Aereoplano e carrello
Il quesito è molto semplice:
Un aereo di massa complessiva 15030 kg sta mantenendo velocità di crociera a 222 m/s.
Ad un certo momento, un carrello di massa 30kg collocato a poppa internamente all'aeromobile deve essere spostato di dieci metri verso prua.
Relativamente all'aereo, il carrello viene accelerato da velocità 0 m/s fino a velocità 1 m/s in 1 sec.
Si considerino gli attriti trascurabili, calcolare energia e potenza necessarie ad accelerare il carrello.
La differenza di energia, da 222 m/s a 223 m/s per i 30 kg equivale a 6675 J, da applicarsi in 1 secondo, cioè con potenza 6,675 kW.
Ho l'impressione che sia una potenza esagerata. E' tutto corretto o c'è qualcosa che non ho considerato?
Un aereo di massa complessiva 15030 kg sta mantenendo velocità di crociera a 222 m/s.
Ad un certo momento, un carrello di massa 30kg collocato a poppa internamente all'aeromobile deve essere spostato di dieci metri verso prua.
Relativamente all'aereo, il carrello viene accelerato da velocità 0 m/s fino a velocità 1 m/s in 1 sec.
Si considerino gli attriti trascurabili, calcolare energia e potenza necessarie ad accelerare il carrello.
La differenza di energia, da 222 m/s a 223 m/s per i 30 kg equivale a 6675 J, da applicarsi in 1 secondo, cioè con potenza 6,675 kW.
Ho l'impressione che sia una potenza esagerata. E' tutto corretto o c'è qualcosa che non ho considerato?
Risposte
L’aereo viaggia a velocità costante rispetto alla terra. Dunque è un riferimento inerziale, come inerziale è la terra nel breve periodo di un fenomeno. Il moto dell’aereo non ha nessuna influenza sul moto del carrello. Questo, partendo da fermo, è accelerato ad $1m/s^2$ da una forza costante $F=ma$, che lavora per $10m$ . Ritengo infatti che questo sia il senso dell’esercizio, non che l’accelerazione cessi dopo 1s.
Il moto è uniformemente accelerato, la velocità e lo spazio sono dati da note formule, come il lavoro di F . Nel caso in esame :
Il moto è uniformemente accelerato, la velocità e lo spazio sono dati da note formule, come il lavoro di F . Nel caso in esame :
$s = 1/2at^2$
$v=at$
$W= Fs$
$v=at$
$W= Fs$
Anche a me verrebbe da considerare che la velocità iniziale non influenzi il moto del carrello.
L'esercizio dice che l'accelerazione è applicata da 0 fino a velocità 1 m/s rispetto all'aereo, che con quel modulo sarebbe per 0,5m (penso che la successiva percorrenza di 9,5 m non rientri nel quesito).
Se l'energia cinetica dell'aereo, prima dell'accelerazione carrello è 370,369260 MJ, e dopo l'accelerazione del carrello è 370,375935 MJ, significa che è incrementata di 6675 J.
I principi di conservazione mi fanno pensare che questa differenza di energia debba essere applicata dall'acceleratore del carrello. Altrimenti come far coincidere i risultati se si dovesse considerare un'energia aggiuntiva del carrello di solo 15 J?
L'esercizio dice che l'accelerazione è applicata da 0 fino a velocità 1 m/s rispetto all'aereo, che con quel modulo sarebbe per 0,5m (penso che la successiva percorrenza di 9,5 m non rientri nel quesito).
Se l'energia cinetica dell'aereo, prima dell'accelerazione carrello è 370,369260 MJ, e dopo l'accelerazione del carrello è 370,375935 MJ, significa che è incrementata di 6675 J.
I principi di conservazione mi fanno pensare che questa differenza di energia debba essere applicata dall'acceleratore del carrello. Altrimenti come far coincidere i risultati se si dovesse considerare un'energia aggiuntiva del carrello di solo 15 J?
Se l'energia cinetica dell'aereo, prima dell'accelerazione carrello è 370,369260 MJ, e dopo l'accelerazione del carrello è 370,375935 MJ, significa che è incrementata di 6675 J.
I principi di conservazione mi fanno pensare che questa differenza di energia debba essere applicata dall'acceleratore del carrello. Altrimenti come far coincidere i risultati se si dovesse considerare un'energia aggiuntiva del carrello di solo 15 J?
