Additività momento angolare
Buongiorno a tutti,
scrivo perchè nel fare alcuni esercizi di fisica riguardanti il momento angolare mi sono venuti dei forti dubbi, che vorrei provare ad esporvi.
Il problema in questione è quello classico della sedia:
Ecco come ho impostato il problema:
Il momento algolare totale si conserva, dunque:
$\{(L_i^"(tot)"=L_f^"(tot)"),(L_i^"tot"=L_i^"ruota"),(L_f^"tot"=-L_i^"ruota"+L_f^"sedia"):}$ $rArr$ $L_f^"sedia"=2L_i^"ruota"$
Adesso però non so più come andare avanti, perchè i momenti angolari li posso soltanto calcolare su due assi diversi (quello della sedia e quello della ruota), e quindi non so come sommarli
Per favore qualcuno saprebbe darmi una mano?
scrivo perchè nel fare alcuni esercizi di fisica riguardanti il momento angolare mi sono venuti dei forti dubbi, che vorrei provare ad esporvi.
Il problema in questione è quello classico della sedia:
Una studentessa è seduta su uno sgabello che può ruotare intorno a un asse verticale, e tiene in mano una ruota di bicicletta in modo che l'asse di questa sia anch'esso verticale. Il momento di inerzia della ruota rispetto al proprio asse è di 0.21$kg*m^2$, e il moemnto di inerzia della studentessa più la ruotapiù il sedile dello sgabello rispetto all'asse dello sgabello è di 2.8$kg*m^2$. La velocità angolare iniziale della ruota attorno al proprio asse è di (61 rad/s)$\hat k$, e la velocità angolare iniziale della studentessa intorno all'asse dello sgabello è zero, ove si è preso $\hat k$ orientato verticalmente verso l'alto.
La studentessa ribalta verticalmente l'asse della ruota di 180°, in modo che esso sia di nuovo verticale e che la velocità angolare della ruota diventi (-61 rad/s)$\hat k$.
Determinare la velocità angolare acquisita dalla studentessa intorno all'asse dello sgabello.
Ecco come ho impostato il problema:
Il momento algolare totale si conserva, dunque:
$\{(L_i^"(tot)"=L_f^"(tot)"),(L_i^"tot"=L_i^"ruota"),(L_f^"tot"=-L_i^"ruota"+L_f^"sedia"):}$ $rArr$ $L_f^"sedia"=2L_i^"ruota"$
Adesso però non so più come andare avanti, perchè i momenti angolari li posso soltanto calcolare su due assi diversi (quello della sedia e quello della ruota), e quindi non so come sommarli
Per favore qualcuno saprebbe darmi una mano?
Risposte
Ho la sensazione che il problema dica le cose senza spiegarle bene, rischiando così di fare confusione.
Il momento di inerzia è un concetto che va bene quando c'è un corpo rigido. La studentessa che tiene in mano la ruota non è un solo corpo rigido, ma l'insieme di due corpi rigidi vincolati l'uno all'altro. Allora per la sola ruota si può definire un momento d'inerzia riferito al suo asse, ma non ha senso parlare di momento d'inerzia di studentessa + sedile + ruota, perché sarebbe come dire che si tratta di un unico corpo rigido, cosa che non è. Probabilmente il problema intende dire questo: 2,8 è il momento d'inerzia di studentessa + sedile + massa della ruota per il quadrato della distanza tra l'asse della ruota e l'asse dello sgabello, ovvero il momento d'inerzia che avrebbe la ruota rispetto all'asse dello sgabello se fosse un corpo puntiforme tenuto in mano dalla studentessa.
Viste così le cose allora, quando si deve calcolare la somma dei momenti angolari dei due corpi essi sono già riferiti all'asse dello sgabello: infatti il momento angolare complessivo finale della ruota è uguale al momento d'inerzia della stessa per la velocità angolare finale rispetto al suo asse, più il prodotto della sua massa per il quadrato della distanza dall'asse dello sgabello moltiplicati per la velocità angolare della studentessa; mentre il momento angolare finale della studentessa (senza la ruota) è uguale al prodotto della sua velocità angolare per il momento d'inerzia suo più quello dello sgabello.
Insomma l'aver conglobato nel momento d'inerzia della studentessa anche una quota inerente la ruota ha solo fatto confusione, anche se facendo il calcolo e sommando brutalmente i risultati senza farsi tante domande il calcolo viene giusto perché è riferito all'asse dello sgabello.
Ecco un caso nel quale uno studente troppo intelligente si blocca (e giustamente), mentre uno che non si fa troppe domande risolve l'esercizio!
Occhio però anche a un'altra cosa: la velocità finale indicata per la ruota non è rispetto a un sistema fisso, ma rispetto a un sistema rotante con la studentessa. Altrimenti l'energia non si conserverebbe, mentre invece così si conserva (prova a verificarlo). Dunque il calcolo è un tantino più complicato, nel senso che la velocità angolare finale della ruota rispetto a un sistema fisso è quella data dal problema meno quella della studentessa (in valore assoluto).
