to})v$
Domanda 1: ma, essendo $v$ una costante, non ho che ${d}/{dt}(v)u^{\to}=0?$
e quindi semplicemente
${d}/{dt}(vu^{\to})={d}/{dt}(u^{\to})v\text{ ?}\]
Domanda 2: se ho un vettore $v^{\to}=v_{x}i^{\to}+v_{y}j^{\to}$ allora
${d}/{dt}(v^{\to})={d}/{dt}(v_{x}i^{\to}+v_{y}j^{\to})={d}/{dt}(v_{x}i^{\to})+{d}/{dt}(v_{y}j^{\to})=v_{x}{d}/{dt}(i^{\to})+v_{y}{d}/{dt}(j^{\to})$
essendo $v_{x}$ e $v_{y}$ costanti.
Perchè invece trovo scritto che
${d}/{dt}(v^{\to})={d}/{dt}(v_{x})i^{\to}+{d}/{dt}(v_{y})j^{\to}\text{ ??}$
Grazie a tutti!!
Risposte
Per quanto riguarda la prima domanda mi sa che il libro ritiene variabili nel tempo sia il modulo che la direzione. A titolo di esempio, supponi considera il moto circolare. E' noto che
$\vec a=(d\vec v)/(dt)=((dv\veci_v)/dt)=v(d\veci_v)/(dt)+\veci_v(dv)/dt$
Nel caso più generale di moto circolare uniformemente accelerato, ovvero con sia modulo che direzione varianti nel tempo hai due componenti dell'accelerazione. Se il modulo nel tempo fosse costante (moto circolare uniforme) avresti una solo componente dell'accelerazione in quanto sarebbe variabile nel tempo solo la direzione (il versore $\veci_v)$. A parte questo, che non so se centra con quello che stai studiando, evidentemente per il libro il modulo non è costante. Controlla meglio.
Per il punto 2, non è ben chiaro la derivata a chi sia riferita se al solo modulo o ad entrambi. Comunque, se fosse riferita solo al modulo, vuol dire che la direzione del vettore velocità non cambia nel tempo, ma cambia solo il modulo.
$\vec a=(d\vec v)/(dt)=((dv\veci_v)/dt)=v(d\veci_v)/(dt)+\veci_v(dv)/dt$
Nel caso più generale di moto circolare uniformemente accelerato, ovvero con sia modulo che direzione varianti nel tempo hai due componenti dell'accelerazione. Se il modulo nel tempo fosse costante (moto circolare uniforme) avresti una solo componente dell'accelerazione in quanto sarebbe variabile nel tempo solo la direzione (il versore $\veci_v)$. A parte questo, che non so se centra con quello che stai studiando, evidentemente per il libro il modulo non è costante. Controlla meglio.
Per il punto 2, non è ben chiaro la derivata a chi sia riferita se al solo modulo o ad entrambi. Comunque, se fosse riferita solo al modulo, vuol dire che la direzione del vettore velocità non cambia nel tempo, ma cambia solo il modulo.
Hai ragione! Per la prima domanda in effetti il libro specifica che la presenza del primo termine è dovuta alla variazione del modulo di $\vec v$.
Grazie!
Ora vedo per la seconda...
Grazie!
Ora vedo per la seconda...
Per la seconda, il libro intende i versori NON dipendenti dal tempo. Quindi quando deriva i versori ottiene 0 in tutti e
2 i casi, da cui la formula
${d}/{dt}(v^{\to})={d}/{dt}(v_{x})i^{\to}+{d}/{dt}(v_{y})j^{\to}$
Grazie ancora a K.Lomax
2 i casi, da cui la formula
${d}/{dt}(v^{\to})={d}/{dt}(v_{x})i^{\to}+{d}/{dt}(v_{y})j^{\to}$
Grazie ancora a K.Lomax
Di nulla.
Ciao.
Ciao.
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