Non si può aumentare l'energia cinetica di un sistema mediante il lavoro di forze interne al sistema !
Riporta il testo integrale dell'esercizio.
Un carrello di 30 kg collocato a bordo di un aeroplano di 15 t viene movimentato lungo un binario di dieci metri.
Le oscillazioni sono trasmesse da un attuatore che accelera il carrello fino a 1 m/s nel periodo di 1 s.
L'aeroplano mantiene la velocità di crociera a 222 m/s.
Calcola (1) l'energia cinetica dell'aeroplano mentre il carrello a bordo si muove verso prua e (2) la potenza esercitata dell'attuatore per accelerare il carrello, considerando gli attriti del binario trascurabili.
Suppongo che l'aereo mantenga stabilmente la propria velocità compensandola all'occorrenza.
Quindi l'azione di 15 J compiuta a bordo dall'attuatore deve essere compensata dai motori con 6675 J?
Le oscillazioni sono trasmesse da un attuatore che accelera il carrello fino a 1 m/s nel periodo di 1 s.
L'aeroplano mantiene la velocità di crociera a 222 m/s.
Calcola (1) l'energia cinetica dell'aeroplano mentre il carrello a bordo si muove verso prua e (2) la potenza esercitata dell'attuatore per accelerare il carrello, considerando gli attriti del binario trascurabili.
Non si può aumentare l'energia cinetica di un sistema mediante il lavoro di forze interne al sistema !
Suppongo che l'aereo mantenga stabilmente la propria velocità compensandola all'occorrenza.
Quindi l'azione di 15 J compiuta a bordo dall'attuatore deve essere compensata dai motori con 6675 J?
"Shackle":: Non si può aumentare l'energia cinetica di un sistema mediante il lavoro di forze interne al sistema !
Credo che questa affermazione non sia corretta. Pensa all'esplosione di un petardo in quiete prima dell'esplosione. Durante l'esplosione il sistema petardo acquista energia cinetica solo a causa di forze interne.
"ralf86":
[quote="Shackle"]: Non si può aumentare l'energia cinetica di un sistema mediante il lavoro di forze interne al sistema !
Credo che questa affermazione non sia corretta. Pensa all'esplosione di un petardo in quiete prima dell'esplosione. Durante l'esplosione il sistema petardo acquista energia cinetica solo a causa di forze interne.[/quote]
Certamente, ralf. Ma qui noi dobbiamo parlare di un "sistema isolato" , cioè libero da forze esterne , costituito da (aereoplano+carrello) .
Ti sembra "isolato" un petardo , quando lo fai esplodere ? Direi di no . Ci sono dei petardi che esplodono a causa dell'urto, perché li lanci contro un muro o a terra , con violenza[nota]"Botte a muro", le chiamerebbe qualcuno
![/nota] . Dunque il petardo nel momento dell'esplosione non è un sistema isolato. Ci sono petardi che esplodono perchè dai fuoco ad una miccia, e anche qui non si tratta di un sistema isolato, termodinamicamente parlando: c'è una interazione con l'esterno, cioè l'accensione della miccia, o un comando a distanza, o insomma un sistema che inneschi la combustione violenta della polvere.L'energia che il petardo, scoppiando, manifesta nel rumore e nei frammenti che vengono scagliati in tutte le direzioni è immagazzinata internamente al petardo, sotto forma di energia, chimica o nucleare, che in qualche modo si trasforma nelle forme di energia che vediamo nella deflagrazione.
Ma sempre una interazione con l'esterno ci vuole, per far scoppiare il petardo ! Non si tratta di un sistema isolato, cioè libero da forze o azioni esterne, no ?
Ritorniamo quindi al caso del sistema isolato (aereo con carrello).
Se su un sistema, che può essere costituito da un solo corpo rigido o da un insieme di corpi rigidi tra loro separati, agiscono forze esterne e forze interne al sistema, la prima equazione cardinale della dinamica dice che :
$vecF_e + vecF_i = (dvecQ)/(dt)$
al primo membro ci sono i risultanti delle forze esterne e delle forze interne al sistema , al secondo membro la variazione della quantità di moto del sistema nel tempo , che , come sai benissimo, si può scrivere :
$vecQ = Mvecv_c$
essendo $vecv_c$ la velocità del centro di massa $C$ del sistema. Non scrivo la seconda eq cardinale, ci sarebbero molte cose da dire e qui non occorrono .
