Affinchè l'e. generalizzata = l'e. meccanica, anche la lagrangiana non deve dipendere esplicitamente dal tempo?
Salve ragazzi =) ho una domanda da porvi riguardo due teoremi sull'energia generalizzata.
- Sappiamo che se i vincoli di un sistema non dipendono dal tempo, l'energia generalizzata coincide con l'energia meccanica
- Se la lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo, l'energia generalizzata è una costante del moto
- Non è necessario che i vincoli siano indipendenti dal tempo affinchè l'energia generalizzata si conservi
- La domanda è: se i vincoli non dipendono dal tempo, affinchè l'energia generalizzata coincidi con l'energia meccanica, anche la lagrangiana non deve dipendere esplicitamente dal tempo?
- Sappiamo che se i vincoli di un sistema non dipendono dal tempo, l'energia generalizzata coincide con l'energia meccanica
- Se la lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo, l'energia generalizzata è una costante del moto
- Non è necessario che i vincoli siano indipendenti dal tempo affinchè l'energia generalizzata si conservi
- La domanda è: se i vincoli non dipendono dal tempo, affinchè l'energia generalizzata coincidi con l'energia meccanica, anche la lagrangiana non deve dipendere esplicitamente dal tempo?
Risposte
Scusa, Nick_93, nel Landau (che è il mio testo di riferimento di meccanica) si parla di "energia di un sistema" (sic). Perché tu parli di e. generalizzata e di e. meccanica? Potresti dirmi in sintesi che differenza c'è? Grazie!
Si in effetti non sono stato molto chiaro, sorry!
L'energia generalizzata la definisco come
$$\mathcal{H}=\sum_{h=1}^{n} \frac{\partial L }{\partial \dot{q}}\dot{q} - L $$
che coincide con l'energia totale del sistema se i vincoli sono indipendenti dal tempo
$$H=T+U$$
Comunque credo di aver risolto il mio dubbio. In sintesi sono corrette le due seguenti affermazioni?
- Se i vincoli non dipendo dal tempo, l'energia generalizzata coincide con l'energia totale
- Se la lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo, allora l'energia generalizzata è una costante del moto (i vincoli possono dipendere o non dipendere dal tempo, comunque H è una costante, ma nel secondo caso H=T+U)
- Ora, si introduce l'energia generalizzata, in quanto la dipendenza dal tempo del vincolo è dovuta a un'energia che non fa parte del sistema. La somma di questa energia esterna al sistema e dell'energia del sistema, mi da l'energia generalizzata.
E' corretto ciò che ho scritto?
L'energia generalizzata la definisco come
$$\mathcal{H}=\sum_{h=1}^{n} \frac{\partial L }{\partial \dot{q}}\dot{q} - L $$
che coincide con l'energia totale del sistema se i vincoli sono indipendenti dal tempo
$$H=T+U$$
Comunque credo di aver risolto il mio dubbio. In sintesi sono corrette le due seguenti affermazioni?
- Se i vincoli non dipendo dal tempo, l'energia generalizzata coincide con l'energia totale
- Se la lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo, allora l'energia generalizzata è una costante del moto (i vincoli possono dipendere o non dipendere dal tempo, comunque H è una costante, ma nel secondo caso H=T+U)
- Ora, si introduce l'energia generalizzata, in quanto la dipendenza dal tempo del vincolo è dovuta a un'energia che non fa parte del sistema. La somma di questa energia esterna al sistema e dell'energia del sistema, mi da l'energia generalizzata.
E' corretto ciò che ho scritto?
Secondo me le cose stanno così. In un sistema isolato la lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo perché se ciò fosse, il tempo non sarebbe omogeneo. Applicando l'omogeneità del tempo si ottiene che la funzione $H$ (la prima che hai scritto) si conserva.
Se, invece, il tempo è presente nella lagrangiana, allora $H$ non si conserva. Se poi ci aggiungi l'energia esterna o meno lo vedo un problema di poco conto. In fondo, se ho la lagrangiana (dipendente o meno dal tempo) applico Euler-Lagrange e trovo le equazioni del moto. D'accordo?
Se, invece, il tempo è presente nella lagrangiana, allora $H$ non si conserva. Se poi ci aggiungi l'energia esterna o meno lo vedo un problema di poco conto. In fondo, se ho la lagrangiana (dipendente o meno dal tempo) applico Euler-Lagrange e trovo le equazioni del moto. D'accordo?
Secondo me le cose stanno così. In un sistema isolato la lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo perché se ciò fosse, il tempo non sarebbe omogeneo. Applicando l'omogeneità del tempo si ottiene che la funzione H (la prima che hai scritto) si conserva.
Ma non necessariamante la funzione H deve coincidere con l'energia totale. Esatto? Ciò accade se anche i vincoli non dipendono dal tempo. In sostanza, non vi è nessuna relazione di dipendenza tra il tempo di dei vincoli e il tempo della lagrangiana
... qui ci vuole l'aiuto di un esperto ...
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