Il momento di inerzia è un concetto che va bene quando c'è un corpo rigido. La studentessa che tiene in mano la ruota non è un solo corpo rigido, ma l'insieme di due corpi rigidi vincolati l'uno all'altro. Allora per la sola ruota si può definire un momento d'inerzia riferito al suo asse, ma non ha senso parlare di momento d'inerzia di studentessa + sedile + ruota, perché sarebbe come dire che si tratta di un unico corpo rigido, cosa che non è. Probabilmente il problema intende dire questo: 2,8 è il momento d'inerzia di studentessa + sedile + massa della ruota per il quadrato della distanza tra l'asse della ruota e l'asse dello sgabello, ovvero il momento d'inerzia che avrebbe la ruota rispetto all'asse dello sgabello se fosse un corpo puntiforme tenuto in mano dalla studentessa.
Viste così le cose allora, quando si deve calcolare la somma dei momenti angolari dei due corpi essi sono già riferiti all'asse dello sgabello: infatti il momento angolare complessivo finale della ruota è uguale al momento d'inerzia della stessa per la velocità angolare finale rispetto al suo asse, più il prodotto della sua massa per il quadrato della distanza dall'asse dello sgabello moltiplicati per la velocità angolare della studentessa; mentre il momento angolare finale della studentessa (senza la ruota) è uguale al prodotto della sua velocità angolare per il momento d'inerzia suo più quello dello sgabello.
Insomma l'aver conglobato nel momento d'inerzia della studentessa anche una quota inerente la ruota ha solo fatto confusione, anche se facendo il calcolo e sommando brutalmente i risultati senza farsi tante domande il calcolo viene giusto perché è riferito all'asse dello sgabello.
Ecco un caso nel quale uno studente troppo intelligente si blocca (e giustamente), mentre uno che non si fa troppe domande risolve l'esercizio!
Occhio però anche a un'altra cosa: la velocità finale indicata per la ruota non è rispetto a un sistema fisso, ma rispetto a un sistema rotante con la studentessa. Altrimenti l'energia non si conserverebbe, mentre invece così si conserva (prova a verificarlo). Dunque il calcolo è un tantino più complicato, nel senso che la velocità angolare finale della ruota rispetto a un sistema fisso è quella data dal problema meno quella della studentessa (in valore assoluto).
Grazie mille della risposta 
, comunqe è proprio vero, inserendo brutalmente i dati nella formula il risultato viene, ma io mi sono posto un sacco di problemi su momento angolare e "polo" rispetto al quale viene calcolato.
Dalla definizione di momento angolare:
Definiamo il memento angolare $l$ di un punto materiale rispetto a un punto di riferimento O (detto "polo") come
$\vec l=\vec r x \vec p$
dove $\vec r$ è il vettore posizione del punto materiale misurato da O, e $\vec p$ la sua puantità di moto.
Il fatto che il raggio vettore deve essere misurato da un polo fa si che il momento angolare non sia una grandezza assoluta, ma che dipenda dal particolare polo; dunque sorge la domanda...se ho due momenti angolari calcolati da poli diversi come li sommo??
Premetto che sto facendo soltanto fisica 1 ad ingegneria, dunque forse magari questa è una domanda prematura che verrà spiegata in corsi più avanzati, non lo so
, comunqe è proprio vero, inserendo brutalmente i dati nella formula il risultato viene, ma io mi sono posto un sacco di problemi su momento angolare e "polo" rispetto al quale viene calcolato.Dalla definizione di momento angolare:
Definiamo il memento angolare $l$ di un punto materiale rispetto a un punto di riferimento O (detto "polo") come
$\vec l=\vec r x \vec p$
dove $\vec r$ è il vettore posizione del punto materiale misurato da O, e $\vec p$ la sua puantità di moto.
Il fatto che il raggio vettore deve essere misurato da un polo fa si che il momento angolare non sia una grandezza assoluta, ma che dipenda dal particolare polo; dunque sorge la domanda...se ho due momenti angolari calcolati da poli diversi come li sommo??
Premetto che sto facendo soltanto fisica 1 ad ingegneria, dunque forse magari questa è una domanda prematura che verrà spiegata in corsi più avanzati, non lo so
Meglio qualche esempio di tante parole.
Immagina di avere un piano senza attrito sul quale un disco orizzontale fermo ruota attorno al suo centro (centro di massa).
Se calcoli il momento angolare rispetto al centro del disco viene un certo vettore $\vecL_c$. Se adesso ti sposti e calcoli il momento angolare rispetto a un punto diverso che chiami P, il momento angolare è uguale. Per dimostrare questo basta sapere cos'è un centro di massa e considerare ogni vettore posizione di ogni punto materiale del disco rispetto a P come somma di un vettore posizione che parte dal centro del disco più il vettore posizione del centro stesso. Dunque in questo caso $\vecL_p=\vecL_c$.