Se il sistema è isolato, cioè libero da forze esterne[nota]limitiamoci alla dinamica, lasciamo perdere la termodinamica dei petardi
[/nota] : $vecF_e = 0 $ . Inoltre , se il sistema è costituito da più parti , suscettibili di muoversi una rispetto all'altra, per il principio di azione e reazione deve anche essere :$vecF_i = 0 $
Perciò la prima equazione della dinamica ci dice che l'accelerazione del CM è uguale a zero: $veca_c =0$,
quindi il CM ha velocità costante : $vecv_c = "cost" $
So bene che queste cose ti sono arcinote, ma ho ritenuto opportuno richiamarle.
Quindi, il CM del sistema (aereo + carrello) si muove con velocità costante, qualsiasi cosa succeda nell'aereo.
Se ora il carrello viene accelerato con $a= 1m/s^2$ per il tempo di $1s$ , la sua velocità relativa all'aereo diventa, dopo $1s$ , uguale a $1m/s$ . Lo spostamento del carrello è uguale a :
$1/2at^2 = 0.5 m $
La forza necessaria per accelerare il carrello è data dall'attuatore , solidale all'aereo, e ha modulo :
$F = ma = 30 kg*1m/s^2 = 30 N $
una forza uguale e contraria agisce sull'attuatore e quindi sull'aereo, che ha massa $M= 15000 kg$ . PErciò l'aereo subisce una accelerazione discorde al moto , di intensità :
$a = F/M = 2*10^(-3) m/s^2 = 2 (mm)/s^2$
e la diminuzione di velocità dell'aereo, nel tempo di $1s$ , vale : $ Deltav =2*10^(-3) m/s = 2 (mm)/s$
Il lavoro sul carrello , uguale alla variazione di energia cinetica , è fornito dall'attuatore e quindi in definitiva dall'aereo ; e vale :
$W = F*s = 30N*0.50m = 15 J $
Siete d'accordo fin qui?
Sono d'accordo con il ragionamento. Ammettiamo che l'energia applicata al carrello sia 15 J.
A bordo vengono applicati 15 J però la massa dell'aereo subisce una diminuzione di moto per 6660 J (ammettiamo 221,998 m/s). Quindi in che modo va trattata la conservazione dell'energia? 15 J possono generare lo stesso effetto di 6660 J?
A bordo vengono applicati 15 J però la massa dell'aereo subisce una diminuzione di moto per 6660 J (ammettiamo 221,998 m/s). Quindi in che modo va trattata la conservazione dell'energia? 15 J possono generare lo stesso effetto di 6660 J?
Rispondo al secondo quesito . Ho chiamato $a$ entrambe le accelerazioni , ma ora le distinguo :
$a_c$ = accelerazione del carrello (modulo) di massa $m$
$A_a$ = accelerazione dell'aereo (modulo) di massa $M$
Avendo $F$ lo stesso valore per il carrello e per l'aereo , risulta : $ A_a = m/Ma_c$ , cioè le accelerazioni sono inversamente proporzionali alle masse.
Per il quesito sull'energia cinetica, il testo dice che l'aereo mantiene la velocità di crociera anche dopo lo spostamento del carrello. Per mantenere la stessa velocità di prima , il pilota deve aumentare la potenza per compensare l' impulso $-mDeltavecv$ che l'aereo riceve dal carrello , impulso che corrisponde a una forza $vecF$ esercitata dal carrello nel tempo $Deltat = 1s$ . Cioè , l'impulso vale :
$int_0^tvecFdt = -mDeltavecv$
e il lavoro ulteriore che l'aereo deve compiere per mantenere la velocità di crociera vale :
$int_0^t-vecF*vecvdt = mvDeltav$
Infatti, verifichiamolo per altra via .
-Prima : $K_i = 1/2(M+m)v^2$
- dopo :
$ k_f = 1/2Mv^2 + 1/2m(v+Deltav)^2 = .... = 1/2(M+m)v^2 +1/2mDeltav^2 + mvDeltav$
Sottraendo membro a membro , si ha :
$K_f - K_i =1/2mDeltav^2 + mvDeltav$
il primo termine al secondo membro è l'energia cinetica del carrello rispetto all'aereo, il secondo termine è l'energia aggiuntiva di cui ho detto prima.