Se adesso immagini che il disco oltre e ruotare attorno al centro si sposti anche lungo una traiettoria, puoi verificare che il vettore momento angolare rispetto a P diventa in ogni istante $\vecL_p=\vecL_c+m\vecr_(p-c)\times\vecv$ dove m è l'intera massa del disco e v la velocità traslazionale del baricentro e $\vecr_(p-c)$ il vettore che va da p a c. In questo modo puoi cambiare il polo di calcolo del momento angolare. Nel caso in cui il disco ruoti attorno al baricentro con velocità angolare $\omega$ e la traiettoria del baricentro sia curva, in particolare un cerchio percorso con velocità angolare $\Omega$, cioè proprio il caso dell'esercizio, occorre anche notare che rispetto al baricentro le velocità angolari devono venire sommate vettorialmente. Insomma detto $I$ il momento di inerzia baricentrico del disco si hanno i seguenti casi:
-se il disco ha il baricentro fermo si ha $\vecL_p=\vecL_c=I\vec\omega$
-se il disco ha il baricentro che ruota attorno a P con velocità angolare $\Omega$ si ha: $\vecL_p=\vecL_c+mR^2\vec\Omega=I(\vec\omega+\vec\Omega)+mR^2\vec\Omega$
Naturalmente la somma delle velocità angolari si deve fare se tu conosci la $\omega$ in senso relativo, cioè in un sistema di riferimento solidale con il vettore posizione che va da p a c e ruotante con esso (come nel caso della ruota in mano alla studentessa). Perché se invece già conosci la $\omega$ in un sistema di riferimento inerziale allora usi direttamente quella senza sommarla alla $\Omega$.
Però a questo punto ciò che mi preoccupa è: sarò riuscito a farti ancora più casino in testa invece di chiarirti le idee????
Immagina di avere un piano senza attrito sul quale un disco orizzontale fermo ruota attorno al suo centro (centro di massa).
Se calcoli il momento angolare rispetto al centro del disco viene un certo vettore $\vecL_c$. Se adesso ti sposti e calcoli il momento angolare rispetto a un punto diverso che chiami P, il momento angolare è uguale. Per dimostrare questo basta sapere cos'è un centro di massa e considerare ogni vettore posizione di ogni punto materiale del disco rispetto a P come somma di un vettore posizione che parte dal centro del disco più il vettore posizione del centro stesso. Dunque in questo caso $\vecL_p=\vecL_c$.
Se adesso immagini che il disco oltre e ruotare attorno al centro si sposti anche lungo una traiettoria, puoi verificare che il vettore momento angolare rispetto a P diventa in ogni istante $\vecL_p=\vecL_c+m\vecr_(p-c)\times\vecv$ dove m è l'intera massa del disco e v la velocità traslazionale del baricentro e $\vecr_(p-c)$ il vettore che va da p a c. In questo modo puoi cambiare il polo di calcolo del momento angolare. Nel caso in cui il disco ruoti attorno al baricentro con velocità angolare $\omega$ e la traiettoria del baricentro sia curva, in particolare un cerchio percorso con velocità angolare $\Omega$, cioè proprio il caso dell'esercizio, occorre anche notare che rispetto al baricentro le velocità angolari devono venire sommate vettorialmente. Insomma detto $I$ il momento di inerzia baricentrico del disco si hanno i seguenti casi:
-se il disco ha il baricentro fermo si ha $\vecL_p=\vecL_c=I\vec\omega$
-se il disco ha il baricentro che ruota attorno a P con velocità angolare $\Omega$ si ha: $\vecL_p=\vecL_c+mR^2\vec\Omega=I(\vec\omega+\vec\Omega)+mR^2\vec\Omega$
Naturalmente la somma delle velocità angolari si deve fare se tu conosci la $\omega$ in senso relativo, cioè in un sistema di riferimento solidale con il vettore posizione che va da p a c e ruotante con esso (come nel caso della ruota in mano alla studentessa). Perché se invece già conosci la $\omega$ in un sistema di riferimento inerziale allora usi direttamente quella senza sommarla alla $\Omega$.
Però a questo punto ciò che mi preoccupa è: sarò riuscito a farti ancora più casino in testa invece di chiarirti le idee????
Si grazie, sei stato veramente troppo gentile 
Unica cosa controllando su libri e quaderni ho visto che le formule che tu mi hai citato non le abbiamo fatte nel mio corso di fisica 1, probabilmente si faranno in corsi più avanzati, dunque ritengo che nei problemi non saranno mai da usare. Ad ogni modo non mi farà di certo male saperle, sarò avvantaggiato per meccanica razionale
Unica cosa controllando su libri e quaderni ho visto che le formule che tu mi hai citato non le abbiamo fatte nel mio corso di fisica 1, probabilmente si faranno in corsi più avanzati, dunque ritengo che nei problemi non saranno mai da usare. Ad ogni modo non mi farà di certo male saperle, sarò avvantaggiato per meccanica razionale
Ciao ragazzi.. Per favore potreste scrivermi la soluzione di questo problema??? Nel libro in cui sto studiando(gettys keller skove) non la porta. Attendendo una vostra risposta vi ringrazio anticipatamente...
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