Siccome non mi piace vantarmi troppo, ti dirò che sono stato fortunato; io sono uno che quando si trova davanti un problema fa delle ricerche, e questa volta la ricerca ha dato buoni frutti . L'esercizio seguente l'ho trovato in un libro di Bruno Finzi, gran professore di Meccanica Razionale del secolo scorso . Fa proprio al caso nostro :
sostituendo i numeri, viene fuori proprio il valore:
$ K_f-K_i = 15 J + 6660J = 6675J $ che avevi detto tu all'inizio, ma giustificato per la via giusta (credo...)
$a_c$ = accelerazione del carrello (modulo) di massa $m$
$A_a$ = accelerazione dell'aereo (modulo) di massa $M$
Avendo $F$ lo stesso valore per il carrello e per l'aereo , risulta : $ A_a = m/Ma_c$ , cioè le accelerazioni sono inversamente proporzionali alle masse.
Per il quesito sull'energia cinetica, il testo dice che l'aereo mantiene la velocità di crociera anche dopo lo spostamento del carrello. Per mantenere la stessa velocità di prima , il pilota deve aumentare la potenza per compensare l' impulso $-mDeltavecv$ che l'aereo riceve dal carrello , impulso che corrisponde a una forza $vecF$ esercitata dal carrello nel tempo $Deltat = 1s$ . Cioè , l'impulso vale :
$int_0^tvecFdt = -mDeltavecv$
e il lavoro ulteriore che l'aereo deve compiere per mantenere la velocità di crociera vale :
$int_0^t-vecF*vecvdt = mvDeltav$
Infatti, verifichiamolo per altra via .
-Prima : $K_i = 1/2(M+m)v^2$
- dopo :
$ k_f = 1/2Mv^2 + 1/2m(v+Deltav)^2 = .... = 1/2(M+m)v^2 +1/2mDeltav^2 + mvDeltav$
Sottraendo membro a membro , si ha :
$K_f - K_i =1/2mDeltav^2 + mvDeltav$
il primo termine al secondo membro è l'energia cinetica del carrello rispetto all'aereo, il secondo termine è l'energia aggiuntiva di cui ho detto prima.
Siccome non mi piace vantarmi troppo, ti dirò che sono stato fortunato; io sono uno che quando si trova davanti un problema fa delle ricerche, e questa volta la ricerca ha dato buoni frutti . L'esercizio seguente l'ho trovato in un libro di Bruno Finzi, gran professore di Meccanica Razionale del secolo scorso . Fa proprio al caso nostro :
sostituendo i numeri, viene fuori proprio il valore:
$ K_f-K_i = 15 J + 6660J = 6675J $ che avevi detto tu all'inizio, ma giustificato per la via giusta (credo...)
Si il risultato corrisponde con quelli riportati.
Solo non mi è chiaro come un'azione di energia 15 J produca un effetto di reazione (decelerazione dell'aereo) che si otterrebbe normalmente applicando 6660 J.
Se viceversa, il carrello fosse accelerato verso poppa, spendendo 15 J l'aereo dovrebbe aumentare la propria cinetica di 6660 J circa.
E' corretta questa affermazione?
Solo non mi è chiaro come un'azione di energia 15 J produca un effetto di reazione (decelerazione dell'aereo) che si otterrebbe normalmente applicando 6660 J.
Se viceversa, il carrello fosse accelerato verso poppa, spendendo 15 J l'aereo dovrebbe aumentare la propria cinetica di 6660 J circa.
E' corretta questa affermazione?
Ora non farmi domande difficili ... 
! Non è chiarissimo neanche a me, cioè mi sembra strano che ci vogliano ben 6.675 kJ per compensare, in termini di energia, l'accelerazione di un carrello di 30 kg a 1m/s^2 , per 1 solo secondo, nel quale il carrello si sposta di 0.5 m ...Ma è cosi!
! Non è chiarissimo neanche a me, cioè mi sembra strano che ci vogliano ben 6.675 kJ per compensare, in termini di energia, l'accelerazione di un carrello di 30 kg a 1m/s^2 , per 1 solo secondo, nel quale il carrello si sposta di 0.5 m ...Ma è cosi!
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